2020-2021学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.

1.已知全集。=凡集合M={R-2WxW3},则集合CuM=（）

A.{x|-2<x<3}B.{小<-2或x>3}C.{x|-2WxW3}D.{x|xW2或x23}

2.若a>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.4>）2B.—C.a-l>b-2D.a+b>2。&b

ab

3.已知命题p：所有能被2整除的整数都是偶数，那么「。为（）

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

4.要得到函数、=««3_¥（在11）的图象，只需将函数y=cosx（xeR）的图象上的所有点（）

A.横坐标变为原来的羡（纵坐标不变）

O

B.横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）

C.纵坐标变为原来的仔（横坐标不变）

D.纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）

.10几—

5s.S1H3()

二返

A.—B.C.D.

2222

（二）的一条对称轴可以为

6.函数/(x)==sinx+()

4

兀兀兀

A.x=------B.%=0C.---D.x=—

242

7.若命题“Vxe[l,2],依+1>0”是真命题,则a的取值范围是（）

A.(——,+°°)B.[——,+8)C.（-1,+8）D.[-1,+8）

22

8.“-2cx<3"是-2x-3<0成立”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.一个半径为2,"的水轮，水轮圆心。距离水面1m,已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）

3圈，当水轮上的点尸从水中浮现时开始计时，即从图中点Po开始计算时间.当时间r

10秒时，点P离水面的高度为()

A.3mB.2mC.\mD.0m

10.已知函数/(x)=cos2x+sinx,则下列结论中正确的是()

A.f3是奇函数

B.于(x)的最大值为2

C./(%)在(鼻，且L)上是增函数

26

D.7(x)在(0)上恰有一个零点

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知等差数列｛3｝中，＜21=4,〃4+。6=12,则。3=.

12.已知函数/(x)=ln(2x+l),则函数/(x)的定义域为；/(%)

的导函数/(x)=.

13.在△ABC中，cosA=—,则tanA=_______________.

3

14.函数/(x)=Asin(3无+(p)(A＞0,(n＞0,|隼|＜；)的部分图象如图所示，则函数/

(%)的最小正周期T=,函数/(x)的解析式为.

15.能够说明“设0£R,若sin0＜返，贝|0＜。＜二”为假命题的一个0的值

24

为.

16.已知在数列｛〃〃｝中，的=1,即+1+。〃=。"(。＞0)，其前〃项和为给出下列四个结论:

①)=1时，$5=3;

②的＞0;

③当匕＞1时，数列｛跖｝是递增数列；

④对任意6＞0,存在入CR,使得数列｛斯-肌"｝成等比数列.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.已知等比数列｛诙｝满足。1=1,a5=gl2.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)求数列｛斯｝的前〃项和S.；

(III)比较S"与2的大小，并说明理由.

18.在平面直角坐标系xOy中，角a,0的顶点都与坐标原点重合，始边都落在x轴的正半

轴.角a的终边与单位圆的交点坐标为(5，,将角a的终边逆时针旋转二后得到

553

角P的终边.

(I)直接写出sina,cosa的值；

(II)将B用含a的代数式表示；

(III)求sin(a+p)的值.

19.已知函数/(x)=-73sin2x-2sin2x+m,再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一

个作为已知.

(I)求，”的值；

(II)求函数/(%)在［0,上的单调递增区间.

条件①：/(x)的最大值与最小值之和为0；

JT

条件②：/(—)=0.

20.某公司欲将一批货物从甲地运往乙地，甲地与乙地相距120千米，运费为每小时60元,

装卸费为1000元，货物在运输途中的损耗费的大小(单位：元)是汽车速度(千米/小

时)值的2倍.(注：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)

(I)若汽车的速度为50千米/小时，求运输的总费用；

(II)汽车以每小时多少千米的速度行驶时，运输的总费用最小？求出最小总费用.

21.已知函数/(%)=(ar+x+1)(aWa).

(I)求曲线y=/(x)在x=0处的切线方程;

(II)证明：当xWO时，/(x)WL

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.

1.已知全集。=凡集合M={x|-2WxW3},则集合CuM=（）

A.{x|-2<x<3}B.{小<-2或x>3}C.{x|-2WxW3}D.{冲W2或无，3}

解：VU=R,M={x|-2WxW3},

QvM={x|x<-2或x>3}.

故选：B.

2.若a>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.4>62B.—C.a-l>b-2D.a+b>2。

ab

解：令。=1,b=-2,a>b,但a2c"，故A选项错误，

令a=2,6=1,a>6,但工<」，故8选项错误，

ab

'：a>b,-1>-2,由不等式的可加性，可得故C选项正确，

令a=-2,b=-3,a>b,但a+》>2j^不成立.

故选：C.

3.已知命题p：所有能被2整除的整数都是偶数，那么「p为（）

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

所以命题P：所有能被2整除的整数都是偶数，

则为：存在一个能被2整除的整数不是偶数.

故选：D.

4.要得到函数y=cos3x（xeR）的图象，只需将函数;y=cosx（xeR）的图象上的所有点（）

A.横坐标变为原来的］（纵坐标不变）

B.横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）

C,纵坐标变为原来的J(横坐标不变)

O

D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)

解：要得到函数y=cos3x(xeR)的图象,只需将函数y=cosx(x&R)的图象上的所有

点的横坐标变为原来的£(纵坐标不变)，

O

故选：A.

A.—B.」C.返D.

2222

白刀.io兀.(a兀、.兀Vs

斛：sirr^—=sin(3兀=-sin—=-.

oJSN

故选：D.

6.函数/(x)=sin(x+—-)的一条对称轴可以为()

4

兀nn兀

A.x=------B.x=0C.x=----D.x=——

242

解：对于函数/(x)=sin(x+—),

4

令犬=-辛，求得/(无)=-乎，不是最值，故x=-£■不是了(无)的一条对称轴,

故A错误；

令x=0,求得/(x)=堂，不是最值，故x=0不是/(x)的一条对称轴，故8错误；

TTJT

令％=—「求得/(%)=1,是/(无)的最大值，故-是/(x)的一条对称轴，故C

44

正确；

令x=3,求得/(x)=返，不是最值，故不是/(X)的一条对称轴，故。错

222

误,

故选：C.

7.若命题2],办+1>0”是真命题，则a的取值范围是()

A.(-+°°)B.[--y,+8)C.(-1,+8)D.[-1,+8)

解:命题uVx6[l,2],ox+l>0”是真命题,

①当〃>0时，y=ax+l在[1,2]上单调递增，

所以。+1>0,解得”>T,故。>0；

②当。=0时，1>0恒成立，符合题意；

③当a<0时，y=ox+l在［1,2］上单调递减，

所以2a+l>0,解得。>一故-

综上所述，。的取值范围为（-，■,+°°）.

故选：A.

8.“-2Vx<3”是“炉_2x-3<0成立”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：由尤2-2x-3<0,得

：（-1,3）u（-2,3）,

-2<尤<3”是“尤2.2x-3<0成立”的必要而不充分条件.

故选：B.

9.一个半径为2m的水轮，水轮圆心。距离水面1相，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）

3圈，当水轮上的点P从水中浮现时开始计时，即从图中点尸0开始计算时间.当时间/

=10秒时，点尸离水面的高度为（）

A.3mB.2mC.ImD.Qm

解：r=io秒时，水轮转过角度为口x上nxio=n,

60

延长PoO,交圆。于点尸，如图所示：

则t=10秒时，尸o转到点P位置;

设水轮与水面的另一交点为N,连接PM则尸

取NR)的中点连接OM,则OMLNPo,

在RtAJWOPo中，OM=1,OPo=2,

所以OM是△PNPo的中位线，

所以PN=2OM=2,即点P离开水面的高度为2祖.

故选：B.

10.已知函数/(x)=cos2x+sinx,则下列结论中正确的是()

A.f(x)是奇函数

B./(%)的最大值为2

C./(%)在(与，哈)上是增函数

D.7(x)在(-m0)上恰有一个零点

解：函数/(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+l,

A：因为/(-x)=-sin2x-sinx+17^-f(x),所以不是奇函数，所以A不正确；

令r=sinx£[-1,1],

B-.则函数为g(f)=-fl+t+\=-(r-《)2+?,所以当时，函数最大值为?，所

2424

以8不正确；

C：/=sinx在一)单调递减，且怎(*,1),

而g⑺=-5+什1=_(1_A)2+今在弓，1)单调递减，

由复合函数的单调性可得/CO在(=,器)单调递增，所以C正确；

26

D：£=siiix在xE(-JI,0),则怎(0,1],g(0=-5+什1=(),解得/=,1—%」任(0,

2

1],所以函数无零点，所以。不正确；

故选：C.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知等差数列｛斯｝中，“1=4,。4+〃6=12,则的=5.

解：I•等差数列｛斯｝中，。1=4,44+。6=12,

4+3d+4+5d=12,

解得d=£，

•・。34+2X—=5.

2

故答案为：5.

12.已知函数/(x)=ln(2*+1),则函数/(x)的定义域为+8)；f(x)

的导函数/(X)=—^―

—2x+L

解：根据题意，函数尤)=ln(2x+l),有2x+l>0,解可得x>-g,

即函数/(X)的定义域为(-•1，+8),

其导数/(%)=(2x+l)'X-12

2x+l2x+l

故答案为：(-+°°),--—•

22x+l

13.在△ABC中，cosA=—,则tanA=_2\p},■

3

解：因为在aABC中，cosA=],

所以sinA=71-cos2A=-^P--

O

则12必=皂粤=2夜.

cosA

故答案为：2近.

14.函数/(x)=Asin(3x+(p)(A>0,3>0,|(p|<-^-)的部分图象如图所示，则函数/

JT

(X)的最小正周期T=TT，函数/(X)的解析式为_f(x)=2sin(2x3)—

6

TTTT

解：由图可知函数图像过点(―〉，-2)和一，2),并且是图像上的最低点和最高点，

63

1TTITTT9TT

所以可判断出A=2,—-(——)=T=7T=———,•*•0)—2,f(x)—2sin

(2x+(p),

TTTTTT

将点4，2)代入/(尤)中可得2sin(2X—7+0)=2,解得Q==+2k冗，：

oob

1©1＜手

・・4)=—••f(x)=2sin(2x-*^-)-

696

jr

故答案为：n；f(x)=2sin(2x-^7-)-

6

15.能够说明“设0SR,若sin。〈返，则0＜e＜二”为假命题的一个0的值为器.

解：“设0GR,若sin。〈返，则0＜。＜二"为假命题，

24

当e国L时，成立，

6

故答案为：丝•.

6

1=n

16.已知在数列｛斯｝中，。1,an+\+an=b(£?＞0),其前〃项和为给出下列四个结论:

①6=1时，$5=3；

②〃3＞0；

③当人＞1时，数列｛〃〃｝是递增数列；

④对任意匕＞0,存在入ER,使得数列｛念-初〃｝成等比数列.

其中所有正确结论的序号是①②④.

解：①当。=1时，〃〃+1+斯=1,则〃〃+2+斯+1=1，

即〃/2+1+〃八=斯+2+。八+1,贝!J〃九=〃九+2,

则〃1=。3=。5=1，〃2=〃4=0,

则515=3;故①正确；

n

②因为an+1+an=b(b＞0),a[=1，

2

所1以-b,3,g3.2—，

即a?=b?-b+l=(b-十)之普〉0,故②正确；

③当人＞1时，不妨设b-1，

贝！J由@n+]+&n二bRb〉。)，a।=1,

得az+aiV,则@2=-@1+|"卷,

则。2＜%，故数列｛斯｝是递增数列错误；故③错误；

④设&n+l一入+（aj入b"）=0，

+n

贝Uan+1an=入b*Q入b=（入b+入）b"，

n

■an+1+an=b(b>0),

入匕+入=1,BPX=一~—,

b+1

存在入一二，数列｛a,-入b”｝成等比数列，此时公比9=-1；故④正确.

b+111

故答案为：①②④.

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.已知等比数列｛念｝满足的=1,〃5=52.

O

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)求数列｛斯｝的前〃项和出；

(III)比较S”与2的大小，并说明理由.

解:(I),:等比数列｛斯｝满足41=1,。5=4。2,

8

解得4=4,

，数列｛跖｝的通项公式斯=心_1.

21

(II)数列｛所｝的前〃项和：

2

22n

（III）-：Sn=2--,—>0,

22n

：.Sn<2.

18.在平面直角坐标系xOy中，角a,0的顶点都与坐标原点重合，始边都落在x轴的正半

轴.角a的终边与单位圆的交点坐标为(5，-I),将角a的终边逆时针旋转二后得到

553

角P的终边.

(I)直接写出sina,cosa的值;

(II)将0用含a的代数式表示;

(Ill)求sin(a+p)的值.

解：（/）•.•角a的终边与单位圆的交点坐标为（5，-I）,

55

・

••s•inarr=w,cosr。r二4

bb

（II）•••角a的终边逆时针旋转g后得到角P的终边,

O

B=a

amB=aW

/兀、

，sin(a+B)=sin(a+a=sin(2CL

24

sina=Fcosa二三，

□b

•••Sin2a=2sinacosa=2x1-x六/，cos2a=2cos2a-1=2x借)2-i=^,

兀IT兀

sin(20-+^_)=sin2CL•cos-^+cos2CI•sirr^-=

24szi724+7通

XX

25-7^250

19.已知函数f（x）=^/3sin2x-2sin2x+m,再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一

个作为已知.

（I）求机的值;

（II）求函数f（x）在［0,上的单调递增区间.

条件①：于（x）的最大值与最小值之和为0；

条件②：/（5）=0.

兀

解：（I）/（x）=^/^sin2x-2sin2x+m=^/3sin2x+cos2x-l+m=2sin（2x+---）+m-1,

6

若条件①：f（.X）的最大值最小值分别为2+m-l=m+L-2+m-l=m-3,

由题意可得：m+l+m-3=0,可得加=1,

所以m的值为1；

JTTTJT

(II)由(I)可得f(x)—2sin(2xH——),它的单调递增区间满足：—--2AH"—-

626

兀

W-----H2%H,依Z,

2

解得----HZUWXW---1■左TT,ZeZ,

36

而xE［O,所以令人=0,可得xE［0,――］,左，1或左W-1时，无交集，

26

所以函数在［0,3］上的单调递增区为：［0,2］；

26

TTTT1

若条件②：f(——)=0,即2sin(TI+——)+m-\=,可得2(」)+m-1=0,解得：

262

m=2,

所以加的值为2；

TTTT

(II)由(I)可得/(x)=2sin(2x+——)+1,它的单调递增区间满足：———+2加W

62

小兀一兀〜，~

2x~i---W---i_2krt,k£Z,

62

而xe［0,-r-］»所以令％=。，可得xe［0,-r-］,或4WT时，无交集，

26

所以函数在［0,1•］上的单调递增区为：［0,3］；

20

综上所述，函数在［0,二］上的单调递增区为：［0