江苏省专转本高等数学模拟测试题答案详解

江苏省专转本高等数学模拟测试题一．选择题(每题4分,共24分)1.当时,与是等价无穷小，那么常数的值为()A. 1B. 2C.3D.4解：此题考查无穷小阶的比拟，就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比值的极限是1，即有那么，选B。2.曲线的垂直渐近线是()A. B. C.D.没有垂直渐近线解：所谓垂直渐近线就是假设〔也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷大〕，那么称为垂直渐近线。一般拿来讨论极限的为函数中无定义的点，此题有三个无定义的点，即，，，但是在求极限时函数经过化简后变成，因此只有，所以选C。3.设，那么()A.B.C.D.解：此题考查变上限积分函数求导公式，选A。4.以下级数中条件收敛的是()A.B.C.D.解：此题考查绝对收敛与条件收敛的概念，首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛，只是收敛的“强度”不同罢了。选项A与D都是满足绝对收敛的，选项C一般项的极限不是零，显然发散，只有选项B满足条件收敛。5.将二重积分，化成极坐标下的二次积分，那么得()A.B.C.D.解：此题考查二重积分的极坐标变换，首先关键是画出积分区域来，作图如下：此题积分区域形如右图阴影局部，显然答案选D。6.函数单调递减且其图形为凸的区间是()A．B.C.D.解：单调减就是一阶导数小于零，凸就是二阶导数小于零，于是，选D。二．填空题〔每题4分,共24分〕7.解：此题考查“”型的幂指函数求极限，利用“重要极限的推广公式”8.，那么_______________解：此题考查导数的定义，极限中的只是一个字母，一个无穷小而已，如同原始定义中的一样，从极限分子中可以看出自变量改变了，于是9.定积分___________.解：此题考查定积分化简计算，即利用函数奇偶性10.设那么_________.解：此题考查向量坐标的加法、减法以及叉乘运算由可得，那么11.设函数由方程所确定，那么_______.解：此题考查多元隐函数求偏导，可以选择的方法有很多，比方“公式法”、“全微分法”、“两边求法”，这里我们采用两边求的方法，即对原方程两边同时关于求偏导得，解得。当然此题用公式法做也很简单。12.幂级数的收敛域为__________.解：此题考查利用系数模比值法求幂级数的收敛域因为，所以于是，所以；当时，〔发散-P-级数〕；当时，〔收敛-莱布尼茨判别法〕；综上，收敛域为三．计算题〔每题8分，共64分〕13.求极限解：原式=注：在此题的求解过程中使用了直接代入，即；并且利用，那么14.设函数由方程所确定，求解：此题考查隐函数求导，而且是求具体点的导数值当时，代入原方程得方程两边同时关于求导得〔〕代入，得再对〔〕式两边同时关于求导得整理得代入，及得15.求不定积分解：令，那么，代入得16.求定积分解：令，那么；当时，当时；代入得17.设，其中有二阶连续偏导数，求解：18.设直线通过点(-1,2,0)，垂直于直线又与平面平行，求其方程解：设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么，设所求直线的方向向量为，那么于是所求直线方程为19.计算二重积分解：由条件可知积分区域D是由曲线所围成，在第一象限中的交点坐标为〔1,1〕，形如右图阴影局部，所以注：此题有些同学可能会错误的认为阴影局部应该是，这是不正确的这是因为假设，那么就是第二个图中的阴影局部了。20.求微分方程的通解解：原方程对应齐次线性微分方程的特征方程为，解得所以对应齐次线性微分方程的通解为；又为其中的一个特征根，所以原方程的一个特解为，那么，，代入原方程得，化简得所以，所以通解为四．证明题〔每题9分，共18分〕21.证明：当时，证明：令，那么，，所以单调递减，又，所以，所以单调递减，又，所以，所以单调递减，又，所以，即当时，注：此题是利用三阶导数相关信息一次次反推到原来的函数，即连续使用了三次利用导数证明不等式的方法，具体的关系图如下：22.设函数，证明在处连续但不可导证明：显然在的函数值为因为，所以所以，即在处连续因为所以，即左导数不等于右导数，所以在处不可导综上所述在处连续但不可导五．综合题〔每题10分，共20分〕23.设函数在处取得极大值，且点是其图形的拐点，求常数的值解：因为函数显然满足一阶和二阶可导，所以它的极值点是驻点〔一阶导数等于零的点〕，它的拐点是二阶导数等于零的点因为，且在曲线上，所以综上可得，解得24.求微分方程的一个解，使曲线于直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最小解：将上述微分方程变形为即，这是一个一阶非齐次线性微分方程，其中通解为即，显然此时的体积是一个关于参数的一元二次函数，是一条抛物线，由中学数学可知抛物线的顶点是最小值点，顶点坐标公式为，即当时取得最小值因此所求函数为注：此题涉及到画图的问题，对于抛物线，我们知道它一定过原点〔0,0〕，但是常数C的正负性不知道，也就是不知道抛物线开口向上还是向下。由于此题只是求旋转体体积，所以只要画出大致图形即可。不过，光知道经过原点是不够的，会有很多种情况，从而