2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年吉林省长春市朝阳区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.在下列关于尤的函数中，一定是二次函数的是（）

A.y=-3xB.xy=2C.y=ax-+bx+cD.y=2x-+5

2.一元二次方程x2+2x+3=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根

C.有两个不相的实数根D.没有实数根

3.将抛物线y=3%2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表

达式为（）

A.y=3（尤-2）2+6B.y=3（x-2）2-6

C.y=3（x+2）2+6D.y=3（x+2）2-6

4.如图，直线a〃b〃c,直线/i、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点E、F.若

AB：BC=1：2,DE=3,则EF的长为（）

A.1.5B.6C.9D.12

5.如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64。的方向且与轮船相距

52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁.若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航

行安全，需要计算A到的距离AC下列算法正确的是（）

A

OC8东

A.AC=52cos64°

C.AC=52sin64°D.AC=52tan64°

6.对于抛物线y=-（x+1）2+3,下列说法中正确的是（）

A.开口向上

B.对称轴是直线x=l

C.当了＞-1时，y随x的增大而增大

D.函数的最大值是3

7.若抛物线经过点尸（-布,4）,则该抛物线一定还经过点（）

A.（4,-有）B.4）C.（-4,e）D.（-77--4）

8.将抛物线＞=（-以-2在x轴上方的部分记为Mi,在无轴上及其下方的部分记为区,

将Mi沿x轴向下翻折得到M?,,跖和跖两部分组成的图象记为M.若直线y=m与M

恰有2个交点，则机的取值范围为（）

A.机＞6或-6B.m=0或机＜-6C.-6＜m＜6D.〃z=0或机＞6

二、填空题（每小题3分，共18分）

9.计算：—sin60°=.

2---------

10.如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据

“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小

排列为.

11.如图,ZVIBC中，。是2c中点,AE平分/2AC,AE_L2E,AB=3,AC=5/!|r>E=

12.如图，在平面直角坐标系中，若直线＞=»«+"与抛物线y=ox2+bx+c分别交于A（-1,

p）、B（2,q）,则关于x的不等式7nx+〃＜加+a+（?的解集是.

13.若关于x的一元二次方程2x2+3x-5=0的一个根是m,则4m2+6m-2021的值

为.

14.一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球离地面的高

度y（米）与水平距离X（米）之间的函数关系式为y=*x2+bx+c，当铅球离地面的

高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为米.

三、解答题（本大题10小题。共78分）

6V27-V12+V45-

16.解方程：x2+5x-2=0.

17.图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形

的边长为1,点A、8、C均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求

作图（保留作图痕迹）.

（1）在图①中作AABC的中线80.

（2）在图②中作△A2C的高3E.

（3）在图③中作△ABC的角平分线8尸.

18.2021年是中国辛丑牛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到4、B、C三个完

全相同的不透明盒子中，现从中随机抽取一个盒子.

（1）“小明抽到面值为80分的邮票”是事件（填“随机”“不可能”或“必

然”）.

（2）小明先随机抽取一个盒子记下邮票面值后将盒子放回，再随机抽取一个盒子记下邮

票面值，用画树状图(或列表)的方法，求小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等

的概率.

AB

19.若物线y=-N+b尤+c经过(-1,0)和(5,0).

(1)求抛物线对应的二次函数表达式.

(2)当0<x<5时，直接写出y的取值范围是.

20.如图，在平行四边形ABC。中，AD=3,过点B作于E,连结4E,ZAEB=

60°,P为上一点，且NBFE=NC.

(1)求证：

21.如图，某矩形花园ABC。一边靠墙，墙长35八另外三边用长为69根的篱笆围成，其

中一边开有一扇宽为1加的门(不包括篱笆).设矩形花园A2C。垂直于墙的一边长

为xm,面积为Sirr.

(1)BC的长为m(用含尤的代数式表示).

(2)求S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围.

(3)求花园面积S的最大值.

22.【教材显现】下面内容是华师版八下第75页练习2.

如图①，如果直线/1〃乱那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的.

请你对上述的结论加以证明.

【方法探究】如图②，在△ABC中，点。、E分别在边AB、AC上，DE//BC,果=当，

点尸在边3c上，连结所EF.求证：S^DEF谒SLABC.

【拓展应用】如图③，在AABC中，。、E分别在边AB、AC上.黑=笑=?,在线段

DBEC4

DE上取一点F（点F不与点D、E重合），连结AF并延长交BC于点G,点、M、N在

23.如图，在RtaAQC中，ZC=90°,AB=5,AC=4.动点P从点A出发，沿AB以每

秒4个单位长度的速度向终点8运动.过点P作尸QLA2交AC或BC于点Q.分别过

点P、。作AC、的平行线交于点设△PQM与△ABC重叠部分的面以为S,点尸

运动的时间为f（/>。）秒.

（1）当点。在AC上时，CQ的长为.（用含f的代数式表示）

（2）当点M落在3c上时，求r的值.

（3）当△产•!/与△ABC的重合部分为三角形时，求S与f之间的函数关系式.

（4）点N为尸M中点，直接写出点N到△A2C的两个顶点的距离相等时f的值.

24.在平面直角坐标系中，抛物线L：y=-^x2-mx+2m+3（相是常数）的顶点为A.

（1）用含加的代数式表示抛物线L的对称轴.

（2）当2WxW3,抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式.

（3）已知点2（-3,2）、C（2,7）,当-3<m<2时，i^AABC的面积为S.求S

与机之间的函数关系式，并求S的最小值.

(4)已知矩形MNP。的四个顶点的坐标分别为M(3,3-机)、N(3,3+吴、尸(5+m,

3+告优)、Q(5+m,3-m),当抛物线L与边MN、尸。各有1个交点分别为点。、E时,

若点。到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共24分)

1.在下列关于尤的函数中，一定是二次函数的是()

A.y=-3尤B.xy=2C.y=ax2+bx+cD.y=2x2+5

【分析】根据二次函数的定义：y=o?+fcv+c(a、b、c是常数，aWO),可得答案.

解：A、y=-3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B、孙=2不是二次函数，故此选项不符合题意；

C、。=0时不是二次函数，故此选项不符合题意；

D、y=2^+5是二次函数，故此选项符合题意；

故选：D.

2.一元二次方程尤2+2x+3=0的根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根

C.有两个不相的实数根D.没有实数根

【分析】先计算根的判别式△,再根据根的判别式进行判断即可.

解：VA=22-4X1X3

=4-12

=-8<0,

.••一元二次方程无解.

故选：D.

3.将抛物线y=3/先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表

达式为()

A.y=3(x-2)2+6B.y=3(x-2)2-6

C.y=3(x+2)2+6D.y=3(x+2)2-6

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式.

解：将抛物线y=3/先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函

数表达式为：y=3(x+2)2+6.

故选：C.

4.如图，直线a〃6〃c,直线/i、L与这三条平行线分别交于点A、B、C和点E、F.若

AB：BC=1：2,DE=3,则EP的长为（）

A.1.5B.6C.9D.12

【分析】由。〃b〃c,可得绊耳，由此即可解决问题.

BCEF

解：'：a//b//c,

.ABDE

••—，

BCEF

・.・1一3，

2EF

；.EF=6,

故选：B.

5.如图，一艘轮船由西向东航行到。处时，发现A岛在北偏东64。的方向且与轮船相距

52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁.若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航

行安全，需要计算A到05的距离AC下列算法正确的是（）

IS

A

OC8东

A.AC=52cos64°B.AC=—

cos64

C.AC=52sin64°D.AC=52tan64°

【分析】先求出NCA。的度数，再由锐角三角函数定义求出AC的长即可.

解：由题意可得：NCAO=64°,

AC

：.cosZCAO=—

OAf

・・・AC=52cos64°.

故选：A.

6.对于抛物线y=-（x+1）2+3,下列说法中正确的是（）

A.开口向上

B.对称轴是直线x=l

C.当x>-l时，y随x的增大而增大

D.函数的最大值是3

【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，

从而可以解答本题.

解：：抛物线>=-（X+1）2+3,

...该抛物线开口向下，故选项A不符合题意；

对称轴是直线x=-l,故选项8不符合题意；

当x>-l时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；

当x=-l时，该函数取得最大值3,故选项。符合题意；

故选：D.

7.若抛物线经过点尸（-4）,则该抛物线一定还经过点（）

A.（4,-旧）B.（书，4）C.（-4,有）D.（-77--4）

【分析】根据二次函数图象的对称性解答.

解：’.,抛物线尸加对称轴为y轴，抛物线尸加经过点尸（-祈，4）,

...点尸关于y轴的对称点（祈，4）也在抛物线y=o?上，

•••该抛物线一定还经过点54）.

故选：B.

8.将抛物线y=x2-4x-2在x轴上方的部分记为Mi,在x轴上及其下方的部分记为强，

将Mi沿x轴向下翻折得到M3,M2和Ms两部分组成的图象记为M.若直线y=m与M

恰有2个交点，则m的取值范围为（）

A./">6或相<-6B.m=0m<-6C.-6<m<6D.m=0m>6

【分析】求得抛物线的顶点坐标，根据题意作出图象根据图象即可求得若直线>=相

与M有2个交点，机的取值范围.

解：：y=/-4x-2=（x-2）2-6,

.•.抛物线的顶点为（2,-6）,

在x轴上及其下方的部分记为M2,将Mi沿x轴向下翻折得到M2和Mi两部分组成

的图象记为如图,

若直线y=m与M恰有2个交点，与图象可知，7〃的取值范围为：机=0或根＜-6.

9.计算：—sin60°=返.

2一4一

【分析】根据60°的正弦值等于夕计算即可.

解：—sin60°=」乂返=返，

2224

故答案为：返.

4

10.如图，转动下面三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据

“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小

阴影面积

【分析】指针落在阴影区域内的可能性是:比较阴影部分的面积即可.

屈、面看!

解：指针落在白色区域内的可能性从小到大的顺序为：（1）、（3）、（2）.

11.如图，△ABC中，。是中点，AE平分NBAC,AE±BE,AB=3,AC=5,则DE

1

【分析】延长BE交AC于凡证明防之AAE凡根据全等三角形的中线得到

=3,BE=EF,进而求出产C,根据三角形中位线定理解答即可.

解：延长交AC于尸，

VAE平分NA4C,

・・・/BAE=NFAE,

9

：AE.LBEf

：.ZAEB=ZAEF=90°,

在AAEB和△AEF中，

<ZBAE=ZFAE

<AE=AE，

ZAEB=ZAEF

AAAEB^AAEF(ASA),

AAF=AB=3,BE=EF,

：.FC=AC-AF=5-3=2,

•:BD=DC,BE=EF,

：.DE=—FC=\,

2

故答案为：1.

12.如图，在平面直角坐标系中，若直线y=g:+〃与抛物线产加+法+。分别交于A(-1,

p)、B(2,q),则关于x的不等式加计〃VQN+^X+C的解集是-1VXV2.

【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.

解：观察函数图象可知：当-IV九V2时，直线y=g+〃在抛物线>=〃冗2+以+。的下方,

，不等式twc+n<ax2+bx+c的解集为-1VxV2,

故答案为：-lVx<2.

13.若关于x的一元二次方程2x2+3x-5=0的一个根是m,则4m2+6m-2021的值为

2011.

【分析】先根据方程的解的概念得出2m2+3m=5,再代入原式=2(2m2+3m)-2021计

算即可.

解：•关于x的一元二次方程242+3冗-5=0的一个根是相，

2m2+3m-5=0,

2m2+3m=5,

则原式=2(2m2+3m)-2021

=2X5-2021

=10-2021

=-2011,

故答案为：-2011.

14.一名运动员在平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为3米，出手后铅球离地面的高

度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系式为y=-^x2+bx+c，当铅球离地面的

高度最大时，与出手点水平距离为5米，则该运动员推铅球的成绩为12米.

【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y=0,得关于

x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可.

解：设铅球出手点为点4根据题意建立平面直角坐标系，如图:

•；当铅球离地面的高度最大时，与出手点水平距离为5米,

..•抛物线的对称轴为直线x=5,

.b_-------J-_20b

"正一2X（售厂可一

则7，

又：抛物线经过（0,3），

5

当x=0时，——x2+—x+-=0,

4045

整理得：尤2-iox-24=0,

解得：%i=-2（舍去），%2=12,

故答案安为：12.

三、解答题（本大题10小题。共78分）

6V27-V12+V45-

【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可.

解：原式=3«-2正+3泥=«+3旄.

16.解方程：x2+5x-2=0.

【分析】先计算出4=52-4X（-2）=33,然后代入一元二次方程的求根公式中即可.

解：VA=52-4X（-2）=33,

.T--5±-/33

••2X1'

—-5+V33r-5-733

22

17.图①、图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形

的边长为1,点A、夙C均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求

作图(保留作图痕迹).

(1)在图①中作△ABC的中线BO.

(2)在图②中作△A2C的高BE.

(3)在图③中作△ABC的角平分线BE

(2)取格点T,连接交AC于点E,线段BE即为所求；

(3)取格点W,连接交AC于点F线段即为所求.

解：(1)如图①中，线段3。即为所求；

(2)如图②中，线段BE即为所求；

(3)如图③中，线段2尸即为所求.

18.2021年是中国辛丑牛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完

全相同的不透明盒子中，现从中随机抽取一个盒子.

(1)“小明抽到面值为80分的邮票”是不可能事件(填“随机”“不可能”或“必

然”).

(2)小明先随机抽取一个盒子记下邮票面值后将盒子放回，再随机抽取一个盒子记下邮

票面值，用画树状图(或列表)的方法，求小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等

的概率.

【分析】（1）估计随机事件和确定事件的定义进行判断；

（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式

求解即可.

解：（1）小明抽到80分邮票”是不可能事件；

故答案为：不可能；

（2）画树状图如下:

开始

ABC

小GA

共有9种等可能的结果.其中小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的结果数为3,

所以小明抽到的两个盒子里邮票的面值恰好相等的概率=得=£.

93

19.若物线y=-N+b尤+c经过(-1,0)和(5,0).

（1）求抛物线对应的二次函数表达式.

（2）当0<尤<5时，直接写出v的取值范围是0<y<9.

【分析】（1）利用待定系数法可得二次函数表达式；

（2）把尤=0和x=5代入表达式，再结合抛物线的顶点坐标可得y的取值范围.

解：（1）把（-1,0）和（5,0）代入y=-x2+fcr+c得，

f-l~b+c=0

1-25+5b+c=0

解得6=4,c=5,

所以二次函数的表达式为y=-T+4X+5；

（2）抛物线的对称轴是x=2,顶点坐标（2,9）,

当x=0时，y=5；当x=5时，y=0；

...当0<尤<5时，0<y<9,

故答案为：0<y<9.

20.如图，在平行四边形ABC。中，AD=3,过点2作2ELC。于E,连结AE,ZAEB=

60°,F为AE上一点、,且/BFE=/C.

(1)求证：dABEsAEAD.

(2)BP的长为三退.

—2―

【分析】（1）利用等角的补角相等可得从而证明结论;

（2）由30°角的直角三角形的性质可求出BE=±Z1_,4£="过，由（1）知，AABF

33

sAEAD,得粤•鹏,代入即可.

ADAE

【解答】(1)证明：vzr>+zc=180°,AB//CD,

：.ZBAF=NAED,

VZAFB+ZBFE=180°,ZD+ZC=180°,NBFE=NC,

：.NAFB=/D,

△ABF's△£4£)；

(2)解：\-BE_LCD,AB//CD,

：.BE.LABf

：.ZABE=90°,

VZAEB=60°,

•••tan60°=篙空，

ED

：.BE=^^,

3

:.AE=^^,

3

由(1)知，AABF^AEAD,

.BF_AB

,,AD'AE'

BF=4

=84，

3

/1BF=3A/3^

2

故答案为：旭.

2

21.如图，某矩形花园ABC。一边靠墙，墙长35相，另外三边用长为69相的篱笆围成，其

中一边开有一扇宽为1优的门(不包括篱笆).设矩形花园ABC。垂直于墙的一边AB长

为xm,面积为Sm2.

(1)BC的长为70-2xm(用含x的代数式表示).

(2)求S与尤之间的函数关系式，并写出x的取值范围.

(3)求花园面积S的最大值.

【分析】(1)根据垂直于墙的一边长为x机时，则另一边的长度为(69+1-2x)m；

(2)根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，并根据题意写出自变量的取值范

围；

(3)根据二次函数的性质以及自变量的取值求函数最值.

解：(1)'：AB—xm,

.'.BC=69-2x+l=(70-2x)m,

故答案为：70-2x；

(2)由题意得：S=x(70-2x)=-2x2+70.x,

'x>l

70-2x>0，

,70-2x435

35,

2

与尤之间的函数关系式为S=-2/+70X(华Wx<35)；

(3)-：S=-2x2+70x=-2(x--)2+1^11,

22

・.・-2<0,—^x<35,

2

.•.当X=半时，s有最大值，最大值为里殳.

22

二花园面积s的最大值为埒殳源.

22.【教材显现】下面内容是华师版八下第75页练习2.

如图①，如果直线/i〃，2,那么△ABC的面积和△OBC的面积是相等的.

请你对上述的结论加以证明.

【方法探究】如图②，在△ABC中，点。、E分别在边AB、AC上，DE//BC,果忖，

9

点尸在边8c上，连结。从EF.求证：S△啊=留△说.

【拓展应用】如图③，在△ABC中，。、E分别在边43、AC上.黑=线=«在线段

DBEC4

DE上取一点F（点厂不与点。、E重合），连结AF并延长交BC于点G,点,M、N在

线段BC上，且BM=2即，CN=2DF,若&ABC=49,则SABFM0CEN=24.

图1图2图3

【分析】【方法探究】证明△AOES/V1BC,推出要蟠=（曰）2=5,推出SAADE

SAABCAB9

=9S/\ABC>由BD=2AD,推出SABDE=2SAADE,由DE//CB,推出SADEF=SADEB,可得结

论;

【拓展应用】如图3中，利用相似三角形的性质求出△AOE的面积，再根据14FM+AENC

=计算即可.

O

【解答】【方法探究】证明：如图2中，连接BE.

图2

■:DE〃CB,

：.AADE^AABC,

,SAADE（AD）2」

^AABC黜9

**•SAADE=9SMBC,

：.BD=2ADf

・・S/\BDE=2SAADE，

■:DE〃CB,

S/\DEF=SADEB=2SAADE='--S^ABC^

【拓展应用】解：如图3中,

A

DZLL\E

G'fN

图3

..AD=AE=2

•而一而一了

C.DE//BC,

：.AADE^AABC,

.SAADE（AD）2—9

^AABC皿49

VSAABC—49,

•\S/^ADE=9,

•:BM=2EF,CN=2DF,

Sz\AFM+4ENC=-~~S/^ADE=24,

故答案为24.

23.如图，在Rt^AOC中，ZC=90°,AB=5,AC=4.动点P从点A出发，沿AB以每

秒4个单位长度的速度向终点B运动.过点尸作PQLAB交AC或BC于点。.分别过

点尸、。作AC、A3的平行线交于点设△PQW与△A3C重叠部分的面以为S,点尸

运动的时间为t(r>0)秒.

(1)当点。在AC上时，CO的长为4-5/.(用含f的代数式表示)

(2)当点M落在BC上时，求f的值.

(3)当△尸QM与△ABC的重合部分为三角形时，求S与f之间的函数关系式.

(4)点N为PM中点，直接写出点N到△ABC的两个顶点的距离相等时/的值.

【分析】(1)根据4=9。。’但5,AC=4,得cosA=f=f即得/告而

AP=4t,故4。=53CQ=AC-AQ^4-5r；

(2)由QA/〃AB,PM//AC,可得QM=A尸=4r,而△CQWsZ^CAB,即得生=生旦

54

可解得t=~

41

(3)当时，可求得5=」2河・尸°=」乂4悌3/=6产，当型时，△PQM与

4122415

4.R1

△ABC的重合部分不为三角形，当蓝时，可求得S=SMQB-SMPH=*PB・PQ-

DT：N

-BH-PH=-t2--/+—；

275153

(3)①当N到A、C距离相等时，过N作NE±AC于E,过产作PFLAC于尸，在Rt

AAPF中，由cosA=*,可得£=2/t,即可解得/=兽，②当N到A、B距离相

Aiu.u।

4At

等时，过N作NGLAB于G,同理可得解得/=鲁，③当N到2、C距离相等时，连接

1R

CP,可证明A尸=3尸=方3=5，即可得答案.

解：(1)如图:

c

:动点尸从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，点P运动的时

间为f(f>0)秒，

.'.AP=4t,

.4t=l

•,瓦—亨

.'.AQ=5t,

：.CQ=AC-AQ=4-5t,

故答案为：43；

(2)如图：

QM=AP=4t,

-：QM//AB,

.QM__CQ即4t_4-5t

••而一而’-5

20

解得t

41

20

.•.点M落在BC上时，『的值是41；

(3)当W丝时，如图:

41

此时与AABC的重合部分为三角形,

由(1)(2)知：AQ=5t,AP=QM=4t,

.，•P2=VAQ2-AP2=3Z-

ZPQM=ZQPA=90°,

：.S=^QM-PQ=^X4tX3t=6t1,

当Q与C重合时，CQ=O,即4-5t=0,

•一4

5

当时，△PQM与△ABC的重合部分不为三角形,

415

,.・AP="

・•・尸8=5

•：PM//AC9

.PH-BH-PB日nPHBH5-4t

ACBCAB435

_4(5-4t),_3(5-4t)

nr——

------"―,LJL1：

.4_PQ

35-4t'

.pn4(5-4t)

:・S=SAPQB-SABPH

=—PB'PQ--BH'PH

22

3(5-4t),4(5-4t)

_512，256u32

-----------1-----H---

153

20

41

综上所述，S=<

----t.―----++---<

75153*(-5L--.—4，)

(3)①当N到A、C距离相等时，过N作NELAC于已过户作PFJ_AC于后如图:

C

・・・N到A、C距离相等，NE_LAC,

・•・NE是AC垂直平分线，

：.AE=^AC=2f

2

ON是尸M中点,

115

APN=2AQ=29

：.EF=PN=2t,

2

5

：.AF=AE-EF=2-—t

2f

AR

在RtZXAP尸中，cosA=—,

解得/=答，

b(

②当N到A、8距离相等时，过N作NGLAB于G，如图:

15

：.AG=-AB=^-

22f

：.PG=AG-AP=4-46

2

4

cosZNPG=cosA=,

5

.PG4

PN5

11R

而PN=—PM=^AQ=^t,

222

解得'=今，

③当N到3、C距离相等时，连接CP,如图:

•JPM//AC,ACLBC,

：.PMLBC,

到B、C距离相等,

・・・N在的垂直平分线上，即PM是8C的垂直平分线,

:・PB=PC,

：.ZPCB=ZPBC,

：.90°-ZPCB=90°-ZPBC,即NPC4=NPAC,