2020-2021学年山东省泰安肥城市高一下学期期中考试数学试题2

20202021学年山东省泰安肥城市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题首先可通过复数的乘法得出，然后根据虚部的概念即可得出结果.【详解】，则的虚部为，故选：A.2．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（）A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台【答案】C【分析】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解.【详解】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.故选：C3．下列命题正确的是（）A．铺的很平的一张纸是一个平面 B．四边形一定是平面图形C．三点确定一个平面 D．梯形可以确定一个平面【答案】D【分析】由平面的性质：无厚度、不可测、无限延展等，点面关系及平面图形的性质判断各选项的正误.【详解】A：平面是一个无限延展的面，而一张纸只是平面图形，错误；B：若四个顶点不共面，四边形不是平面图形，错误；C：三点共线时有无数个平面，错误；D：梯形是一个平面图形，故可以确定一个平面，正确.故选：D.4．用斜二测画法画平面图形时，下列说法正确的是（）A．正方形的直观图为平行四边形 B．菱形的直观图是菱形C．梯形的直观图可能不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形【答案】A【分析】根据斜二测法的原则，结合各选项中图形的性质，即可判断正误.【详解】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚，A：正方形的直观图为平行四边形，正确；B：菱形的直观图是平行四边形，错误；C：梯形的直观图仍然是梯形，错误；D：正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成45°，其不为等腰三角形，错误.故选：A.5．如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知点坐标写出的坐标，根据平面向量的基本定理，可写出表示的代数形式.【详解】由题意知：，∴.故选：A.6．已知为复数，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则为实数C．若，则为纯虚数 D．若，则【答案】B【分析】应用特殊值法判断A、D的正误，根据复数的概念结合已知条件判断B、C的正误.【详解】A：时，，显然，错误；B：则虚部为0，即为实数，正确；C：为非零实数时，也成立，错误；D：，时，，错误.故选：B.7．已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l，在平面α内一定存在一条直线m，使得直线l与直线mA．平行 B．相交 C．异面 D．垂直【答案】D【详解】试题分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解：当直线a与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故A错．当直线a与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故B错．当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．不管直线a与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线l垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确．故选D．【解析】空间中直线与直线之间的位置关系．8．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，又且且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值.【详解】在等腰△中，，则，∵分别是边的点，∴，，而，∴两边平方得：，而，∴，又，即，∴当时，最小值为，即的最小值为.故选：C【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向量的线性关系求得，结合已知条件转化为关于的二次函数，求最值.二、多选题9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．B．若，则复平面内对应的点位于第二象限C．已知复数且，则D．若复数是纯虚数，则或【答案】AC【分析】分别对A，B，C，D各选项的条件进行分析，探讨相应结论的正确性即可得解.【详解】对于A选项：，A正确；对于B选项：，对应点位于第三象限，B不正确；对于C选项：因，，则，化简得，C正确；对于D选项：因是纯虚数，则得，D不正确.故选：AC10．已知向量，记向量的夹角为，则（）A．时，为锐角 B．时，为钝角C．时，为直角 D．时，为平角【答案】ACD【分析】根据向量的数量积的正负，结合向量共线的坐标运算，即可得答案；【详解】，，对A，，为锐角，故A正确；对B，，当时，为平角，故B错误；对C，，为直角，故C正确；对D，，反向共线，所以为平角，故D正确；故选：ACD【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，若向量的夹角为锐角或钝角时，注意扣除向量共线的情况.11．设分别为△的内角的对边，下列条件中可以判定△一定为等腰三角形的有（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用正弦定理的边角关系，结合三角恒等变换及三角形内角的性质，即可判断△是否为等腰三角形.【详解】A：，即，有或，错误；B：，即，在三角形中必有，正确；C：，在三角形中必有，正确；D：，而，所以，在三角形中必有，正确；故选：BCD.12．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为．则下列关于该多面体的说法中正确的是（）A．多面体有个顶点，个面B．多面体的体积为C．多面体的表面积为D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）【答案】ABD【分析】由图形即可判断A；由正方体体积减去8个小三棱锥的体积，可判断B；直接计算表面积；根据球与正方体的棱都相切；【详解】对A，由图形可得，该半正多面体共有12个顶点，14个面，故A正确；对B，，故B正确；对C，该半正多面体的棱长为，故半正多面体的面积为，故C错误；对D，该半正多面体的外接球的半径为，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查半正多面体的几何特征及体积和表面积的求解.三、填空题13．已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是________．【答案】【分析】本题可根据投影的相关性质得出结果.【详解】因为向量、的夹角等于，所以向量在向量上的投影向量是，故答案为：.14．如图，正方体的棱长为，过顶点截下一个三棱锥．则剩余部分的体积是__________．【答案】【分析】先求出截去的三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积而得.【详解】正方体的棱长为，则该正方体的体积为，截下的三棱锥的下底面是直角边长为a的等腰直角三角形，面积为，而平面ABD，则这个三棱锥的高，，所以剩余部分的体积为.故答案为：15．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是_______【答案】【分析】直接利用三角形的解的情况的应用求出结果．【详解】解：中，内角，，的对边分别为，，；，，，若三角形有两解，则：，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：三角形的解的情况的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积，其中为球的半径，球冠的高)，设球冠底的半径为周长为球冠的面积为，则的值为_______________________．（结果用表示）【答案】【分析】利用和可整理得到，结合可求得，由化简整理即可得到结果.【详解】

，又，，，，，即，，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据题目要求的用表示所求结果，将多余变量进行消元，同时起到建立等量关系的作用，从而化简整理得到结果.四、解答题17．从①与复数相等，②与复数成共轭复数，③在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：若复数，．求方程的根．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】由已知得，根据所选的条件，结合复数相等、共轭复数的定义、在一三象限角平分线上点坐标的性质，列方程组求m，进而求方程的根.【详解】（1）选择条件①：根据复数相等的充要条件，有，解得，∴方程的根为（2）选择条件②：根据共轭复数的定义，有，解得，∴方程的根为（3）选择条件③：由题意，，解得，∴方程的根为18．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；【详解】直线的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由，直线分别在平面，内，可知直线没有公共点．因为若有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，这与是平面，平行矛盾．因此直线不相交，它们是平行直线或异面直线．19．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据几何体的组成，应用圆锥、圆柱侧面积及底面积的求法，求几何体的表面积.（2）将所在的平面，延两点所在的母线剪开平展，应用平面图形的性质及勾股定理求到的最短路径长．【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积，∴几何体表面积为．（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．则．∴、两点间在侧面上的最短路径长为．20．（1）叙述并证明余弦定理；（2）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处航行到处时看灯塔在北偏东，求灯塔与处之间的距离．【答案】（1）答案见解析；（2）海里．【分析】（1）先叙述余弦定理再用向量法证明即可；（2）根据题意，画出示意图，把有关数据在图上表示出来，解三角形即可.【详解】（1）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍．或在中，三个角所对的边分别是，有（1）证明：在中，即同理可证（2）解：由题意，画出示意图．在中，由已知得，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以（海里)．即，之间的距离为．【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．21．在中，内角、、的对边分别为、、．已知，向量，，且．（1）求外接圆的直径；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）本题首先可根据得出，然后根据、得出以及，最后根据正弦定理即可得出结果；（2）本题首先可根据得出、，然后根据得出，再然后通过余弦定理求出，最后通过解三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，则，因为，所以，则，因为，所以，，故外接圆的直径.（2）因为，所以由正弦定理易知，，因为，所以，即，由余弦定理易知，，即，联立，即，解得或（舍去），，故的面积.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，考查正弦定理、余弦定理以及解三角形面积公式的应用，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，体现了化归与转化思想，是中档题.22．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交、、于点、、，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，请