专题八：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究（解析版）

专题八：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究方法点睛方法点睛解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定特殊平行四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．注意结合矩形、菱形正方形的特殊性质，往往涉及到等腰，全等，勾股或相似三角形等知识的运用.1.矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2.菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3.正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.典例精讲典例精讲类型一：菱形的存在性问题例1：（2021鄂尔多斯中考改编）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力．【答案】（1）A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣8）；（2）M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；（2）分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根据CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），根据N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；（2）存在，如图2，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a＝，∴M3（0，﹣），③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4（0，﹣12），综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．专题过关1、（2021通辽中考改编）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）分两种情况进行讨论：①以AC为边时，由四边形ACPQ是菱形，可得CP＝CA，建立方程求解即可，②以AC为对角线时．由四边形ACPQ是菱形，可得CP＝PA，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）存在．设P（1，t），①以AC为边时，如图2，∵四边形ACPQ是菱形，∴CP＝CA，∴12+（3﹣t）2＝32+32，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∴Q1（4，﹣），Q2（4，），②以AC为对角线时，如图3，∵四边形ACPQ是菱形，∴CP＝PA，∴12+（3﹣t）2＝（1﹣3）2+t2，解得：t＝1，∴P3（1，1），Q3（2，2），综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2）．2、（2021娄底中考改编）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．（1）求的值；（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．【答案】（1）b=，c=；（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b=，c=；（2）∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，∴C（0，-3），∴OB=OC=3，由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），∵PQ∥OC，当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，当点Q在点P上方时，∴PQ=，即，∴，解得或，当时，点P与点O重合，菱形不存在，当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；当点Q在点P下方时，若点Q在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．3、（2021湘潭中考）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．版权所有【专题】方程思想；函数的综合应用；矩形菱形正方形；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．【分析】（1）由y＝x﹣可求出A（3，0），B（0，﹣），代入二次函数y＝x2+bx+c即得二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而C与B关于直线x＝1对称，可得C（2，﹣），①当BC、PQ为对角线时，，可得，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB＝PC，即得此时Q（1，﹣）；②BP、CQ为对角线时，同理可得Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，同理可得Q（3，0）．【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣），∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）存在，理由如下：由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），∵C与B关于直线x＝1对称，∴C（2，﹣），①当BC、PQ为对角线时，如图：此时BC的中点即是PQ的中点，即，解得，∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，∴PB＝PC，∴四边形BQCP是菱形，∴此时Q（1，﹣）；②BP、CQ为对角线时，如图：同理BP、CQ中点重合，可得，解得，∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四边形BCPQ是菱形，∴此时Q（﹣1，0）；③以BQ、CP为对角线，如图：BQ、CP中点重合，可得，解得，∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，∴四边形BCQP是菱形，∴此时Q（3，0）；综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．4、（2021恩施中考改编）（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；（2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；（3）设抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），则，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，设点Q的坐标为（s，t），∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），则或，解得或，故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；5、（2020重庆中考A卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过，∴∴∴（2）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，故点E（1，−3），综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．∴存在，类型二：矩形的存在性问题例2：（2021齐齐哈尔中考改编）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）；（2）或或或．【解析】【分析】（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得；（2）设点的坐标为，分①当为矩形的边时，②当为矩形的边时，③当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，，，，且点在轴负半轴上，，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）设点的坐标为，由题意，分以下三种情况：①当为矩形的边时，则，设直线的解析式为，将点代入得：，则直线的解析式为，将点代入得：，即，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，四边形是矩形，点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，，，即；②当为矩形的边时，则，同（4）①的方法可得：点的坐标为；③当为矩形的对角线时，则，，即，解得或，或，当点的坐标为时，则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点，四边形是矩形，点平移至点方式与点平移至点的方式相同，，即；同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，综上，点的坐标为或或或．专题过关1、（2021定西中考改编）（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）过点H作HM⊥EF于M,证明△EMH≌△FGB(AAS),推出MH＝GB,EM＝FG,由HM＝OG,可得OG＝GB＝OB＝2,由题意直线AB的解析式为y＝x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),根据MH＝BG,构建方程求解，可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过A（0，﹣2），B（4，0）两点，∴,解得,∴y＝x2﹣x﹣2．（2）如图1中，过点H作HM⊥EF于M,∵四边形BEHF是矩形，∴EH∥BF,EH＝BF,∴∠HEF＝∠BFE,∵∠EMH＝∠FGB＝90°,∴△EMH≌△FGB(AAS),∴MH＝GB,EM＝FG,∵HM＝OG,∴OG＝GB＝OB＝2,∵A(0,﹣2),B(4,0),∴直线AB的解析式为y＝x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a,∴a＝2,∴E(2,4),F(2,﹣1),∴FG＝1,∵EM＝FG,∴4﹣yH＝1,∴yH＝1,∴H(0,3)．2、（2021达州中考改编）（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，∴b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3，（2）∵A（﹣3，0），B（0，3），设N（n，﹣n2﹣2n+3），M（x，y），则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，∵ABMN构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形，若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2，即18＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，解得：n1＝，，∴N的横坐标为或，若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+（n2+2n）2，解得n＝﹣1，∴N的横坐标是﹣1，若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，解得n＝2，∴N的横坐标为2，综上N的横坐标为，，﹣1，2．3、（2021淄博中考改编）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．（第24题图）【分析】（1）由OC＝2OA，得C（0，2），代入抛物线y＝（m＞0）可得m的值，则抛物线对应的函数表达式即可得知；（2）由题意易得b=，抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，则可求G的坐标（﹣2，﹣m﹣1），点F的横坐标为，①当以BG为矩形的对角线时，根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，进而求得E点的坐标为（，），同理，求F的坐标，由于点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形，得矩形BEGF，然后证明△GFM≌△EBH（AAS），然后根据相似三角形可求得E，F的坐标；②当以GB为矩形的边时，最后分类求解即可；【解析】（1）∵A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C的坐标为（0，2），将点C代入抛物线y＝（m＞0），得＝2，即m＝4，∴抛物线对应的函数表达式为y＝；（2）存在，理由如下：由题意可把点B（m，0）的坐标代入直线y＝x+b，得：b=∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+•x+②，联立①②解得，或，∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），∵抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，∴点F的横坐标为，①当以BG为矩形的对角线时，如图所示，（第24题（3）答案图）∴根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，即为，∴E的坐标为（，），根据中点坐标公式可知，即，∴，∴F的坐标为（，），∵m>0，且四边形BEGF是矩形，∴点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形，即分别作EH⊥x轴于点H，过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线，分别交于点M、N，如上图，∴∠EHB=∠GMF=∠BNF=90°，∵四边形BEGF是矩形，∴BE=FG，∠GFB=∠EBF＝90°，∴∠GFM+∠BFN=∠BFN+∠FBN=∠FBN+∠OBF=∠OBF+∠EBH=90°，∴∠GFM=∠EBH，∴△GFM≌△EBH（AAS），∴EH=GM=，∴，，，∵∠GMF=∠BNF，∠GFM=∠FBN，∴△GFM∽△FBN，∴，即GM·BN=FN·FM∴，解得：m＝3（负值舍去），∴E的坐标为（0，），F的坐标为（1，-4），②当以GB为矩形的边时，不存在以点E、F、G、B顶点的四边形为矩形；综上所述：当以B、G、E、F为顶点的四边形成为矩形时，点E的坐标为（0，），F的坐标为（1，-4）．4、（2021菏泽中考）（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）求出直线PB的表达式为y＝kx+t，而CQ∥BP，则直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），由S＝×BQ×（﹣yP），即可求解；（3）当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），进而求解；当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF，列出等式，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），设直线PB的表达式为y＝kx+t，则，解得，∵CQ∥BP，故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，该直线故点C（0，﹣4），即p＝﹣4，故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），则BQ＝4﹣＝，设△PBQ面积为S，则S＝×BQ×（﹣yP）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，∵﹣2＜0，故S有最大值，当m＝2时，△PBQ面积为8，此时点P的坐标为（2，﹣6）；（3）存在，理由：将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过改点，即抛物线向右平移了+1＝个单位，则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为+＝3，故设点E的坐标为（3，m），设点F（s，t），①当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），则或，解得或，故点F的坐标为（3，﹣）或（3，2）；②当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF得：，解得或，故点F的坐标为（3，﹣3+）或（3，﹣3﹣）；综上，点F的坐标为（3，﹣3+）或（3，﹣3﹣）或（3，﹣）或（3，2）．5、（2020无锡中考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．（1）若点的横坐标为8．①用含的代数式表示的坐标；②点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由；（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．【答案】（1）①；②能，；（2）或．【解析】【分析】（1）①求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题．②求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可．（2）分两种情形：①当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可．②当点在轴的左侧时，即为①中点的位置，利用①中结论即可解决问题．【详解】解：（1）①点在的图象上，横坐标为8，，直线的解析式为，点的纵坐标为，，；②假设能在抛物线上，，直线的解析式为，点在直线上，纵坐标为，，的中点的坐标为，，，，把点坐标代入抛物线的解析式得到．（2）①当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为，∴，，直线的解析式为，可得，，，，代入抛物线的解析式得到，，解得，直线的解析式为．②当点在轴左侧时，即为①中点位置，∴直线的解析式为；综上所述，直线的解析式为或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．/6、（2020抚顺中考改编）如图，抛物线（）过点和，点是抛物线的顶点，点是轴下方抛物线上的一点，连接，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是线段上的动点（点不与点和点重合，连接，将沿折叠，点的对应点为点，与的重叠部分为，在坐标平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，(，)或(，)或(，)【解析】【分析】（1）把点O(0，0)和A(6，0)分别代入解析式即可求解；（2）分三种情况讨论，利用解直角三角形求解即可．【详解】（1）把点和分别代入中，得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）存在，理由如下：由（2）得：∠COE=∠EOB=30，CE=，BE=OE=2CE=2，①当∠EFG=90时，如图：点、G与点O重合，此时四边形EFGH为矩形，过H作HP⊥OC于P，∵∠COE=∠EOB=30，∴OH=EF=CE=，∴∠HOP=90-∠COE-∠EOB=30，∴HP=OH=，OP=HP=，点H的坐标为(，)；②当∠EGF=90时，此时四边形EGFH为矩形，如图：∵∠CEO=90-∠COE=60，∠OEG=90-∠EOB=60，∠BEG=180-∠CEO-∠OEG=60，根据折叠的性质：∠EF=∠BEF==30，在Rt△EGF中，∠EGF=90，∠GEF=30，GE=CE=，∴GF=GE=1，∴EH=GF=1，过H作HQ⊥BC于Q，∴∠HEQ=90-∠BEG=30，∴HQ=EH=，EQ=HQ=，点H的坐标为(，)，即(，)；③当点G在OD上，且∠EGF=90时，此时四边形EGFH为矩形，如图：∵∠BOE=30，∴∠OFG=90-∠EOB=60，根据折叠的性质：∠E=∠BFE===60，∴FG是线段OE的垂直平分线，∴OG=GE=OE=，EH=GF=OG=1，过H作HK⊥BC于K，∴∠HEK=180-∠OEC-∠OEH=30，∴HK=EH=，EK=HK=，点H的坐标为(，)，即(，)；综上，符合条件的点H的坐标为(，)或(，)或(，)．类型三：正方形的存在性问题例3：（2021抚顺中考）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（2，3）；（5，2）或（﹣1，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．【分析】（1）令x＝0，求点B（0，3），令y＝0，求点A（3，0），将点A、点B代入抛物线y＝ax2+2x+c即可求解；（2）设D（m，﹣m2+2m+3），由DE∥y轴交AB于点E，则E（m，﹣m+3），再由OA＝OB，可知∠OAB＝45°，则有AG＝FG＝DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点T，可证四边形FGED是平行四边形，△AEG为等腰直角三角形，可求AT＝ET＝GT＝3﹣m，AG＝FG＝6﹣2m，OG＝2m﹣3，求出FG＝﹣2m+6，DT＝﹣3m+9，得到﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，即可求D（2，3）；（3）先求出C（﹣1，0），直线CD的解析式为y＝x+1，联立x+1＝﹣x+3，求出M（1，2），分两种情况讨论：①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，可确定H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，K（3，4），P（5，2）；当H（0，3）时，K（0，1），P（﹣1，2）；②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，H（1+，2）或H（1﹣，2），当H（1+，2）时，P（1，2+）；当H（1﹣，2）时，P（1，2﹣）．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，∴，∴，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设D（m，﹣m2+2m+3），∵DE∥y轴交AB于点E，∴E（m，﹣m+3），∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∴AG＝FG，∵DE＝FG，∴DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点T，∴四边形FGED是平行四边形，∵DF⊥AB，∴EG⊥AB，∴△AEG为等腰直角三角形，∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，∴AG＝FG＝6﹣2m，∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，∴F点横坐标为2m﹣3，∴FG＝﹣2m+6，∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，解得m＝2或m＝3（舍），∴D（2，3）；（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，∴，∴，∴y＝x+1，∴∠ACM＝45°，∴CM⊥AM，联立x+1＝﹣x+3，解得x＝1，∴M（1，2），∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，∵H点在抛物线上，∴H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，MH＝2，∴KH＝4，∴K（3，4）∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），∴P（5，2