2020-2021学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年江西省抚州市九年级第一学期期末数学试卷

、选择题(共6个小题，每小题3分，共18分).

1.下列线段中，能成比例的是(

A.3cm、6cm、8cm9cmB.3cm、5cm、6cm、9cm

C.3cm>6cm、7cm、9cm3cm、6cm、9cm、18cm

2.如图是某体育馆内的颁奖台，其左视图是(

C.口

3.已知反比例函数丫=工，下列结论中不正确的是()

x

A.图象经过点(-1,-1)

B.当x<0时，y随着尤的增大而增大

C.当x>l时，0<y<l

D.图象在第一、三象限

4.将抛物线y=3N先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解

析式是()

A.y=3(尤+1)2+2B.y=3(x-1)2+2

C.y=3(x-2)2+1D.y=3(x-2)2-1

5.一元二次方程炉-3x+l=0的两个根为Xl,X2,贝!］婷+3*2+尤1&+1的值为()

A.10B.9C.8D.7

6.已知二次函数(aWO)的图象如图所示，有下列5个结论：

(1)abc>Q；(2)b<a+c-,(3)4a+2b+c>0；(4)2c<3i>；(5)a+b>m{am+b}

的实数).其中正确的的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

7.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标为.

8.如图，体育兴趣小组选一名身高1.6〃z的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部

分，一部分同学测得该同学的影长为1.2相，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m,

那么旗杆的高度是m.

9.^cosA-y+|tanB-V31=0-那么AABC的形状是.

10.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,

AB,C。相交于点O,则cos/BOO=

11.如图，在口42。中，对角线AC,相交于点。，在DC的延长线上取一点E,使CE

12.如图，AB±BD,CDA,BD,AB=6,CD=4,8。=14.点2在3£＞上移动，当以P,C,

D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为

BD

三、(本大题共5个小题，每小题6分，共30分)

13.(1)解方程：x(x-3)=冗-3；

(2)计算：(2020-77)°+lV3-2|+2sin60°.

14.已知2-正是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程另一个根及c的值.

15.如图，是由两个等边三角形和一个正方形拼在一起的图形，请仅用无刻度的直尺按要求

画图.

(1)在图①中画一个60°的角，使点C或点£是这个角的顶点，且以CE为这个角的

一边；

(2)在图②画一条直线AP,使得AP〃CE.

16.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情.

(1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别

相同的概率是；

(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护

人员来自同一所医院的概率.

17.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠.

(1)重合部分是什么图形？请说明理由.

(2)若AB=4,BC=8,求△BO尸的面积.

四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）

18.已知：二次函数y=o?+fec+c（aWO）中的尤和y满足表:

•••-10123•••

.・・・・・

y30-10m

（1）观察表可求得m的值为；

（2）请求出这个二次函数的表达式.

19.阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元.调查发现，当售价为80元时,

平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个.若设每个

电子产品降价x元，

（1）根据题意，填表：

进价（元）售价（元）每件利润（元）销量（个）总利润（元）

降价前50803016030X160

降价后50————

（2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元?

20.为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的

风景线-“共享单车”.图（1）所示的是一辆共享单车的实物图，图（2）是这辆共享

单车的部分几何示意图，其中车架档AC长为40。〃，座杆CE的长为18cm点A、C、E

在同一条直线上，且/CAB=60°,ZACB=75°.

图⑴图12)

（1）求车座点E到车架档AB的距离;

（2）求车架档AB的长.

五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）

21.已知正比例函数力=以的图象与反比例函数以=且旦的图象交于A,B两点且A点的

x

横坐标为-L

(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.

(2)根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值.

(3)点,M(m,〃)是反比例函数图象上一动点，其中0<〃<3,过点M作轴交

x轴于点。，过点B作BC〃x轴交y轴于点C,交直线于点E,当四边形OMEB面

积为3时，请判断DM与EM大小关系并给予证明.

22.如图1,把两个相似比为晶的矩形A2C。与矩形CEFG拼成如图所示的图案.

(一)问题发现：

(1)请探究AC与CF的位置关系并证明.

(2)求黑的值.

Cr

(二)拓展应用：

如图2,在四边形A3C尸中，已知/ABC=90°,AB=3,BC=4,CF=10,AF=5娓.

(1)求tan/AFC；

(2)连接BE求BF的长.

图1图2

六、(本大题共1个小题，共12分)

23.定义：在平面直角坐标系中，抛物线>=0?+公+。(aWO)与直线>=相交于点A、C(点

C在点A右边)将抛物线y=ax1+bx+c沿直线y=m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别

为点2、D.我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABC。称为惊喜四

边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度(Degreeofsurprise),记作|。=典

AC

⑴图①是抛物线尸N-2x-3沿直线尸0翻折后得到惊喜线.则点A坐标,

点B坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形,

口为.

(2)如果抛物线y=〃z(x-1)2-6m(m>0)沿直线翻折后所得惊喜线的惊喜度

为1,求机的值.

(3)如果抛物线产(x-1)2-6%沿直线翻折后所得的惊喜线在加-IWXWWI+3

时，其最高点的纵坐标为16,求机的值并直接写出惊喜度10.

参考答案

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项.）

1.下列线段中，能成比例的是（）

A.3cm、6cm、8cm>9cmB.3cm、5cm、6cm、9cm

C.3cm、6cm、7cm、9cmD.3cm>6cm>9cm、18cm

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.

解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.

所给选项中，只有。符合，3X18=6X9,故选：D.

2.如图是某体育馆内的颁奖台，其左视图是（）

C.口D.目

【分析】找到从左面看所得到的图形即可.

解：从左边看去是上下两个矩形，下面的比较高.

故选：D.

3.已知反比例函数〉=工，下列结论中不正确的是（）

x

A.图象经过点（-1,-1）

B.当尤<0时，y随着x的增大而增大

C.当尤>1时，0<y<l

D.图象在第一、三象限

【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

解：A、当x=-1时，y=-1,即图象经过点（-1,-1）,不符合题意.

B、反比例函数>=工中的左=1>0,则当x<0时，y随着x的增大而减小，符合题意.

x

C、当尤>1时，0cy<l,不符合题意.

D、反比例函数y=』中的左=l>0,则图象在第一、三象限，不符合题意.

X

故选：B.

4.将抛物线y=3d先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解

析式是()

A.y=3(尤+1)2+2B.y=3(x-1)2+2

C.y=3(x-2)2+1D.y=3(x-2)2-1

【分析】根据题意得新抛物线的顶点(-1,2),根据顶点式及平移前后二次项的系数

不变可设新抛物线的解析式为：y=3(x-h)2+k,再把(-1,2)点代入即可得新抛物

线的解析式.

解：原抛物线的顶点为(0,0),向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，

那么新抛物线的顶点为(-1,2),

可得新抛物线的解析式为：y=3(x+1)2+2,

故选：A.

5.一元二次方程/-3x+l=0的两个根为xi,则婷+3及+尤1%2+1的值为()

A.10B.9C.8D.7

【分析】根据根与系数的关系找出尤1+%2=3、Xl-X2=l,将XJ+3X2+X1X2+1变形为3(尤1+X2)

+X1X2,代入数据即可得出结论.

解：：一元二次方程?-3*+1=0的两个根为Xi,X2,

2

.".X1-3X1+1=0,X1+X2=3,XI*X2=1,

.".xi2=3xi-1,

贝！Jxj+3x2+xix2+l=3xi-1+3尤2+X1X2+I=3(xi+x2)+XIX2=3X3+1=10,

故选：A.

6.已知二次函数y=ov2+6x+cswo)的图象如图所示，有下列5个结论：

(1)abc>0；(2)b<a+c；(3)4a+2b+c>0；(4)2c<3b；(5)a+b>m(am+b)

(MWI的实数).其中正确的的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】由抛物线的开口方向判断。与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断。与。的

关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：（1）图象开口向下，与）轴交于正半轴，对称轴为X=l,能得到：«<o,c>0,-

:・b=-2〃>0,

abc<0,此结论错误；

②当％=T时，由图象知yVO,

把％=-1代入解析式得：a-Z?+c<0,

:・b>a+c,

・・・此结论错误；

③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=l,

能得到：“VO,C>0,-^-=1,

2a

所以b=-2a,

所以4〃+2Z?+c=4〃-4tz+c>0,

・•・此结论正确；

④..•由①②知b--2〃且b>a+c,

2c<3Z?,此结论正确；

⑤当x=l时，y—a+b+c,

当％=根时，y=anf-^bm+c,

・・・加/1的实数，图象开口向下，对称轴为x=l,

a+b+c>an^+bm+c,

a+b>m（am+b）,

・・・此结论正确.

故选：B.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

7.抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标为（-2,1）.

【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标.

解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=（1+2）2+1的顶点坐标是（-2,1）.

故答案为：（-2,1）.

8.如图，体育兴趣小组选一名身高1.6优的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部

分，一部分同学测得该同学的影长为L2相，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9加,

那么旗杆的高度是12m.

2

【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.

解：由题意得

1.6：1.2=旗杆的高度:9.

旗杆的高度为12/77.

9.若氏二二|=0,那么△ABC的形状是等边三角形.

【分析】根据非负数的性质可得cosA-/=0,tanB-«=O,然后利用特殊角的三角函

数值可得NA=6O°,NB=60°,进而可得答案.

解：由题意得：cosA-a=0,tanB-«=0,

cosA=-^-,tanB=^/3，

AZA=60°,ZB=60°,

.\ZC=60°,

・・・AABC的形状是等边三角形，

故答案为：等边三角形.

10.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,。都在这些小正方形的顶点上，

AB,CD相交于点O,则COS/BOO=_Y^_.

【分析】连接CE、DE,利用正方形对角线的性质先说明CE〃AB、NCED=90。，这样

把求/BOD的余弦值转化为求/ECD的余弦值，在在Rt^CED中，可利用勾股定理和

直角三角形的边角关系求解.

解：如图，连接CADE.

・・・A8、CE、即都是正方形的对角线，

ZCEF=ZABF=ZOED=ZCEO=45

■:/CEF=/ABF,

J.CE//AB.

：.ZECD=ZBOD.

VZOE£>=ZCEO=45°,

・・・NCED=90°.

在RtZ\C£D中,

:.cos/BOD=S.

5

+/r公安小

11.如图，在nABCD中，对角线AC,2。相交于点。，在DC的延长线上取一点E,使CE

=^CD,连接OE交BC于点忆若BC=4,则CF=1

【分析】取C。中点G,连接OG,可得OG为△BOC的中位线，可得OG=2,再证明

△ECF-AEGO,推出W■号金，即可得答案.

OGEG2

解：取C。中点G,连接。G,

为8。中点,

即0G为△2DC的中位线,

OG//BC,且OG=/BC=2,

又•.•CE=」CZ),CF//OG,

2

:.△ECFs^EGO,

.CF_CE^1

'*00"EGV

又0G=2,

ACF=1,

故答案为：1.

12.如图，AB±BD,CDLBD,AB=6,CD=4,80=14.点2在8。上移动，当以P,C,

根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当簿噂时,AABP^A

CDP,即与华^；当兽将时，AABPSAPDC,即且在女；然后分别解方程求

4xDPDCx4

出X即可.

解：设DP=x,贝1]8尸=8。-*=14-工，

'：AB±BDB,CZ)_LB。于。，

：.ZB=ZD^9Q°,

...当组用1时，AABPsACDP,即旦=比女；

CDDP4X

解得x=M，

b

BP=14--=8A；

5

当细_图_时，△ABPsLPDC,即2

DPDCx4

整理得尤2-14尤+24=0,

解得xi=2,忿=12,

BP=14-2=12,BP=14-12=2,

.•.当B尸为8.4或2或12时，以C、。、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角

形相似.

故答案为：8.4或2或12.

三、(本大题共5个小题，每小题6分，共30分)

13.(1)解方程：x(尤-3)=x-3；

(2)计算：(2020-有)°+|«-2|+2sin60°.

【分析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)先计算零指数幕、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即

可.

解：(1)''x(x-3)=x-3,

.'.x(x-3)-(x-3)=0,

(x-3)(x-1)=0,

贝1JX-3=0或x-1=0,

解得Xl=3,X2=l；

(2)原式=1+2-J§+F=3.

14.已知2-f是方程尤2-4x+c=Q的一个根，求方程另一个根及c的值.

【分析】设方程的另一根为xi,由根与系数的关系可得出制+2-遮=4,xi(2-73)=

c,解之即可得出方程的另一个根以及c的值.

解：设方程的另一根为为，

由题意得：

xi+2-«=4,xi(2-/g)=c,

解得,即=2+遮，c=l,

故方程的另一根为2+遂，c的值为1.

15.如图，是由两个等边三角形和一个正方形拼在一起的图形，请仅用无刻度的直尺按要求

画图.

（1）在图①中画一个60°的角，使点C或点£是这个角的顶点，且以CE为这个角的

一边；

（2）在图②画一条直线AP,使得AP〃CE.

【分析】（1）在图①中画一个60°的角，使点C或点E是这个角的顶点，且以CE为

这个角的一边即可；

（2）在图②画一条直线AP,使得即可.

解：（1）如图1,NFCE或/FEC即为所求；

（2）直线A尸即为所求.

16.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情.

（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别

相同的概率是~;

一2一

（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护

人员来自同一所医院的概率.

【分析】（1）根据甲、乙两医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据

概率公式即可得出答案；

（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.

解：（1）根据题意画图如下：

开始

共有4种等可能的情况数，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种,

则所选的2名医护人员性别相同的概率是苫=4；

42

故答案为：~

（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护

人员，2表示女医护人员），树状图如图所示:

开始

共有12种等可能的结果，满足要求的有4种.

A1

则尸（2名医生来自同一所医院的概率）=~=4；

17.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠.

（1）重合部分是什么图形？请说明理由.

（2）若43=4,BC=8,求△8。F的面积.

【分析】(1)由矩形的性质得AO〃BC,贝再由折叠的性质得出/班。

=ZDBC,推出NEBO=NAOB,即可得出结论；

(2)设DF=BF=x,由矩形的性质得AD=BC=8,则AF=8-x,再由勾股定理得出

B^=AB2+A^,即必=42+(8-X)2,求出x=5,最后由三角形面积公式即可求解.

解：(1)重合部分△BDF是等腰三角形，理由如下：

•••四边形4BCD是矩形，

J.AD//BC,

ZADB=ZDBC,

,/ABDE由LBDC折叠得到，

ZEBD=ZDBC,

：.ZEBD=/ADB,

：.BF=DF,

.•.△BZ)尸是等腰三角形；

(2)设DF=BF=x,

:四边形ABCD是矩形，

：.AD=BC=8,

：.AF=AD-DF=8-x,

在中，由勾股定理得：BF2=AB2+AF2,

即x2=42+(8-x)2,

解得：尤=5,

/.SABDF=—AB,DF=—X5X4=10.

22

四、(本大题共3个小题，每小题8分，共24分)

18.已知：二次函数y=or2+bx+cQWO)中的x和y满足表：

X...-10123・・・

.・・・・・

y30-10m

（1）观察表可求得m的值为3；

（2）请求出这个二次函数的表达式.

【分析】（1）函数的对称轴为：x=l,根据函数的对称轴知，根=3,即可求解；

（2）函数的顶点坐标为（1,-1）,故抛物线的表达式为：y=«（x-1）2-1,将（2,

0）代入上式并解得：a=l,即可求解.

解：（1）函数的对称轴为：x=l,

根据函数的对称轴知，“2=3,

故答案为：3；

（2）函数的顶点坐标为（1,-1）,故抛物线的表达式为：y=a（x-1）2-1,

将（2,0）代入上式并解得：a=l,

故抛物线的表达式为：尸（x-1）2-1.

19.阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元.调查发现，当售价为80元时,

平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个.若设每个

电子产品降价x元，

（1）根据题意，填表：

进价（元）售价（元）每件利润销量（个）总利润（元）

（元）

降价前50803016030X160

降价后5080-x30-%160+10x(80-50-x)

(160+20X—)

2

（2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元?

【分析】（1）根据题意列出代数式即可；

（2）根据销量X每个的利润=盈利列方程即可得到结论.

解：⑴

进价（元）售价（元）每件利润销量（个）总利润（元）

（元）

降价前50803016030X160

降价后5080-x30-x160+10x(80-50-%)(160+20

xi)

故答案为：80-x,307,160+10%,（80-507）（160+20Xy）；

（2）根据题意得，（80-50-尤）（160+20义今）=5200,

解得即=10,&=4（不合题意舍去），

答：每个电子产品应降价10元.

20.为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的

风景线-“共享单车”.图（1）所示的是一辆共享单车的实物图，图（2）是这辆共享

单车的部分几何示意图，其中车架档AC长为40°加，座杆CE的长为18c%.点A、C、E

在同一条直线上，且/CAB=60°,ZACB=75°.

图⑴图⑶

（1）求车座点E到车架档AB的距离；

（2）求车架档AB的长.

【分析】（1）作跖，A3于点凡然后锐角三角函数即可得到所的长，从而可以得到

车座点E到车架档AB的距离；

（2）作CGLAB,然后根据锐角三角函数，可以得到CG和AG的长，然后根据等腰三

角形的性质，可以得到GB的长，从而可以得到AB的长.

解：（1）作斯，AB于点F

•车架档AC长为40cm,座杆CE的长为18cm,ZCAB=60°,

.,.AE—58cm,

：.EF=AE-sm600=58X警=29&cm,

即车座点E到车架档AB的距离是29«0〃；

（2）作CGLAB于点G,

VAC=40cm,ZCAB=6Q°,ZACB=15°,

・・・N5=45°，CG=AC・sin600=40XAG=20cm,

7ZB=45°,NCGB=90°,

:.CG=GB=20近pn,

.,.AB=AG+GB=(20+20A/3)cm,

即车架档AB的长是(20+20«)cm.

图(2)

五、(本大题共2个小题，每小题9分，共18分)

21.已知正比例函数yi=ov的图象与反比例函数”=旦旦的图象交于A,2两点且A点的

x

横坐标为-1.

(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.

(2)根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值.

(3)点n)是反比例函数图象上一动点，其中0</<3,过点M作轴交

无轴于点。，过点8作8C〃x轴交y轴于点C,交直线MZ)于点E,当四边形面

积为3时，请判断DM与EM大小关系并给予证明.

【分析】(1)正比例函数％=办的图象与反比例函数”=@二生的图象交于A点，则当x

X

=-1时，>2=2且=〃-6=%=-〃，解得〃=3,即可求解；

x

(2)联立上述两个函数表达式得：3%=旦，解得%i=-l,x2=l,再观察函数图象即可

X

求解;

Q1Q

(3)点B和M在反比例函数丁2=亘的图象上，则S/j5oc=Sw>=鄂1=2，而四边形

OMEB面积为3,故S矩形ODEC=S^BOC+SZXMOQ+S四边形OBEM=6,进而求解.

解：(1)I•正比例函数以=依的图象与反比例函数”=且至的图象交于A点，

x

当x=-1时，、2=6&=a-6=yi=-a,

x

解得4=3,

・・・正比例函数yi=3x,反比例函数丁2=人;

x

(2)联立上述两个函数表达式得：3%=旦，

X

解得：尤1=-LX2=l,

：.A(-1,-3),B(1,3),

从图象看，当-1或0<x<l时，反比例函数的值大于正比例函数的值；

(3)结论：DM=EM.理由：

连接。

'：MD//y^,BC〃了轴，ZCOD=90°.

，四边形CODE是矩形，

点的坐标为(1,3),

OC=DE=3,

,:点B和M在反比例函数”=旦的图象上，

X

.__1_3

••S/\BOC=S^MOD~~

•・•四边形防面积为3,

••S矩形ODEC=Sz\BOc+S/\MOD~^S四边形OBEM=6,

OD=S矩形OQEC+OC=6+3=2,

一?

•・•点M在反比例函数丁2=工的图象上，

X

QOQ

・••当x=2时，y=—,即。

1・EM=DE-DM=3,

：.DM=EM.

22.如图1,把两个相似比为晶的矩形ABC。与矩形CEFG拼成如图所示的图案.

（一）问题发现：

（1）请探究AC与CF的位置关系并证明.

（2）求色的值.

Cr

（二）拓展应用：

如图2,在四边形ABCF中，已知NABC=90°,AB=3,BC=4,CF=10,AF=5旄.

（1）jRtanZAFC；

（2）连接BF,求BP的长.

【分析】（一）问题发现：

（1）证明由相似三角形的性质得出/B4C=/ECF则可得出答案；

（2）由相似三角形的性质得出答案；

（二）拓展应用：

（1）连接AC,证明AAC尸是直角三角形，由锐角三角函数的定义可得出答案；

（2）过P点作PEL2c交2c的延长线于E点.由相似三角形的性质得出笑设

EF4

CE=3x,EF=4x,由勾股定理得出（3x）2+（4x）2=102,则可得出答案.

解：（一）问题发现：

（1）ACXCF.

证明：・・•矩形ABC。与矩形CEFG相似且相似比为近，

AABr-NB=/E=90°,

CEEF口§

AABC^ACEF,

:・/BAC=/ECF,

VZBAC+ZBCA=90°,

ZECF+ZBCA=90°,

：.ZACF=180°-(/ECF+/BCA)=90°,

：.AC±CF；

(2)VAABC^/\CEF,

.ACAB

"CF=CEr^

(二)拓展应用：

(1)连接AC,

在Rt"BC中，AB=3,8C=4,

由勾股定理得，ACC=AB2+BC2=25,

：.AC=5,

在△ACF中，AC=5,CF=10,AF=5巫,

：.AF1=AC2+CF2,

.•.△A"是直角三角形,

：.tanZAFC=—=-^-=^-

CF102

(2)过尸点作EELBC交2c的延长线于E点.

AABC^ACEF,

.AB_BC

"cfEF'

又•；AB=3,BC=4,

•.•3—4,

CEEF

.CE3

••—，

EF4

在Rt/XCEF中，设CE=3x,EF=4x,

：.(3x)2+(4x)2=1()2,

解得x=2,