苏教版高数必修二第5讲：空间中的线面关系(学生版)

空间中的线面关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解并掌握直线与平面平行的判定定理；理解并掌握平面与垂直的判定性质定理．一、直线与平面的位置关系位置关系交点个数图形语言符号语言直线在平面内无数个直线在平面外直线与平面相交只有一个直线与平面平行没有直线和平面平行1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么_________________．2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么_____________________．推理模式：特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．2、该定理的作用：证明线面平行．3、该定理可简记为“线线平行，则线面平行．”3.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么_________________．推理模式特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．2、该定理的作用：证明线线平行．3、该定理可简记为“线面平行，则线线平行．”三、直线与平面垂直1.一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的______，斜线与平面的交点叫做______，斜线上一点与斜足的距离叫做点到直线的______．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的______，叫做条直线和这个平面所成的角.2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的_____都垂直，我们就说这条直线和这个平面________，记作AB⊥α，直线叫做_______，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的_________都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：类型一线面平行例1：b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交练习1：(2014·甘肃天水一中高一期末测试)直线在平面外是指()A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多有一个公共点练习2：点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是()A．平行B．相交C．MN⊂平面PCB1D．以上三种情形都有可能练习3：在正方体ABCD－A1B1C1D1中和平面C1DB平行的侧面对角线有________条．例2：(2014江西丰城三中高一期末测试)如图，已知E、F分别是三棱锥A－BCD的侧棱AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD.练习1：((2014·山东济南一中月考)如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外的一点，M是PB的中点，求证：PD∥平面MAC.练习2：(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点，求证：C1O∥平面AB1D1.例3：已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，求证a∥b.练习1：三个平面α、β、γ两两相交，有三条交线l1、l2、l3，如果l1∥l2.求证：l3与l1、l2平行．练习2:如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB的中点，过A、N、D三点的平面交PC于点M，求证：AD∥MN.类型二线面垂直例4：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：EF⊥平面PCD.练习2：如右图，在正方体中，为的中点，为的中心，求证：平面练习3：在如右图，在空间四边形中，,求证：例5：如图在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别是N、M，求证：MN⊥SC.练习1：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D、AC上的点，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的有___．练习3：已知及平面，则下列命题正确的是（）A、 B、 C、 D、例6：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.练习1：在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.练习2:如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是________．1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a、b和平面α，下列命题中正确的是()A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a∥α，则b⊂α或b∥α2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．43．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点4．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则MN与平面BDC的位置关系是________．5．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定6．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行 B．相交C．垂直 D．不确定__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a、b和平面α，下列命题中正确的是()A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a∥α，则b⊂α或b∥α2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．43．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交5．若两直线a、b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．能力提升6．若平面α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条直线与a平行C．存在无数条直线与a平行D．存在惟一一条与a平行的直线7.已知a是一条直线，过a作平面β，使β∥平面α，这样的β()A．只能作一个 B．至少有一个C．不存在 D．至多有一个8.已知α∥β，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、C三点，和平面β交于A′、B′、C′三点，则△ABC与△A′B′C′的关系是________，若AB＝a，A′B′＝b，B′C′＝c，则BC的长是________．9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________________时，有MN∥平面B1BDD110.正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线11.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③