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文档简介
2020-2021学年江西省抚州市九年级第一学期期末数学试卷
、选择题(共6个小题,每小题3分,共18分).
1.下列线段中,能成比例的是(
A.3cm、6cm、8cm9cmB.3cm、5cm、6cm、9cm
C.3cm>6cm、7cm、9cm3cm、6cm、9cm、18cm
2.如图是某体育馆内的颁奖台,其左视图是(
C.口
3.已知反比例函数丫=工,下列结论中不正确的是()
x
A.图象经过点(-1,-1)
B.当x<0时,y随着尤的增大而增大
C.当x>l时,0<y<l
D.图象在第一、三象限
4.将抛物线y=3N先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得抛物线的解
析式是()
A.y=3(尤+1)2+2B.y=3(x-1)2+2
C.y=3(x-2)2+1D.y=3(x-2)2-1
5.一元二次方程炉-3x+l=0的两个根为Xl,X2,贝!]婷+3*2+尤1&+1的值为()
A.10B.9C.8D.7
6.已知二次函数(aWO)的图象如图所示,有下列5个结论:
(1)abc>Q;(2)b<a+c-,(3)4a+2b+c>0;(4)2c<3i>;(5)a+b>m{am+b}
的实数).其中正确的的结论有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
7.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标为.
8.如图,体育兴趣小组选一名身高1.6〃z的同学直立于旗杆影子的顶端处,其他人分为两部
分,一部分同学测得该同学的影长为1.2相,另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m,
那么旗杆的高度是m.
9.^cosA-y+|tanB-V31=0-那么AABC的形状是.
10.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,
AB,C。相交于点O,则cos/BOO=
11.如图,在口42。中,对角线AC,相交于点。,在DC的延长线上取一点E,使CE
12.如图,AB±BD,CDA,BD,AB=6,CD=4,8。=14.点2在3£>上移动,当以P,C,
D为顶点的三角形与△ABP相似时,则PB的长为
BD
三、(本大题共5个小题,每小题6分,共30分)
13.(1)解方程:x(x-3)=冗-3;
(2)计算:(2020-77)°+lV3-2|+2sin60°.
14.已知2-正是方程x2-4x+c=0的一个根,求方程另一个根及c的值.
15.如图,是由两个等边三角形和一个正方形拼在一起的图形,请仅用无刻度的直尺按要求
画图.
(1)在图①中画一个60°的角,使点C或点£是这个角的顶点,且以CE为这个角的
一边;
(2)在图②画一条直线AP,使得AP〃CE.
16.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情.
(1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名,则所选的2名医护人员性别
相同的概率是;
(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名医护
人员来自同一所医院的概率.
17.如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠.
(1)重合部分是什么图形?请说明理由.
(2)若AB=4,BC=8,求△BO尸的面积.
四、(本大题共3个小题,每小题8分,共24分)
18.已知:二次函数y=o?+fec+c(aWO)中的尤和y满足表:
•••-10123•••
.・・・・・
y30-10m
(1)观察表可求得m的值为;
(2)请求出这个二次函数的表达式.
19.阳光市场某个体商户购进某种电子产品,每个进价50元.调查发现,当售价为80元时,
平均一周可卖出160个,而当每售价每降低2元时,平均一周可多卖出20个.若设每个
电子产品降价x元,
(1)根据题意,填表:
进价(元)售价(元)每件利润(元)销量(个)总利润(元)
降价前50803016030X160
降价后50————
(2)若商户计划每周盈利5200元,且尽量减少库存,则每个电子产品应降价多少元?
20.为倡导“绿色出行,低碳生活”的号召,今年春天,安庆市的街头出现了一道道绿色的
风景线-“共享单车”.图(1)所示的是一辆共享单车的实物图,图(2)是这辆共享
单车的部分几何示意图,其中车架档AC长为40。〃,座杆CE的长为18cm点A、C、E
在同一条直线上,且/CAB=60°,ZACB=75°.
图⑴图12)
(1)求车座点E到车架档AB的距离;
(2)求车架档AB的长.
五、(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
21.已知正比例函数力=以的图象与反比例函数以=且旦的图象交于A,B两点且A点的
x
横坐标为-L
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.
(2)根据图象回答,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值.
(3)点,M(m,〃)是反比例函数图象上一动点,其中0<〃<3,过点M作轴交
x轴于点。,过点B作BC〃x轴交y轴于点C,交直线于点E,当四边形OMEB面
积为3时,请判断DM与EM大小关系并给予证明.
22.如图1,把两个相似比为晶的矩形A2C。与矩形CEFG拼成如图所示的图案.
(一)问题发现:
(1)请探究AC与CF的位置关系并证明.
(2)求黑的值.
Cr
(二)拓展应用:
如图2,在四边形A3C尸中,已知/ABC=90°,AB=3,BC=4,CF=10,AF=5娓.
(1)求tan/AFC;
(2)连接BE求BF的长.
图1图2
六、(本大题共1个小题,共12分)
23.定义:在平面直角坐标系中,抛物线>=0?+公+。(aWO)与直线>=相交于点A、C(点
C在点A右边)将抛物线y=ax1+bx+c沿直线y=m翻折,翻折前后两抛物线的顶点分别
为点2、D.我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线,四边形ABC。称为惊喜四
边形,对角线BD与AC之比称为惊喜度(Degreeofsurprise),记作|。=典
AC
⑴图①是抛物线尸N-2x-3沿直线尸0翻折后得到惊喜线.则点A坐标,
点B坐标,惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形,
口为.
(2)如果抛物线y=〃z(x-1)2-6m(m>0)沿直线翻折后所得惊喜线的惊喜度
为1,求机的值.
(3)如果抛物线产(x-1)2-6%沿直线翻折后所得的惊喜线在加-IWXWWI+3
时,其最高点的纵坐标为16,求机的值并直接写出惊喜度10.
参考答案
一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确的选项.)
1.下列线段中,能成比例的是()
A.3cm、6cm、8cm>9cmB.3cm、5cm、6cm、9cm
C.3cm、6cm、7cm、9cmD.3cm>6cm>9cm、18cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.
解:根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.
所给选项中,只有。符合,3X18=6X9,故选:D.
2.如图是某体育馆内的颁奖台,其左视图是()
C.口D.目
【分析】找到从左面看所得到的图形即可.
解:从左边看去是上下两个矩形,下面的比较高.
故选:D.
3.已知反比例函数〉=工,下列结论中不正确的是()
x
A.图象经过点(-1,-1)
B.当尤<0时,y随着x的增大而增大
C.当尤>1时,0<y<l
D.图象在第一、三象限
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可.
解:A、当x=-1时,y=-1,即图象经过点(-1,-1),不符合题意.
B、反比例函数>=工中的左=1>0,则当x<0时,y随着x的增大而减小,符合题意.
x
C、当尤>1时,0cy<l,不符合题意.
D、反比例函数y=』中的左=l>0,则图象在第一、三象限,不符合题意.
X
故选:B.
4.将抛物线y=3d先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得抛物线的解
析式是()
A.y=3(尤+1)2+2B.y=3(x-1)2+2
C.y=3(x-2)2+1D.y=3(x-2)2-1
【分析】根据题意得新抛物线的顶点(-1,2),根据顶点式及平移前后二次项的系数
不变可设新抛物线的解析式为:y=3(x-h)2+k,再把(-1,2)点代入即可得新抛物
线的解析式.
解:原抛物线的顶点为(0,0),向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,
那么新抛物线的顶点为(-1,2),
可得新抛物线的解析式为:y=3(x+1)2+2,
故选:A.
5.一元二次方程/-3x+l=0的两个根为xi,则婷+3及+尤1%2+1的值为()
A.10B.9C.8D.7
【分析】根据根与系数的关系找出尤1+%2=3、Xl-X2=l,将XJ+3X2+X1X2+1变形为3(尤1+X2)
+X1X2,代入数据即可得出结论.
解::一元二次方程?-3*+1=0的两个根为Xi,X2,
2
.".X1-3X1+1=0,X1+X2=3,XI*X2=1,
.".xi2=3xi-1,
贝!Jxj+3x2+xix2+l=3xi-1+3尤2+X1X2+I=3(xi+x2)+XIX2=3X3+1=10,
故选:A.
6.已知二次函数y=ov2+6x+cswo)的图象如图所示,有下列5个结论:
(1)abc>0;(2)b<a+c;(3)4a+2b+c>0;(4)2c<3b;(5)a+b>m(am+b)
(MWI的实数).其中正确的的结论有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】由抛物线的开口方向判断。与。的关系,由抛物线与y轴的交点判断。与。的
关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解:(1)图象开口向下,与)轴交于正半轴,对称轴为X=l,能得到:«<o,c>0,-
:・b=-2〃>0,
abc<0,此结论错误;
②当%=T时,由图象知yVO,
把%=-1代入解析式得:a-Z?+c<0,
:・b>a+c,
・・・此结论错误;
③图象开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴为x=l,
能得到:“VO,C>0,-^-=1,
2a
所以b=-2a,
所以4〃+2Z?+c=4〃-4tz+c>0,
・•・此结论正确;
④..•由①②知b--2〃且b>a+c,
2c<3Z?,此结论正确;
⑤当x=l时,y—a+b+c,
当%=根时,y=anf-^bm+c,
・・・加/1的实数,图象开口向下,对称轴为x=l,
a+b+c>an^+bm+c,
a+b>m(am+b),
・・・此结论正确.
故选:B.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
7.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标为(-2,1).
【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标.
解:由抛物线的顶点坐标可知,抛物线y=(1+2)2+1的顶点坐标是(-2,1).
故答案为:(-2,1).
8.如图,体育兴趣小组选一名身高1.6优的同学直立于旗杆影子的顶端处,其他人分为两部
分,一部分同学测得该同学的影长为L2相,另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9加,
那么旗杆的高度是12m.
2
【分析】在同一时刻,物体的实际高度和影长成比例,据此列方程即可解答.
解:由题意得
1.6:1.2=旗杆的高度:9.
旗杆的高度为12/77.
9.若氏二二|=0,那么△ABC的形状是等边三角形.
【分析】根据非负数的性质可得cosA-/=0,tanB-«=O,然后利用特殊角的三角函
数值可得NA=6O°,NB=60°,进而可得答案.
解:由题意得:cosA-a=0,tanB-«=0,
cosA=-^-,tanB=^/3,
AZA=60°,ZB=60°,
.\ZC=60°,
・・・AABC的形状是等边三角形,
故答案为:等边三角形.
10.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,。都在这些小正方形的顶点上,
AB,CD相交于点O,则COS/BOO=_Y^_.
【分析】连接CE、DE,利用正方形对角线的性质先说明CE〃AB、NCED=90。,这样
把求/BOD的余弦值转化为求/ECD的余弦值,在在Rt^CED中,可利用勾股定理和
直角三角形的边角关系求解.
解:如图,连接CADE.
・・・A8、CE、即都是正方形的对角线,
ZCEF=ZABF=ZOED=ZCEO=45
■:/CEF=/ABF,
J.CE//AB.
:.ZECD=ZBOD.
VZOE£>=ZCEO=45°,
・・・NCED=90°.
在RtZ\C£D中,
:.cos/BOD=S.
5
+/r公安小
11.如图,在nABCD中,对角线AC,2。相交于点。,在DC的延长线上取一点E,使CE
=^CD,连接OE交BC于点忆若BC=4,则CF=1
【分析】取C。中点G,连接OG,可得OG为△BOC的中位线,可得OG=2,再证明
△ECF-AEGO,推出W■号金,即可得答案.
OGEG2
解:取C。中点G,连接。G,
为8。中点,
即0G为△2DC的中位线,
OG//BC,且OG=/BC=2,
又•.•CE=」CZ),CF//OG,
2
:.△ECFs^EGO,
.CF_CE^1
'*00"EGV
又0G=2,
ACF=1,
故答案为:1.
12.如图,AB±BD,CDLBD,AB=6,CD=4,80=14.点2在8。上移动,当以P,C,
根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,当簿噂时,AABP^A
CDP,即与华^;当兽将时,AABPSAPDC,即且在女;然后分别解方程求
4xDPDCx4
出X即可.
解:设DP=x,贝1]8尸=8。-*=14-工,
':AB±BDB,CZ)_LB。于。,
:.ZB=ZD^9Q°,
...当组用1时,AABPsACDP,即旦=比女;
CDDP4X
解得x=M,
b
BP=14--=8A;
5
当细_图_时,△ABPsLPDC,即2
DPDCx4
整理得尤2-14尤+24=0,
解得xi=2,忿=12,
BP=14-2=12,BP=14-12=2,
.•.当B尸为8.4或2或12时,以C、。、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角
形相似.
故答案为:8.4或2或12.
三、(本大题共5个小题,每小题6分,共30分)
13.(1)解方程:x(尤-3)=x-3;
(2)计算:(2020-有)°+|«-2|+2sin60°.
【分析】(1)利用因式分解法求解即可;
(2)先计算零指数幕、去绝对值符号、代入三角函数值,再计算乘法,最后计算加减即
可.
解:(1)''x(x-3)=x-3,
.'.x(x-3)-(x-3)=0,
(x-3)(x-1)=0,
贝1JX-3=0或x-1=0,
解得Xl=3,X2=l;
(2)原式=1+2-J§+F=3.
14.已知2-f是方程尤2-4x+c=Q的一个根,求方程另一个根及c的值.
【分析】设方程的另一根为xi,由根与系数的关系可得出制+2-遮=4,xi(2-73)=
c,解之即可得出方程的另一个根以及c的值.
解:设方程的另一根为为,
由题意得:
xi+2-«=4,xi(2-/g)=c,
解得,即=2+遮,c=l,
故方程的另一根为2+遂,c的值为1.
15.如图,是由两个等边三角形和一个正方形拼在一起的图形,请仅用无刻度的直尺按要求
画图.
(1)在图①中画一个60°的角,使点C或点£是这个角的顶点,且以CE为这个角的
一边;
(2)在图②画一条直线AP,使得AP〃CE.
【分析】(1)在图①中画一个60°的角,使点C或点E是这个角的顶点,且以CE为
这个角的一边即可;
(2)在图②画一条直线AP,使得即可.
解:(1)如图1,NFCE或/FEC即为所求;
(2)直线A尸即为所求.
16.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情.
(1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名,则所选的2名医护人员性别
相同的概率是~;
一2一
(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名医护
人员来自同一所医院的概率.
【分析】(1)根据甲、乙两医院分别有一男一女,列出树状图,得出所有情况,再根据
概率公式即可得出答案;
(2)根据题意先画出树状图,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案.
解:(1)根据题意画图如下:
开始
共有4种等可能的情况数,其中所选的2名医护人员性别相同的有2种,
则所选的2名医护人员性别相同的概率是苫=4;
42
故答案为:~
(2)将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2(注:1表示男医护
人员,2表示女医护人员),树状图如图所示:
开始
共有12种等可能的结果,满足要求的有4种.
A1
则尸(2名医生来自同一所医院的概率)=~=4;
17.如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠.
(1)重合部分是什么图形?请说明理由.
(2)若43=4,BC=8,求△8。F的面积.
【分析】(1)由矩形的性质得AO〃BC,贝再由折叠的性质得出/班。
=ZDBC,推出NEBO=NAOB,即可得出结论;
(2)设DF=BF=x,由矩形的性质得AD=BC=8,则AF=8-x,再由勾股定理得出
B^=AB2+A^,即必=42+(8-X)2,求出x=5,最后由三角形面积公式即可求解.
解:(1)重合部分△BDF是等腰三角形,理由如下:
•••四边形4BCD是矩形,
J.AD//BC,
ZADB=ZDBC,
,/ABDE由LBDC折叠得到,
ZEBD=ZDBC,
:.ZEBD=/ADB,
:.BF=DF,
.•.△BZ)尸是等腰三角形;
(2)设DF=BF=x,
:四边形ABCD是矩形,
:.AD=BC=8,
:.AF=AD-DF=8-x,
在中,由勾股定理得:BF2=AB2+AF2,
即x2=42+(8-x)2,
解得:尤=5,
/.SABDF=—AB,DF=—X5X4=10.
22
四、(本大题共3个小题,每小题8分,共24分)
18.已知:二次函数y=or2+bx+cQWO)中的x和y满足表:
X...-10123・・・
.・・・・・
y30-10m
(1)观察表可求得m的值为3;
(2)请求出这个二次函数的表达式.
【分析】(1)函数的对称轴为:x=l,根据函数的对称轴知,根=3,即可求解;
(2)函数的顶点坐标为(1,-1),故抛物线的表达式为:y=«(x-1)2-1,将(2,
0)代入上式并解得:a=l,即可求解.
解:(1)函数的对称轴为:x=l,
根据函数的对称轴知,“2=3,
故答案为:3;
(2)函数的顶点坐标为(1,-1),故抛物线的表达式为:y=a(x-1)2-1,
将(2,0)代入上式并解得:a=l,
故抛物线的表达式为:尸(x-1)2-1.
19.阳光市场某个体商户购进某种电子产品,每个进价50元.调查发现,当售价为80元时,
平均一周可卖出160个,而当每售价每降低2元时,平均一周可多卖出20个.若设每个
电子产品降价x元,
(1)根据题意,填表:
进价(元)售价(元)每件利润销量(个)总利润(元)
(元)
降价前50803016030X160
降价后5080-x30-%160+10x(80-50-x)
(160+20X—)
2
(2)若商户计划每周盈利5200元,且尽量减少库存,则每个电子产品应降价多少元?
【分析】(1)根据题意列出代数式即可;
(2)根据销量X每个的利润=盈利列方程即可得到结论.
解:⑴
进价(元)售价(元)每件利润销量(个)总利润(元)
(元)
降价前50803016030X160
降价后5080-x30-x160+10x(80-50-%)(160+20
xi)
故答案为:80-x,307,160+10%,(80-507)(160+20Xy);
(2)根据题意得,(80-50-尤)(160+20义今)=5200,
解得即=10,&=4(不合题意舍去),
答:每个电子产品应降价10元.
20.为倡导“绿色出行,低碳生活”的号召,今年春天,安庆市的街头出现了一道道绿色的
风景线-“共享单车”.图(1)所示的是一辆共享单车的实物图,图(2)是这辆共享
单车的部分几何示意图,其中车架档AC长为40°加,座杆CE的长为18c%.点A、C、E
在同一条直线上,且/CAB=60°,ZACB=75°.
图⑴图⑶
(1)求车座点E到车架档AB的距离;
(2)求车架档AB的长.
【分析】(1)作跖,A3于点凡然后锐角三角函数即可得到所的长,从而可以得到
车座点E到车架档AB的距离;
(2)作CGLAB,然后根据锐角三角函数,可以得到CG和AG的长,然后根据等腰三
角形的性质,可以得到GB的长,从而可以得到AB的长.
解:(1)作斯,AB于点F
•车架档AC长为40cm,座杆CE的长为18cm,ZCAB=60°,
.,.AE—58cm,
:.EF=AE-sm600=58X警=29&cm,
即车座点E到车架档AB的距离是29«0〃;
(2)作CGLAB于点G,
VAC=40cm,ZCAB=6Q°,ZACB=15°,
・・・N5=45°,CG=AC・sin600=40XAG=20cm,
7ZB=45°,NCGB=90°,
:.CG=GB=20近pn,
.,.AB=AG+GB=(20+20A/3)cm,
即车架档AB的长是(20+20«)cm.
图(2)
五、(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
21.已知正比例函数yi=ov的图象与反比例函数”=旦旦的图象交于A,2两点且A点的
x
横坐标为-1.
(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.
(2)根据图象回答,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值.
(3)点n)是反比例函数图象上一动点,其中0</<3,过点M作轴交
无轴于点。,过点8作8C〃x轴交y轴于点C,交直线MZ)于点E,当四边形面
积为3时,请判断DM与EM大小关系并给予证明.
【分析】(1)正比例函数%=办的图象与反比例函数”=@二生的图象交于A点,则当x
X
=-1时,>2=2且=〃-6=%=-〃,解得〃=3,即可求解;
x
(2)联立上述两个函数表达式得:3%=旦,解得%i=-l,x2=l,再观察函数图象即可
X
求解;
Q1Q
(3)点B和M在反比例函数丁2=亘的图象上,则S/j5oc=Sw>=鄂1=2,而四边形
OMEB面积为3,故S矩形ODEC=S^BOC+SZXMOQ+S四边形OBEM=6,进而求解.
解:(1)I•正比例函数以=依的图象与反比例函数”=且至的图象交于A点,
x
当x=-1时,、2=6&=a-6=yi=-a,
x
解得4=3,
・・・正比例函数yi=3x,反比例函数丁2=人;
x
(2)联立上述两个函数表达式得:3%=旦,
X
解得:尤1=-LX2=l,
:.A(-1,-3),B(1,3),
从图象看,当-1或0<x<l时,反比例函数的值大于正比例函数的值;
(3)结论:DM=EM.理由:
连接。
':MD//y^,BC〃了轴,ZCOD=90°.
,四边形CODE是矩形,
点的坐标为(1,3),
OC=DE=3,
,:点B和M在反比例函数”=旦的图象上,
X
.__1_3
••S/\BOC=S^MOD~~
•・•四边形防面积为3,
••S矩形ODEC=Sz\BOc+S/\MOD~^S四边形OBEM=6,
OD=S矩形OQEC+OC=6+3=2,
一?
•・•点M在反比例函数丁2=工的图象上,
X
QOQ
・••当x=2时,y=—,即。
1・EM=DE-DM=3,
:.DM=EM.
22.如图1,把两个相似比为晶的矩形ABC。与矩形CEFG拼成如图所示的图案.
(一)问题发现:
(1)请探究AC与CF的位置关系并证明.
(2)求色的值.
Cr
(二)拓展应用:
如图2,在四边形ABCF中,已知NABC=90°,AB=3,BC=4,CF=10,AF=5旄.
(1)jRtanZAFC;
(2)连接BF,求BP的长.
【分析】(一)问题发现:
(1)证明由相似三角形的性质得出/B4C=/ECF则可得出答案;
(2)由相似三角形的性质得出答案;
(二)拓展应用:
(1)连接AC,证明AAC尸是直角三角形,由锐角三角函数的定义可得出答案;
(2)过P点作PEL2c交2c的延长线于E点.由相似三角形的性质得出笑设
EF4
CE=3x,EF=4x,由勾股定理得出(3x)2+(4x)2=102,则可得出答案.
解:(一)问题发现:
(1)ACXCF.
证明:・・•矩形ABC。与矩形CEFG相似且相似比为近,
AABr-NB=/E=90°,
CEEF口§
AABC^ACEF,
:・/BAC=/ECF,
VZBAC+ZBCA=90°,
ZECF+ZBCA=90°,
:.ZACF=180°-(/ECF+/BCA)=90°,
:.AC±CF;
(2)VAABC^/\CEF,
.ACAB
"CF=CEr^
(二)拓展应用:
(1)连接AC,
在Rt"BC中,AB=3,8C=4,
由勾股定理得,ACC=AB2+BC2=25,
:.AC=5,
在△ACF中,AC=5,CF=10,AF=5巫,
:.AF1=AC2+CF2,
.•.△A"是直角三角形,
:.tanZAFC=—=-^-=^-
CF102
(2)过尸点作EELBC交2c的延长线于E点.
AABC^ACEF,
.AB_BC
"cfEF'
又•;AB=3,BC=4,
•.•3—4,
CEEF
.CE3
••—,
EF4
在Rt/XCEF中,设CE=3x,EF=4x,
:.(3x)2+(4x)2=1()2,
解得x=2,
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