2023年湖南省益阳市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年湖南省益阳市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

l.sin0-cos0-tan0<O,则。属于（）

A.（7l/2,7l）

B.（兀,3兀/2）

仁（-口/2,0）

D.（-TI/2,0）

2.在矩形ABCD中，I成I航=1,则向量（前+前+能）的长度为

A.2

B.2拒

C.3

D.4

3.已知{i,j,k}是单位正交基底，a=i+j,b=—i+j—k,贝!Ja­b=

（）

A.A.-1B.lC,0D,2

4.不等式|x-2区7的解集是（）

A.{x|x<9}B.{x|x>—5}C.{x|x<-5或x>9}D.{x|-5<x<9}

5巳如■/♦,・&-7=°与务物线/=33>0）的极相切,则。的值为41B,2C,3

D.4

函数,=严一的量小正周期是

6.「（3

A.y,B.N

C2vD."

X41—>一

7.不等式二一的解集为（）

A.{x|x>0或x<-l}B.{x|-1<x<0}C,{x|x>-1}D.{x|x<0]

过两点(-4,1)和(3,0)的直线的倾角为()

(A)arctan(——)(B)ir-arclanzr

8(C)arctan--(D)TT-arctan(-4)

9.已知a>b>l,0<c<l,则下列不等式中不成立的是（）

ab

A.logac>log^cB.a'V"C.c>cD.logra>logr6

10.（）

A.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断

11.一枚硬币连续抛掷3次，至少有两次正面向上的概率是（）

A.A.2/3B.1/2C.3/4D.3/8

12.若函数f(x)是奇函数，则函数F(x尸f(x)xsin(37i/2-x)的奇偶性是()

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数，又是偶函数

13.设一次函数的图象过点(1,1)和(-2,0),则该一次函数的解析式为

()

A.A.y=(l/3)x+(2/3)B.y=(l/3)x-(2/3)C.y=2x-1D.y=x+2

一箱干中装有5个相同的球，分别标以号内1.2,、3,4,5.从中一次任取2个

球，则这2个球的号码都大于2的概率为三

312I03

(A)-(B)-(C)-(D)4

14,52510

15.

第15题过P(4,8)作圆x2+y2-2x-4y-20=0的割线,所得弦长为8,则此

割线所在直线方程为()

A.3x-4y+20=0或y=8

B.3x-4y+20=0或x=4

C.3x+4y-44=0或x=4

D.4x-3y+8=0或x=4

16.i为虚敷单位•则(i-4•尸的虚部为()

A.A.4B.4iC,-4D.0

“为叁敢)

17.参数方程表示的图形为()

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

已知上布一点P,£到左准线的距♦为邛，剜点P到右焦点的班M

18.1

A.A,3：1B.4：1C,5：1D,6：1

19.如果实数n,6满足cb=100,则矿+62的最小值为()

A.A.400B.200C.100D.50

鬻蝌藩畲

21.

(8)直线工+2y+3=0经过

(A)第一、二、三象限(B)第二、三、四象限

(C)第一、二、四象限(D)第一、三、四象限

22.已知函数f(x)=ax2+b的图像经过点(1,2),且其反函数H(x)的图像

经过点(3,0),则函数f(x)的解析式是()

A.f(x)=l/2x2+3/2

B.f(x)=-x2+3

C.f(x)=3x2+2

D.f(x)=x2+3

23.当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥轴截面的顶角是0

A.45°B.60°C.90°D.1200

24.若a<b<0,则下列不等式中不成立的是

A.l/a>1/b

B.l/(a-b)>1/a

C.|a|>|b|

D.a2>b2

在复平面内，与复数z=-1-i的共匏复数对应的点位于()

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

第四象限

26.若“6«><..s：».则*的取值品用拈

A.|xl24ir-^~ir<V<2i<♦V-.ieZ!

44

B.|MI2AV♦7<XZ|

44

(L|*l&ir<Air♦wZI

44

D.4'/<M<4<*eZ|

44

27.(a+2b)n展开式中，若第3项的二项式系数是105,则n=

()

A.A.14B.15C.16D.17

28.

若向量a=(x,2),b=(-2,4),且a,b共线，则x=()

A.-4B.-lC.lD.4

设某项试验每次成功的概率为净，则在2次独立重复试验中，都不成功的概率为

)

(A)方(B)y

29.(C)I(D)j-

30.二次函数y=(l/16)x2的图象是一条抛物线，它的焦点坐标是

()

A.A.(-4,0)B.(4,0)C.(0,-4)D.(O,4)

二、填空题(20题)

31.曲线)=d—2之在点a,一1)处的切线方程为.

曲线》=-+3z+4在点(-1⑵处的切线方程为_

32.

33.不等式(2x+l)/(L2x)的解集为.

34.已知随机变量g的分布列为：

01234

P1/81/41/81/61/3

贝！IEg=______

35.某几何体下部是直径为2,高为4的圆柱，上部是直径为2的半

球，则它的表面积为，体积为

36.顶点在原点、焦点在x轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为

6的抛物线方程为.

已知的机变量g的分布列是

-1012

P

3464

37.财尺’--------'

38

某射手有3发子弹，射击一次，命中率是08,如果命中就停止射击，否则一直射到

39.f弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是------

40.

从某公司生产的安全带中随机抽取10条进行断力测试，测试结果（单位：kg）

如下：

3722、3872、4004、4012>3972、3778、4022、4006、3986、4026

则该样本的样本方差为

（精确到0.1）.

41.过点M（2,-1）且与向量a=（-3,2）垂直的直线方程是

42.收气效（1♦2i）（♦i）的实部和虚部相等,Mm*

3

43.已知sinx=,且x为第四象限角，贝！|

sin2x=o

44.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下（单位：h）：

245256247255249260

则该样本的样本方差为———（保留小数点后一位）.

45.已知曲线y=lnx+a在点（1,a）处的切线过点（2,-1）,贝!Ja=。

4A6个队进行单循环比毒，共进行场比骞.

设正三角形的一个顶点在原点，关于Z轴对称，另外两个顶点在抛物线尸=2厚

47,上.则此三角形的边长为.

48.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下（单位：h）:

245256247255249260

则该样本的标准差s=（保留小数点后一位）.

F-24+1

以-1的焦点为以点，而以的9i点为焦点的双曲线的标麻方程为

50.一

三、简答题（10题）

51.

（本小题满分12分）

已知数列I。1中.%=2.a..t=—a,.

（I）求数列Ia.I的通项公式；

（n）若数列的前”项的和s.=3，求”的值・

52.

（本小题满分12分）

已知函数/（X）=1-3/+6在［-2,2］上有最大值5.试确定常数m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

53.

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆G』+，'=i与双曲线G：5-丁=1（°>i）.

（I）设.分别是G.G的离心率,证明eg<1;

（2）设4H是c长轴的两个端点/（颉,兀）（1与1>a）在G上,直线P4与G的

另一个交点为Q,直线产4与£的另一个交点为心证明QR平行于产轴.

54.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

55.

（本小题满分12分）

△ABC中.已知J+c1-i5吟且lo&sinX+lo&sinC=-I,面积为万由二求它三

出的长和三个角的度数.

56.（本小题满分12分）

设数列2联1满足5=2,a„t=3a.-2（"为正噎数），

a।-I

⑴求上七；

0,-1

（2）求数列la.|的通项.

57.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

(I)求d的值；

(H)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中,102为第几项？

58.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

59.

(本小题满分12分)

已知参数方程

'x--1-(e,+e")cosd.

y=-e*1)»ind.

(I)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若趴80y.AeN.)为常量.方程表示什么曲线?

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点♦

60.

(本小题满分12分)

已知函数/(X)In*,求的单调区间；(2)〃x)在区间上的最小值.

四、解答题(10题)

61.

求以曲线2?+尸-4工-10=0和＞?=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实

轴在x轴上，实轴长为12的双曲线的方程.

62.

63.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n(2n+1)

⑴求该数列的通项公式；

(H)判断39是该数列的第几项

64.

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个敬成等比敬列，并且第一个数与第四个数的

和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.

65.

已知函数人工)=M-2后

(1)求函数y=｛外的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数；

(2)求函数y=/(*)在区间］。,4］上的最大值和最小值.

66.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每

次抽取1只，用自表示抽到次品的次数.

(I)求自的分布列；

(H)求自的期望E&)

67.

J3

已知函数/(工)=台曲土4cos2*+《~sinjrosx.求：

(1)〃外的最小正周期；

(D)，Cr)的最大值和最小值.

已知等基数列I中,5=9,a3+a,=0.

(1)求数列Ia1的通项公式；

68.以)当n为何值时，数列|a.|的前n项和S.取得最大值，并求谈最大值.

69.

设«ina是与co»3的等差中小,«•邛是tunfi与co»fi的等比中HI.求cn^fl-da

的值.

70.

设=>0)的焦点在*轴上,0为坐标原点,/»«为H副上网点，使得

OP所在直线的斜率为I,"J■约.若ARR的面枳恰为洛,求该暴圜的焦距。

五、单选题(2题)

(9)下列各选厦中.正•的是

(A)y»x♦sinM是偶函数(B)y■«♦sins是奇曲数

(C)y«1xI4>sinx是例的敷(D)y=1xl♦&>x是奇函数

71.

72.

若3+2i为方程2rR)的•个根，则为)

A.b=-12,c=26

B.6=12,f=~26

C.b=26,f=-12

D.b=26,c—12

六、单选题(1题)

73.在《»△枷中.已知八90。.8=751・4.・5等子

缸R+1B.

C.24.2D.2JJ-2

参考答案

1.C

不论角0终边落在直角坐标系中任意位置，都宥sine・cosatane>10.因

此选C.本题考查三角函数在各象限的符号等概念.是三角函数中的基本

知识.

2.D

D【储析】由向量加法的平行四边形法则得

戏+比所以।电+疝+址，■|/+

术-2充-2X2-4.

3.C

a・b=(l,1,0)-(-1,1,-l)=lx(-l)+lxl+Ox(-l)=O.(答案为

4.D

D【解析】|Z-2I&7㈡-7《力-2470

-.故选D.

要会解形如|ar+6|&c和|or+6]

的不等式.这是一道解含有绝对值的不等式的问题，解这类问题关键是

要注意对原不等式去掉绝对值符号，进行同解变形.去掉绝对值符号的

①利用不等式IVaQ—aOVa或|z|>aULr>

常见方法有：。或zV-।②利

用定义;③两边平方，但要注意两边必须同时为正这一条件.

HII折：口的方日力”-3户=16.114'方坐程为4,4一

6.C

C解析：y・j«X1■，故成小正周期为干=2tr.

1-(1-2s'

T

>—n/十一）-KX十一v—

二二22;即x>0或xV-1,故绝对值不等式的解集

为{x|x>0或xV-1}.

8.B

9.因为a>b>l,OVcVL因为a>b>l,由图可知两个对数函数都是增

函数，且真数x相等，并属于开区间（0,1）,所以底数大的对数较

大，即，

Va>6>l,0<c<l.

设对数函数为M=IO&H,

二」。机工.

•:a>b>l,

由图可知两个时数函数都是增函数,且真数才相

等.并属于开区间(0,1),所以底数大的时触.较大.

即.又因。6(0,D，则b&c>log*c.

12.AVf(x)是奇函数，；•f(-x)=-f(x),F(x)=f(x).(-cosx)=-f(x)cosx.:.F(-x)=-

f(-x)cos(-x)=f(x)cosx=-F(x),，F(x)=f(x)xsin(37r/2-x)为奇函数.

13.A

14.D

15.B

16.D

答案为D)

22

17B.,在cosassina中a为参数，消去a得，x+y=l,即半径为1的

圆，圆心在原点.

18.C

19.B

20.B

21.B

过（1.2）,其反函数r'（工）过（3,0）,则“工〉又过点

（0+占=2Ja=--】・".、；

（0,3）,所以有川）=2,八0）=3.得j“xo+b=3e日=3'“⑴一

22.B一工'+3.

23.C求圆锥的轴截面的顶角，先画出轴截面（如下图），可知轴截面为

等腰三角形，圆锥的侧面是扇形，圆锥底面的周长等于展开侧面的扇形

的弧长.

24.Bi

25.C

26.D

D•s',-ah'*<0,*»kX24w♦彳<!«<”*♦-y-w.icXHW%♦：<，<

kit♦

27.B

展开式中,第3项的二项式系数是C：=必产=105.即号-n-ZlOA。,

解褂从15.n=14（自去）.（暮案为H）

28.B

29.D

30.D

31.

y=x-2

【解析】该小题主要考查的知识点为切线方程.

丁="-2x=>y=3x2-2,

yl.i=1，故曲线在点（1，一1）处的切线方程为

3+1=1-1，即y=z—2.

【考试指导】

32.

y=x+3

【解析】该小题主要考查的知识点为切线方程.

【考试指导】

,y=工2+3z+4=>y=21+3,

yI'—i=1，故曲线在点(-1,2)处的切线方程为

y-2=z+l,即y=z+3.

33.{x|-l/2<X<1/2}

2x4-12x+l>02x+l<0

>0=>①羸

1—2工L2*>0I-24V0

①的解集为一十。<"|•.②的“臬为0•

{x|-—txl

34.

35.

2iJf+28小+M=1In.%—VBIJ+%.——人+

ynS析18=&««+&«■+SJMMR;X(44*)=4<+套=学冗11兀本题

考查多面体，旋转体的表面积及体积.考生应熟记球体、柱体、锥体的

这些公式，注意不要记混.

36，=±6x设抛物线的方程为：ysup>2=±2px,则焦点F（土p/2,0）,所以

有（6/2>=±2p（土p/2）,得p=±3故抛物线方程为：y2=±6x

40.

10928.8

【解析】该小题主要考查的知识点为方差.

【考试指导】

3722+3872+4004+4012+

3972+3778+4022+4006+

~_3986+4026

X——,■---------

10

(3722—3940"+(3872—3940)14-----n

3940,？=(4026—3940)，

10928.8.

41.

设PCr,y)为所求直裳上任一点，则而=(工一2少+1).因为前_1_。.

则MP,a=(i—2»>+1),(—3.2)=--2)+2(_y+l)=0.

即所求直线的方程为3T—2y—8-0.(整案为3工一2g-8=0)

-3rjl9m-5.

43.

24

25

解析：本题考查了三角函数公式的知识点。X为第四象限角，则cosx=

_24

sin2x=2sinxcosx=」。

44.

1-252,?=28.7（使用科学计算器计算.）.（势案为28.7）

45.-2

/=1

“一丁，故曲线在点（1,a）处的切线的斜率为

y=—

jr-l1，因此切线方程为：y-a=x-l,即y=x-l+a,又

切线过点（2,-1）,因此有-l=2-l+a,故a=-2.

12

47.

48.S=5.4（使用科学计算器计算）.（答案为5.4）

49.

50.

卜亨=1.解析:桶喇的就点十标刈±泮.0）.批中上标别A4二70），即（*7T,O）,则对于该双

■籁.莉.・瓦，•万万・6被收南炮的方・为导午・1

51.

（1）由已知得。.人）,今：工/，

所以laj是以2为首项.十为公比的等比数列.

所以a.=2（yj,即a.=^3-...6'力

（U）由已知可所以你=侍’

，-T

解得“=6.……12分

52.

f(x)=3x2-6x=3x(x-2)

令尸(x)=0,得驻点斫=0,叼=2

当x<0时>0；

当。(工<2时/(%)<0

.•.工=0是八#)的极大值点.极大值八°)="*

=m也是最大值

m=5,又/(-2)=m-20

〃2)=m-4

・•・/(-2)=-15JX2)=1

••・函数〃h)在［-2,2］上的最小值为〃-2)=-15.

53.证明:（1）由已知得

将①两边平方.化简得

（与+a）Y=（*i+a）出④

由（2x3）分别得y：=3（W-o｝）,y；=1（。'-m：），

aa

代人④整理得

同理可得与=±.

Xf,

所以凡=*,'0.所以OR平行于，轴.

54.

利润=销售总价-进货总仰

设每件提价*元(*mO),利润为y元，则每天售出(100-10彳)件，销售总价

为(10+2•(100-100元

进货总价为8(100-10»)元(O«x<IO)

依题意有:y=(10+*)•(100-lOx)-8(100-10x)

=(2+x)(100-10x)

=-10xJ+80x+200

，'=-20*80,令八0得==4

所以当x=4即售出价定为14元一件时,■得利润最大，最大利润为360元

55.

24.解因为，+/-从=*所以匕葺1~4

即cosB=/.而8为△48C内角.

所以8=60。.又lo&ain.4+log.»inC=-1所以si"-»inC=+.

则(x»(A~C)~co»(A+C)]

所以coa(A-C)-co*120°=y.ll|]co«(4-C)=0

所以A-C=90®或4-C=-90°.又A+C=12°。，

解得4=105°,C=15°；或4=15°,C=105。

因为=：-MninC=2片aiivtsinBsinC

=22.骰立亨.约a约

所以所以R=2

所以a=2&ie4=2x2xsinl05o=(.+&)(cm)

i=2«8mB=2x2xsin600=2^(cm)

c=2RsinC=2x2xsinl5°=(而-左)(cm)

或a=(后-&)(ctn)6=24(cm)c=(布+&)(cm)

容.二初长分别为(石+&)cm2Qe、(而-々)《n.它们的对角依次为:105°.®°.

56.解

=3a.-2

a..t-1=3a.-3=3(a.-1)

(2)|a.-l|的公比为Q=3,为等比数列

•*.a.-1=(at-i)9"

a.=3**'+1

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-</,Q,a+d,其中a>0,d>0,

则(a+<//=a2+(a-d)?.

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d=l.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d-\.

(11)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

a,=3+(/i-l),

3+(n-l)=102,

n=100,

故第100项为102.

58.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

59.

(I)因为“0,所以e'+eT»*O,e'-e-*O.因此原方程可化为

-r^~^=c08^'①

e+e

-7^7=sine.②

.e-e

这里8为参数.①1+②1,消去参数明得

4-’3____［即//

(K+e-尸+(e，-e-')'='(e'*(e,-广尸

4—不一

所以方程表示的曲线是椭圆.

(2)由"竽入N.知“"0,sin'"。.而，为参数,原方程可化为

f^=e'+e-,①

C(w

lsm0

ay-②1.得

练-绦Ee'+e”尸-(J-e-y.

cos0sin0

因为2e'e-'=2J=2,所以方程化简为

xJ

施

因此方程所表示的曲线是双曲线.

⑶证由(1)知，在椭圆方程中记方=如丁)

则J=?-力=1,c=1,所以焦点坐标为(士1.0).

由(2)如，在双曲线方程中记aUca%,从=所%.

一则J=a'+b'=l,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(。与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

(I)函数的定义域为(0.+8).

f(x)=1-j.令八工)=0,得x=L

可见,在区间(0.1)上/(*)<0;在区间(1,+8)上J(x)>0.

则/(功在区间(0/)上为减函数;在区间(1.+8)上为增函数•

(2)由(I)知，当x=l时取极小值,其值为/U)=1-Ini=1.

又=4--Iny=4-+ln2^(2)=2-ln2.

60由于I。Vc<In2<Inr.

即*<ln2<l.«V(T>>/(I)J(2)>_A1).

因此V(x)在区间y.2］上的最小值是1.

解本题主要考查双曲线方程及综合解题能力

r2x2+y2-4x-10=0

根据意.先解方程组｛Z_2：_2

x=3.rx=3

cIc

｛y=2.ly=-2

先分别把这两点和原点连接,得到两条直线>=上多

这两个方程也可以写成竟-1=0

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为氐-£=0

由于已知双曲线的实轴长为12.于是有

9k=62

所以A=4

所求双曲线方程为'-行

5010

62.

(【)证明：连结,40因为四边形ABCD为正方形，所以p

UD1.AC.，

又由巳知而工底而ABCD福BD±PA,所以DDJ.平面

A1C,BD1PC.

因为平而前/QN〃&入与B0共而，所以11D//MH.

MNs.EC.……5分

<11)内为AW,收,又巳知AQJ,PC,MW与AQ和交.)

所以平面,tMQM因此PQ_LQM,"M。为所求的角.

因为片14¥而,13^?/切±&\

所以PB1RC.

因为AB=BC=a,A,C=PA=-^<x,

所以PC=2a,,

所以tPCB=60。.

因为IH&PFC'-RtAPQA/,

所以£PMQ=4PC杼=60*.

所以尸8与平面加侬所庞的#1为60。.

63.(1)当n>2时，an=Sz-Sni=2a2+n-2(n-l)2-(n-l)=4n-l

当n=l时，ai=3,满足公式an=4n-L所以数列｛an｝的通项公式为

an=4n-l

(H)设39是数列｛a4的第a项,4n-l=39,解得n=10,即39是该数列

的第10项

64.

设筋三个数依次力•阚第四个匕为更芋

・法一

/Ja+"16

依■意有，■

'・+G»+d)=l2

•I方程蛆樽

所以四个数农改为0M.8.16或15.9.3」.

解法二Q四个敷依次为工・*12y.16一工

(x4-C12-v)-2y

依■意可用…；,、,•

|><16—x)=(192-y)

_ML。iXt-15

解此方程褥i..

bi-4|y»-9A

ficqirn人A1

解(1)/(%)=1-%令，小)=0,解得了=1.当xe(O/)，，(x)<0；

*vx

当XW(1,+8)J'(x)>0.

故函数，(z)在(0,1)是减函数，在(1,+8)是增函数.

(2)当工=