2023-2024学年上海市莘庄中学等四校高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2023-2024学年上海市莘庄中学等四校高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，则函数的单调递增区间为（)A． B． C． D．2．已知m个数的平均数为a，n个数的平均数为b，则这个数的平均数为（）A． B． C． D．3．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为().A． B． C． D．4．己知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）A． B．C． D．5．等差数列的前项和为，，，则（）A．21 B．15 C．12 D．96．光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）A． B．C． D．7．若，则的最小值为（）A． B． C．3 D．28．下列命题中错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（）A． B． C． D．10．．在各项均为正数的等比数列中，若，则…等于（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．12．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是______.13．已知直线l过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为______.14．在等比数列{an}中，a115．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_____________.16．公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则的值为___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知、、是锐角中、、的对边，是的面积，若，，．（1）求；（2）求边长的长度．18．已知数列是等差数列，，．（1）从第几项开始；（2）求数列前n项和的最大值．19．已知函数，，值域为，求常数、的值；20．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．21．某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线的方程，其中，．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由题意利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论．【详解】函数，令，求得，可得函数的增区间为，，．再根据，，可得增区间为，，故选．【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式的应用，考查余弦函数的单调性，属于基础题．2、D【解析】

根据平均数的定义求解.【详解】两组数的总数为：则这个数的平均数为：故选：D【点睛】本题主要考查了平均数的定义，还考查了运算求解能力，属于基础题.3、D【解析】

运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.【详解】因为，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.4、C【解析】

根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.【详解】由图象可知，的最小正周期：又又，且，，即，本题正确选项：【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.5、B【解析】依题意有，解得，所以.6、B【解析】试题分析：点关于轴的对称点，则反射光线即在直线上，由，∴，故选B.考点：直线方程的几种形式.7、A【解析】

由题意知，，，再由，进而利用基本不等式求最小值即可.【详解】由题意，，因为，所以，，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8、D【解析】

根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，根据不等式传递性可知，A选项命题正确.对于B选项，由于在定义域上为增函数，故B选项正确.对于C选项，由于在定义域上为增函数，故C选项正确.对于D选项，当时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.9、D【解析】Sn＝＝＝＝3－2an.10、C【解析】因为数列为等比数列，所以，所以.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果.【详解】设球内接正四棱柱的底面边长为，高为则球的半径:正四棱柱的侧面积：球的表面积：当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.12、【解析】

先由得出，再根据即可求出与的夹角的取值范围.【详解】因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用等，属基础题.13、或.【解析】

设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程【详解】设直线的方程为.因为点在直线上，所以①.因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,所以②.由①②可知或解得或故直线的方程为或，即或.【点睛】本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题14、64【解析】由题设可得q3=8⇒q=3，则a715、或【解析】

分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把已知点坐标代入即可求出的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把已知点的坐标代入即可求出的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【详解】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为即；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把代入所求的方程得：，则所求直线的方程为即．综上，所求直线的方程为：或．故答案为：或【点睛】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．16、2【解析】

根据等比数列的性质与基本量法求解即可.【详解】由题,因为,又等比数列的各项都是正数,故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性与各项之间的关系.属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角形的面积公式结合为锐角可求出的值；（2）利用余弦定理可求出边长的长度．【详解】（1）由三角形的面积公式可得，得.为锐角，因此，；（2）由余弦定理得，因此，.【点睛】本题考查利用三角形的面积公式求角，同时也考查了利用余弦定理求三角形的边长，考查计算能力，属于基础题.18、（1）从第27项开始（2）【解析】

（1）写出通项公式解不等式即可；（2）由（1）得数列最后一个负项为取得最大值处即可求解【详解】（1）．解得．所以从第27项开始．（2）由上可知当时，最大，最大为．【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和的最值，考查推理能力，是基础题19、，；或，；【解析】

先利用辅助角公式化简,再根据,值域为求解即可.【详解】.又则,当时,,此时当时,,此时故,；或,；【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式以及三角函数值域的问题,需要根据自变量的范围求出值域,同时注意正弦函数部分的系数正负,属于中等题型.20、（1）；（2）【解析】

（1）根据和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成，再利用三角函数的图像和性质求解.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理化角为边可得，即，由余弦定理可得，又，所以．（2）由（1）可得，设的外接圆的半径为，因为，，所以，则，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以，故的取值范围为．【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.21、（1）（2）该协会所得线性回归方程是理想的【解析】试题分析:（1）根据所给的数据求出x,y的平均数,根据求线性回归系数的方法,求出系数,把和,代入公式,求出的值,写出线性回归方程;（2）根据所求的线性回归方程,预报当自变量为10和6时的值,把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值作