2021-2022学年安徽省六安市舒城中学高一下学期第二次月考数学试题

20212022学年安徽省六安市舒城中学高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么A． B．1 C． D．4【答案】C【详解】由题意，，所以，故选C．点睛：向量的数量积的性质之一：，由此公式求向量模的运算常常转化为向量的平方（数量积）计算．2．△ABC的内角、、的对边分别为、、,若,,,则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性质可求的值.【详解】解：∵,,,∴由余弦定理可得,求得：c＝1.∴∴.故选：C.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.3．设向量均为单位向量，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量均为单位向量所以所以“”是“”的充要条件故选：C【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围.【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，当点位于正六边形的顶点时，取最大值，当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，所以，.所以，.故答案为：.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．5．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同.而＝＋λ，所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选：.6．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】求出g(x)解析式，作出g(x)图像，根据图像即可求解﹒【详解】由题得，，，∵，∴＝1且＝－1或且＝1，作的图象，∴的最小值为＝，故选：D．7．已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的模的运算得：易得，又对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，由二次不等式恒成立问题得：△，即可得到答案；【详解】解：由，，，得，又对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，即△，解得：或，故选：B.8．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定的关系，即，可得，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得，∵∴，因为三点共线，∴，∴，∵，∴，则；当且仅当，即时取等号，故的最小值是；故选：C．二、多选题9．已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为C．存在，使得D．的最大值为【答案】BCD【分析】利用向量的数量积为0，求出正切函数值，判断A；根据投影向量的定义以及向量的夹角判断B；通过向量的模的求法求解θ判断C；利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数，求解最大值判断D．【详解】解：对于A，若，则，所以，故A错误；对于B，若在方向上的投影向量为，则，所以，又，所以，即向量与的夹角为，故B正确；对于C，若，则，即，即，所以，所以当反向时，此时有，所以，即，所以存在，使得，故C正确；对于D，，其中，所以的最大值为，故D正确.故选：BCD.10．分别为中三个内角的对边，下列结论中正确的是（

）A．若，则为等腰三角形.B．若，则C．若，则符合条件的有且仅有两个.D．若，则为钝角三角形.【答案】ABD【分析】对A，根据余弦函数的单调性可判断即可；对B，利用正弦定理可判断即可；对C，利用余弦定理判断即可；对D，利用正弦定理和余弦定理判断即可.【详解】对于A，因为，,而函数在上单调递减，所以，所以为等腰三角形，故A正确，对于B，若，则，由正弦定理得，即成立，故B正确；对于C，由余弦定理可得：＝，只有一解，故C错误；对于D，若，由正弦定理得，所以，所以C为钝角，所以是钝角三角形，故D正确.故选：ABD11．已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是

（

）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】AC【分析】对于A．利用正弦定理证明△ABC是等边三角形，故A正确；对于B，利用正弦定理化简得△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，利用正弦定理和三角恒等变换化简得△ABC是等腰三角形，故C正确；对于D，利用余弦定理化简得角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．【详解】对于A．若，则，，即，即△ABC是等边三角形，故A正确；对于B，若，则由正弦定理得，，则或，即或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，若，则即，则△ABC是等腰三角形，故C正确；对于D，△ABC中，∵，∴，所以角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．故选：AC．12．已知函数，若有四个不同的解且，则有

（

）A． B．C． D．的最小值为【答案】ABD【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC选项，再通过判断B选项，最后结合单调性判断D选项.【详解】由题意，当时，：当0<时，：当时，，作出函数f(x)的图象，如图所示，易知f(x)与直线有四个交点，分别为（2，1），（0，1），（，1），（4，1），因为有四个不同的解且，所以故C错误；且A正确；，又，所以，即，B正确；所以，且，构造函数，且，可知g(x)在（1，4]上单调递减，且，所以的最小值为—．D正确．故选：ABD．三、填空题13．已知，，，则________．【答案】【分析】先由求出，然后根据向量数量积的坐标公式求解即可.【详解】,由得，.所以故答案为：.14．已知A、、三点共线，对该直线外任意一点，都有，则的最小值为_______【答案】16【分析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.【详解】由题意，A、B、C三点共线∴存在实数λ使得从而有而所以则当且仅当,即时取等号．因此的最小值为16．故答案为：16．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.【答案】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得.故答案为：16．已知且，则的最小值为___________．【答案】2【分析】由已知及基本不等式可得，则目标式有，利用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题意得：，于是，当且仅当时，的最小值为2．故答案为：2.四、解答题17．设两个向量，，满足，.（1）若，求、的夹角；（2）若、夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）且.【分析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得，再根据数量积求得夹角；（2）根据夹角为钝角则数量积为负数，求得的范围；再排除向量与不为反向向量对应参数的范围，则问题得解.【详解】（1）因为，所以，即，又，，所以，所以，又，所以向量、的夹角是.（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，且向量与不反向共线，即，又、夹角为，所以，所以，解得，又向量与不反向共线，所以，解得，所以的取值范围是且.【点睛】本题考查利用数量积求向量夹角，以及由夹角范围求参数范围，属综合基础题.18．已知，，且（1）求函数的解析式；（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出函数取得最大值时自变量的值【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为的形式；（2）由定义域可得到的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值试题解析：（1）即（2）由，，，，，此时，【解析】1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质19．如图，在平面直角坐标系上，点，点在单位圆上，（）．(1)若点，求的值；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用三角函数的定义得到，再按照正切的和角公式计算；（2）先表示出向量，再利用求出，再用余弦的差角公式计算即可.【详解】(1)由点，，得∴，∴(2)∵，∴，又，∴解得，∵，∴，∴.20．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．（1）求出山高BE（结果保留整数）；（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大?参考数据：，，，．【答案】（1）m；（2）m.【分析】（1）在中，由正弦定理求出，即可求出，进而求出；（2）根据题意得出，列出关于的式子，利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）由题知，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，，即，所以，所以山高m.（2）由题知，，则在中，，在中，，由题知，则，当且仅当即m时，取得最大值，即视角最大.21．已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点．（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示）（3）若，，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量的线性运算，将代入，再由求解.（2）易得对任意正整数，，且，有，，从而求解.（3）当时，设线段上存在一点，使得，，且存在点，，然后转化为，利用线段和最小求解.【详解】（1）因为,而点为线段上靠近点的三等分点，所以，所以，所以.（2）由题意得，，所以，事实上，对任意正整数，，且，有，，所以所以，（3）当时，线段上存在一点，使得，，且存在点，，则，，所以，即线段上存在一点，到点和点的距离之和，如图所示：作点关于线段的对称点，则最小值为.【点睛】方法点睛：在直线l上存在点P,使得最小和最大问题：当点A，B在直线l的异侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最小；作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最大；当点A，B在直线l的同侧时，连接AB与直线l的交点P，使得最大；作A点关于直线l的对称点，连接与直线l的交点P，使得最小；22．对于函数，，，如果存在实数a，b使得，那么称为，的生成函数.(1)设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围；(2)设函数，，是否能够生成一个函数.且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够求函数的解析式，否则说明理由.【答案】(1)(2)【