安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期秋季联赛理科数学试题（原卷版）

安徽省示范高中培优联盟2020年秋季联赛（高二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，其中（6）、（9）、（12）为选考题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.2.如图，向量等于（）A. B.C. D.3.已知，那么在下列不等式中，不成立是A. B. C. D.4.定义在上函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为A. B. C. D.5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.6.下列命题正确的是（）A.经过定点的直线都可以用方程表示B.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为C.经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示D.不经过原点的直线都可以用方程表示7.执行下面程序框图，如果输入的，，，则输出的x，y的值满足（）A. B. C. D.8.已知变量x，y满足，则的最小值是（）A. B. C. D.99.已知相邻两条射线，所成的角是，线段.若，且满足“，”的点P所构成的图形为G，则图形G是（）A.线段 B.射线 C.直线 D.圆10.如图，在正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（）A.平面平面 B.平面C. D.平面11.某单位为了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了其中4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）181310用电量（度）24343864由表中数据得回归直线方程，其中，预测当气温为时，用电量的度数约为（）A.64 B.68C.68.8 D.69.612.在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内角A，B，C依次成等差数列，且不等式的解集为，则b等于（）A. B.C.2 D.13.向量数列满足，且，，令，则当取最大值时的n为（）A.2 B.3 C.4 D.614.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（）A. B.C. D.15.气象意义从春季进入夏季的标志是连续5天的日平均温度都不低于，现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位）的记录数据如下：①甲地五个数据的中位数为26，众数为22；②乙地五个数据的平均数为26，方差5.2；③丙地五个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8.则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（）A.①② B.①②③C.②③ D.①③第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二、填空题（本大题共4小题，其中（15）为选考题.每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）16.已知关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______.17.已知向量，，若，则向量，的夹角是______.18.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为______.19.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.20.设函数.若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21.如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.（Ⅰ）若M为上一点，且，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.22.某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取出40名同学的成绩（百分制，均为正数），分成，，，，，六组后，得到其频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的中位数和平均值；（Ⅱ）为分析线上学习效果的差异，从和这两组中随机抽取3人的成绩，求这两组中至少各抽取1人的概率.23.在中，已知角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，，求的面积.24.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求函数在时的最值.25.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.（1）判定函数是否属于集合M？并说明