2020-2021学年四川省自贡市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年四川省自贡市九年级第一学期期末数学试卷

一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）.

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

.BTgCO

A.

2.用配方法解一元二次方程x2-4x-2=0,下列变形正确的的是（

2

A.（尤-4）=-2+16B.（尤-4）2=2+16

C.（尤-2）2=-2+4D.（x-2）2=2+4

3.如图，ZO=30°,C为上一点，且OC=6,以点C为圆心,半径为2的圆与OA

的位置关系是（）

B.相交

C.相切D.以上三种情况均有可能

2

4.关于尤的一元二次方程%-2尤+%=0有两个相等的实数根，则k的值为（

A.1B.-1C.2D.-2

5.某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动，每买100元商品，可参加抽奖一次,

中奖的概率为［■,小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会，则小明（）

O

A.能中奖一次B.能中奖二次

C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定

6.将抛物线y=x2-2x+3平移得到抛物线y=N,则这个平移过程正确的是（）

A.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位

C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位

7.如图，A3是的切线，以点A为切点，交。。于点C,点。在。。上，连接AD,

CD,OA,若/8=20°,则/AOC的度数为（）

8.已知抛物线>=。尤2+加；和直线y=ox+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）

9.如图，正方形ABC。内接于O。，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方

10.距期末考试还有20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组

的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，

请问该学习小组共有学生（）

A.4人B.5人C.6AD.7A

11.如图，P为等腰直角△ABC外一点，把8P绕点8顺时针旋转90°至IJ8P,使点「在4

ABC内，已知/APB=135°，连接PC,P'A,若P'C=5PA,贝!IPA：PB=()

12.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1,-4a）,其大致图象如图所示，下列结论:

①abc>0；

②4a+2b+c<0；

③若方程a（尤+1）（%-3）=1有两个根xi,xi,且xi<X2,则-1<XI<X2<3；

④若方程I以2+6X+C|=7"有四个根，则这四个根的和为4.

其中正确的结论有（）

二.填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分）

13.儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有30万个形状大小相同的各色塑料小球，某同学

为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为0.15,据此

可以估计该球池内红球大约有万个.

14.抛物线y=（x+2）（x-1）的对称轴是.

15.若向-2）乂"'-2+工-3=°是关于x的一■元二次方程，则根的值是.

16.用半径为10。根的扇形围成一个最大的圆锥侧面，圆锥的高为8c〃z,则扇形的圆心角的

度数是.

17.如图，在半径为R的。。中，是直径，AC是弦，。为命的中点，AC与8。交于点

E,若点E是8。的中点，则AC的长为

D

C

18.如图，将边长为2的正方形ABC。绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形AB'CD',

连接2夕、BC,在旋转角从0°到180°的整个旋转过程中，当BB'=BC'时，△88'

C的面积为.

三.解答题（共8个小题，共78分）

19.解方程：（2x-1）（2x-1）x.

20.现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀.

（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是；

（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2

张卡片上的数字之和为5的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

21.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为60米

的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域，而且这两块矩形区域的面积相

等.设AE的长度是无米，矩形区域的面积为y平方米.

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x取何值时，y有最大值？最大值为多少？

D

岸区域①

HG

堤区域②

E

22.如图，点。是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于D求证：OD=CD.

23.将关于尤的一元二次方程尤2-p尤+g=o变形为N=p尤-g,就可以将炉表示为关于龙的

一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如-=x・N=x(px-q)=…，该方程变形为

x2-px=-q,也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方

法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：

已知：x2-2x-1=0,且无＞0,求炉-2%3-3x的值.

24.如图，在△ABC中，/ACB=90°,点。为8C边上一点，以。8为半径的。。与边

AB.BC交于点D、E,连接。C、DE,且C。为O。的切线.

(1)求证：AC=DC-,

(2)若NB=30°,。。的半径为1,求阴影部分的面积.

25.动手操作:

利用“矩形纸片的折叠”开展数学活动，探究体会图形在矩形折叠过程中的变化及其蕴

含的数学思想方法.

如图1,将矩形ABCD对折，使点A与点。重合，点B与点C重合，折痕为EF,AB=4.展

平后，将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点A的对应点A落在上，点G在

边上，折痕为BG,连接A'C.

思考探究：

(1)①当矩形A8CD为正方形时，△A8C为三角形；

②当时，△ABF为等腰直角三角形，请证明你的结论；

开放拓展：

(2)如图2,若矩形ABC。沿过点8的直线折叠，点G在边上.折痕为BG,点A

的对应点4落在矩形ABC。内部，42=4,4。=2代，连接AD

①在此过程中，点4翻折到点4所走的路径长的范围是；

②的最小值为.

图1图2

26.在平面直角坐标系中，抛物线y=-N+fcv-2左的顶点为N.

(1)若此抛物线过点4(-3,1),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，若抛物线与y轴交于点2,连接AB,C为抛物线上一点，且位

于线段48的上方，过C作垂直无轴于点。，8交AB于点E,若CE=ED,求点C

的坐标；

(3)无论左取何值，抛物线都经过定点H,当直线HN与y轴的交角为45°时，求人的

参考答案

一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）.

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

A.B.C.

【分析】一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

2.用配方法解一元二次方程N-4X-2=0,下列变形正确的的是（）

A.（尤-4）2—-2+16B.（尤-4）2=2+16

C.（x-2）2=-2+4D.（x-2）2=2+4

【分析】先移项，再配方，即可得出答案.

解：N-4x-2=0,

移项，得尤2-4尤=2,

酉己方，得炉-4x+4=2+4,

（x-2）2=2+4,

故选：D.

3.如图，NO=30°,C为上一点，且OC=6,以点C为圆心，半径为2的圆与

的位置关系是（）

A.相离B.相交

C.相切D.以上三种情况均有可能

【分析】首先过点C作CD，。4于点。，由/。=30°,0c=6,可求得CO的长，又

由半径为2,即可求得答案.

解：过点C作于点。，

：/。=30°,0c=6,

，CD=4C=3,

2

:半径为2,

以点C为圆心，半径为2的圆与0A的位置关系是：相离.

故选：A.

4.关于元的一元二次方程N-2x+%=0有两个相等的实数根，则左的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4-4左=0,解之即可得出女值.

解：•・,关于x的一元二次方程N-2x+k=0有两个相等的实数根，

A=（-2）2-4%=4-4左=0,

解得：k=\.

故选：A.

5.某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动，每买100元商品，可参加抽奖一次，

中奖的概率为4■，小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会，则小明（）

O

A.能中奖一次B.能中奖二次

C.至少能中奖一次D.中奖次数不能确定

【分析】由于中奖概率为春，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生.

解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.

故选：D.

6.将抛物线y=x2-2x+3平移得到抛物线y=N,则这个平移过程正确的是（）

A.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平

移的情况.

解：抛物线y=N的顶点坐标为（0,0）,抛物线y=N-2x+3=（x-1）?+2顶点坐标为

（1,2）,

;点（1,2）向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得到（0,0）,

.•.将抛物线y=x2-2x+3左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线y=N.

故选：A.

7.如图，是OO的切线，以点A为切点，。8交于点C,点。在。。上，连接AD,

CD,OA,若/8=20°,则/AOC的度数为（）

【分析】先根据切线的性质得到/。48=90°,则利用互余可计算出/。=70°,然后根

据圆周角定理得到ZADC的度数.

解：是。。的切线，

.'.OALAB,

：.ZOAB=9Q°,

.-.ZB=20°,

.,.Z6>=90°-20°=70°,

：.ZA£）C=4-ZO=—X70°=35°.

22

故选：B.

8.已知抛物线y=ax1+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（)

【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看

是否一致.逐一排除.

解：A、由二次函数的图象可知。<0,此时直线>=依+匕应经过二、四象限，故A可排

除；

B、由二次函数的图象可知。<0,对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b>0,此时直

线y=or+b应经过一、二、四象限，故B可排除；

C、由二次函数的图象可知。>0,此时直线>=办+6应经过一、三象限，故C可排除；

D、观察图象可知a>0,b<0,符合题意.

故选：D.

9.如图，正方形ABC。内接于。。，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方

【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正

方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可.

解：•.•设正方形的边长为。，

的半径为宕=^a，

S正方形=。2,

，在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABC。内的概率是a2=亲，

仔二兀儿

2

故选：C.

10.距期末考试还有20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组

的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，

请问该学习小组共有学生()

A.4AB.5人C.6AD.7人

【分析】设该学习小组共有学生x人，则每人需写(%-1)份拼搏进取的留言，根据小

明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，即可得出关于x的一元二次方程，解

之取其正值即可得出结论.

解：设该学习小组共有学生尤人，则每人需写(%-1)份拼搏进取的留言，

依题意得：x(x-1)=30,

整理得：炉7-30=0,

解得：xi=6,xi=-5(不合题意，舍去).

故选：C.

11.如图，P为等腰直角△A8C外一点，把8尸绕点B顺时针旋转90°至使点「在4

ABC内，已知/AHB=135°,连接P'C,P'A,若P'C=5P'A,则PA：PB=()

【分析】连接AP,根据同角的余角相等可得,然后利用“边角边”证

明和△C8P全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=CP,连接PP,根

据旋转的性质可得△P2P'是等腰直角三角形，然后求出NAP'P是直角，再利用勾股

定理用AP'表示出PP,又等腰直角三角形的斜边等于直角边的、历倍，代入整理即可

得解.

解：如图，连接AP,

：BP绕点8顺时针旋转90°到BP',

：.BP=BP',ZABP+ZABP'=90°,

又：AABC是等腰直角三角形，

：.AB=BC,ZCBP'+ZABP'=90°,

/.ZABP=ZCBP',

在和△CBP，中，

'BP=BP'

-ZABP=ZCBP?,

,AB=BC

.,.△ABP乌ACBP，(SAS),

：.AP^P'C,

\"P'C=5P'A,

：.AP^5P'A,

连接PP',则△PBP是等腰直角三角形,

：.ZBP'P=45°,PP'='/2PB,

VZAP'8=135°,

：.ZAP'P=135°-45°=90°,

：./\APP'是直角三角形，

设PA=x,则AP=5x,

PP=VAP2-?"A2=2v，

:.PB=PB=2心,

：.P'A：P'2=1：2«,

故选：D.

12.抛物线y="2+bx+c的顶点坐标为(1,-4a),其大致图象如图所示，下列结论:

①a6c>0；

②4a+26+c<0；

③若方程a(x+1)(x-3)=1有两个根xi,xi,且xi<%2,则-1<XI<%2<3；

④若方程|如2+法+4=相有四个根，则这四个根的和为4.

其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的

关系，然后根据对称轴判定6与。的关系；当龙=2时，y=4a+2b+c>0；然后由二次函

数与一元二次函数之间的关系确定③和④.

解：•••抛物线开口向下，

:对称轴天=-袅=1，

2a

:.b=-2〃>0,

・・,抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，

.,.c>0,

abc<0,故①错误；

由图象可知，当x=2时，y=4〃+2Z?+c>0；故②错误；

)•抛物线y=〃x2+bx+c的顶点坐标为(1,-4a),

；・抛物线y—CL(x-1)2-4a=ax2-2ax-3=a(x+1)(x-3),

・・・抛物线与％轴的两个交点的横坐标分别为％=-1,x=3；

若方程Q(x+1)(X-3)=1有两个根X2,且％1<必则-1VXI〈X2<3,故③正

确；

若方程|〃N+fcc+c|=根有四个根，由函数图象的对称性可知，这四个根的和为4,故④正

确.

综上，有2个说法正确；

故选：B.

二.填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分）

13.儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有30万个形状大小相同的各色塑料小球，某同学

为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为0.15,据此

可以估计该球池内红球大约有4.5万个.

【分析】用摸出红球的频率乘以球的总个数即可.

解：估计红球的个数大约为30X0.15=4.5（万个），

故答案为：4.5.

14.抛物线y=（尤+2）（x-1）的对称轴是直线.

------------------2~

【分析】将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决.

,,1Q

解：•.•抛物线y=（尤+2）（x-1）—x2+x-2—（x+—）2--,

24

,该抛物线的对称轴是直线x=

故答案为：直线X=-/.

15.若向一2）乂6-2+尤-3=°是关于尤的一元二次方程，则m的值是-2.

【分析】根据一元二次方程的定义得出m-2W0,m2-2=2,求出即可.

解：：（m-2）3=°是关于龙的一元二次方程，

.\m-2^0,m2-2=2,

解得：m=-2,

故答案为：-2.

16.用半径为10on的扇形围成一个最大的圆锥侧面，圆锥的高为8c徵，则扇形的圆心角的

度数是216。.

【分析】首先根据圆锥的高和底面半径求得圆锥的底面半径，然后利用底面周长等于扇

形的弧长求得圆心角即可.

解：・・,圆锥的高线为8on,其侧面展开图是一个半径为10。根的扇形，

二圆锥的底面半径为6cm,

设圆心角为,

n兀X10

贝ij2TTX6=

180

解得：n=216,

故答案为:216°.

17.如图，在半径为R的O。中，A8是直径，AC是弦，。为曲的中点，AC与8。交于点

E,若点E是8。的中点，则AC的长为性返R.

【分析】连接交AC于E根据垂径定理得出OOLAC,AF=CF,进而证得。尸=

BC,根据三角形中位线定理求得。4外”]■。凡从而求得8C=Z)F=等，利用勾股

定理即可求得AC.

解：连接O。，交AC于R

・・・。是众的中点，

：.OD±ACfAF=CF,

：.ZDFE=90°,

'：OA=OB,AF=CF,

OF=£BC,

'：AB是直径，

Z.ZACB=90°,

在△EFD和△ECB中，

，ZDFE=ZBCE=90°

<ZDEF=ZBEC,

LDE=BE

:.丛EFD学丛ECB(AAS),

：.DF=BC,

：.OF^—DF,

2

•：OD=R,

，。尸音,

O

在Rt"BC中，-BC1,

•1-AC=VAB2-BC2=J4R2-^-=^^R，

vgs

18.如图，将边长为2的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形A*CD',

连接38、BC,在旋转角从0°到180°的整个旋转过程中，当29=2。时，△82'

C的面积为2+«或2-\门.

【分析】当点。在直线AB右侧时，如图，过点8作8EL8C于E,延长E8交于凡

由旋转的可得AB=AB'=B'C=AD'=2,ZBAD=ZB'AD'=90°=ZC'B'A,由等腰三角

形的性质可求3'E=C'E=1,通过证明四边形8EE4是矩形，可得AF=B£=1,EF=AB'

=2,

由勾股定理可求8尸的长，可得BE的长，由三角形面积公式可求解；若点。在直线

的左侧时，过点B作3c于M,交AO于N,相同的方法可求解.

解：当点。在直线AB右侧时，如图，过点8作于E,延长EB交于F，

图1

:将边长为2的正方形A8CD绕点A按逆时针方向旋转，

：.AB=AB'=B'C^AD'^2,ZBAD^ZB'AD'^90°=NCB'A,

,：BB'=BC',BE±B'C,

：.B'E=CE=1,

'：BE±B'C,ZB'AD'ZAB'C^90°,

；•四边形B'EEA是矩形，

.,.AF=B'E=1,EF=AB'=2,

AB2-AF2=V4-l=V3>

:.BE=2-M，

C的面积=38C><BE=4X2><（2-眄）=2-愿；

若点。在直线A8的左侧时，过点B作8ALL8C于交A。于N,

同理可求BN=«,

BM=MN+BN=2+a，

C的面积=/BCXBM=3><2X（2+愿）=2+«；

综上所述：ABB'C的面积为2+日或2-，、门.

故答案为：2+J^或2-

三.解答题（共8个小题，共78分）

19.解方程：（2%-1）2=4（2x-1）x.

【分析】利用因式分解法求解即可.

解：*.*（2x-1）2=4（2x-1）x,

・•・（2x-1）2-4（2x-1）九=0,

则(2x-l)(-2x-1)=0,

.\2x-1=0或-2x-1=0,

解得制=/,X2=-

20.现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀.

（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是4；

-4—

（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2

张卡片上的数字之和为5的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

【分析】（1）根据概率公式计算；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽得的2张卡片上的数字之和为5

的结果数，然后根据概率公式计算.

解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是苫，

故答案为：”；

4

（2）画树状图如图：

和345356457567

共有12个等可能的结果，抽得的2张卡片上的数字之和为5的结果有4个,

抽得的2张卡片上的数字之和为5的概率为焉=看.

■L，o

21.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为60米

的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域，而且这两块矩形区域的面积相

等.设AE的长度是x米，矩形区域AEFD的面积为y平方米.

(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量尤的取值范围;

(2)无取何值时，y有最大值？最大值为多少？

D

岸区域①

\HG

堤区域②

E

【分析】(1)设AE的长度是x米，则AO=60-3x,根据题意即可得到结论；

(2)将(1)二次函数写成顶点式，从而求得y何时有最大值，即可得出结论.

解：(1)设AE的长度是尤米，贝|40=60-3尤，

根据题意得，y—(60-3无)x=-3x2+60x(0<x<20)；

(2)-3x2+60x=-3(x-10)2+300,

.•.x=10时，y有最大值，最大值为300平方米.

22.如图，点。是△ABC的内心，A。的延长线交△ABC的外接圆于。.求证：OD=CD.

【分析】连接OC,根据点。是△A8C的内心，可得ZOCA=ZOCB,

然后证明即可得到结论.

【解答】证明：如图，连接OC,

A

・・,点。是△ABC的内心，

：.ZCAD=ZBADfN0CA=N0G5,

9：ZBAD=ZBCD,

：.ZCOD=ZCAD+ZOCA=ZBAD+ZOCB,

ZDCO=NBCD+/OCB,

；・NCOD=NDCO,

•••△OCO是等腰三角形，

・・・OD=CD.

23.将关于元的一元二次方程N-px+q=0变形为N=px-q,就可以将N表示为关于x的

一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如X3=X・%2=X(px—g)=…，该方程变形为

x2-px=-q,也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方

法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：

已知：x2-2%-1=0,且x>0,求A4-213-3%的值.

【分析】先求出方程/-2工-1=0且x>0时的解，再变形方程/一2%-1=0,用“降次

法”化简代数式，最后代入求值即可.

解：・・•方程1—0的解为:X=受远=1土加，

由于x>0.

所以％=1+a.

Vx2-2x-1=0,

.,.x2-2x=1,N=2x+1.

•W-2x3-3x

=N(N_2x)-3x

=12-3x

2x+l-3x

=1-x.

当％=l+&时，

原式=1-（1+衣）

=-V2-

24.如图，在△ABC中，NAC5=90°,点。为BC边上一点，以05为半径的。。与边

AB,BC交于点D、E,连接。。、DE,且CO为。。的切线.

（1）求证：AC=DC；

（2）若N5=30°,。。的半径为1,求阴影部分的面积.

【分析】（1）连接0D,如图，根据切线的性质得到NOOC=90°,然后证明NA=N

CDA,从而得至l」AC=OC；

（2）根据圆周角定理得到NDOE=60°,利用含30度的直角三角形三边的关系得到

=«,然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=&o℃-S扇形DOE进行计算.

【解答】（1）证明：连接0。，如图，

•「CD为。。的切线，

ODLCD,

：.ZODC=90°,

：.ZCDA^ZODB=90°,

VZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

'：OD=OB,

：・NODB=NB,

：.ZA=ZCDA,

：.AC=DC；

(2)解：VZ£>OE=2ZB=2X30°=60°,

而/OZ)C=90°,

:.CD=4^OD=M，

阴影部分的面积=Sz\OQC-S扇形DOE

25.动手操作：

利用“矩形纸片的折叠”开展数学活动，探究体会图形在矩形折叠过程中的变化及其蕴

含的数学思想方法.

如图1,将矩形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为EF,AB=4.展

平后，将矩形ABC。沿过点2的直线折叠，使点A的对应点A落在所上，点G在AD

边上，折痕为BG,连接A'C.

思考探究：

(1)①当矩形ABCD为正方形时，ZVVBC为等边三角形;

②当4。=/^一时，为等腰直角三角形，请证明你的结论；

开放拓展：

(2)如图2,若矩形A8CD沿过点8的直线折叠，点G在A。边上.折痕为BG,点A

的对应点A'落在矩形内部，AB=4,AD=2«,连接AD.

①在此过程中，点A翻折到点A所走的路径长的范围是0＜益广的长＜2n；

②AD的最小值为2^7-4.

图1图2

【分析】（1）①证明8C=ZM'=CV可得结论.

②利用等腰直角三角形的性质求出BEBC可得结论.

（2）①利用弧长公式求出点A,落在BC上时，AH的长即可解决问题.

②连接B。，解直角三角形求出8。，根据D4'NBD-BA',求解即可.

解：（1）①结论：是△?!'8c是等边三角形.

理由：：四边形ABC。是正方形,

：.AB=BC,

垂直平分线段BC,

.,.A7B=A'C,

由翻折的性质可知，

：.BC=BA'=CA',

.,.△A'8C是等边三角形.

故答案为：等边.

②如图1-1中,

B

G

E

D

图1-1

：△ABF的等腰直角三角形，BA=BA'=4,

：.BF=FA'=2后,

,:BF=CF,

:.BC=4近,

:四边形ABC。是矩形,

.,.AD=BC=4^j2.

故答案为：472.

(2)①如图2中,

图2

在RtZXBA。中，ZBAD=90°,AB=4,A£)=4«,

ADL

・・・tanNA8O=黑=«,

AB

AZABD=60°,

当点A'落在BC上时，盗尸的值最