定积分的概念

实例1：求曲边梯形的面积.一、问题的提出5-1定积分的概念(1)曲边梯形定义：条直线x=a,由一条连续曲线和三baoyxx=b,y=0所围成的封闭图形.abxyoxoyab1(2)求曲边梯形面积的意义：xoyxoyxoy由平面曲线所围成的平面图形的面积都可以转化为曲边梯形面积的代数和.abab(3)求由连续函数和三条直线x=a,x=b,y=0所围成的封闭图形的面积.ab2用矩形面积近似代替曲边梯形面积显然:（四个小矩形）（九个小矩形）矩形总面积越接近曲边梯形面积．小矩形越多，abxyoabxyo3曲边梯形如图所示，(1)分割：把区间[a,b]分成n个小区间长度为在每个小区间上任取一点以为底，为高的小矩形面积为则在区间[a,b]内插入若干个分点，(2)近似：4曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为:以上做法的步骤:当分割的无限细密，即最大的小区间的长度趋于零时，分割,近似,取和,求极限.(3)作和式：(4)取极限：5实例2

：求变速直线运动的路程.思路：设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的一个连续函数，且求物体在这段时间内所经过的路程.路程的精确值的近似值，看作不变，把整段时间分割成若干小段，每小段上速度便得到路程求出各小段的路程再相加，最后通过对时间的无限细分过程，求得6(1)分割部分路程近似值(3)求和(4)取极限路程的精确值t(2)近似而曲边梯形面积7二.定积分的定义定义在中任意插入若干个分点把区间各小区间的长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并作和记怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限设函数在上有界，分成个小区间，如果不论对区间8被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和我们称这个极限为函数在区间积分区间dxdx.上的定积分，简称：积分9注意：(5)是一个确定的常数.(3)定积分与区间的分割方法无关，(4)当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.(2)积分值与被积函数及积分区间有关，使用的字母无关.dxdtdudtdx.dx(1)而与积分变量的取法无关.与曲边梯形面积变速直线运动的路程10以上定理的证明省略,只要求记住结论.定理1如果函数f(x)在区间[a,b]可积，则f(x)定理2或仅有有限个第一类间断点，三.存在定理即dx存在.在区间上有界.如果函数f(x)在区间[a,b]上连续则函数f(x)在区间[a,b]上可积.11曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值四.定积分的几何意义abxyoabxyodxdx1.当时，A2.当时，3.当在[a,b]上有正有负时，dx表示各部分面积的代数和.dx即oA1A2A3A412即它是介于x轴、函数的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和.且x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号.的几何意义：dxdxaby=f(x)A1A2A3A413对定积分的补充规定:说明:在下面的性质中，假定定积分都存在，一.基本内容五.定积分的性质(1)当a=b时,dx(1)当a>b时,dx.dx且不考虑积分上下限的大小．即dx14证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1dxdxdx15证性质2性质1.2称为定积分的线性性质.dxdx.dxdx(k为常数)16若定积分对于积分区间具有可加性则性质3abxyodxdxdx.dxdxdxdxdxdxdxdx若(定积分的可加性)证由定义当时，dxdxdx.c得17证性质4性质5dxdx如果在区间[a,b]上则dxoyxaboyxab1dx18性质5的推论：证oyxab则(1)如果在区间上dxdx.dxdxdx于是：dxdx.19解例1比较下列每对定积分值的大小：与与(1)在[0,1]上，则(2)令在[0,1]上，有则在[0,1]上单调增加，在[0,1]上，有即则20证性质5的推论：(2)dxdxdx即21证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6abxyomM则设M及m分别是函数在区间[a,b]上的最大值及最小值，(估值定理)22解例2估计积分的值.在区间上，则则有性质6得，23证由闭区间上连续函数的介值定理知，性质7积分中值公式如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使上至少存在一点使在[a,b]即dxdxdx.dxdx(定积分中值定理)24积分中值公式的几何解释：dx在区间[a,b]上至少存在一个点使得以区间[a,b]为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边，而高为的一个矩形的面积.25六、小结１．定积分的定义：3．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分以不变代变.取极限dx2．定积分