流体力学-第一章-流体的物理性质和宏观模型

流体力学引言一、流体力学的研究对象流体力学是力学的一个分支，它以流体为研究对象，是研究流体运动规律，以及流体与固体之间相互作用规律的一门学科。流体力学的基本内容。流体的运动规律如何？流体运动时对处于其中的其他物体会产生的影响和作用如何？问题：水－－液体空气－－气体流体地球流体海洋大气流体：具有流动性，形状易变的物体（如水、空气），不同于固体（刚体），是液体和气体的统称。

流体力学：研究流体运动规律以及流体和固体间相互作用的科学（不同于研究刚体的“理论力学”）。

地球物理流体（动）力学：以与地球相联系的大气、海洋、河流等为主要研究对象的流体力学，简称地球流体力学。

大气流体力学（FluidMechanicsoftheAtmosphere）：以大气为主要研究对象的流体力学。二.流体力学研究方法流体力学的研究方法分三个方面。1．理论分析方法：理论分析的一般过程是：建立力学模型，用物理学基本定律推导流体力学数学方程，用数学方法求解方程，检验和解释求解结果。湍斑

泰勒涡

机翼涡系目前流体力学理论研究的主攻方向是：湍流、流动稳定性、涡运动、水动力学、水波动力学、复杂流动、多相流动等。理论分析结果能揭示流动的内在规律，具有普遍适用性，但分析范围有限

2.实验方法：实验研究的一般过程是：在相似理论的指导下建立模拟实验系统，用流体测量技术测量流动参数，处理和分析实验数据。典型的流体力学实验有：风洞实验、水洞实验、水池实验等。水洞实验（上海交通大学）水池实验（上海交通大学）风洞实验（同济大学）测量技术有：热线、激光测速；粒子图像、迹线测速；高速摄影；全息照相；压力、密度测量等。现代测量技术在计算机、光学和图像技术配合下，在提高空间分辨率和实时测量方面已取得长足进步。实验结果能反映工程中的实际流动规律，发现新现象，检验理论结果等，但结果的普适性较差3.数值方法数值研究的一般过程是：对流体力学数学方程作简化和数值离散化，编制程序作数值计算，将计算结果与实验结果比较。常用的方法有：有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法、谱分析法等。计算的内容包括：飞机、汽车、河道、桥梁、涡轮机等流场计算；湍流、流动稳定性、非线性流动等数值模拟。大型工程计算软件已成为研究工程流动问题的有力武器数值方法的优点是能计算理论分析方法无法求解的数学方程，比实验方法省时省钱，但毕竟是一种近似解方法，适用范围受数学模型的正确性和计算机的性能所限制。（计算网格）长江口枯季床面剪应力（上海交通大学）三、课程性质和学习目标课程性质：专业基础课，是学习气象、环境等地球物理学科的基础。理论性、抽象性强。所需预备知识：理论力学、热力学、高等数学、矢量分析及张量初步、数理方程等。学习目标：理解和掌握流体力学的基本概念、基本规律和基本方法。学习方法：侧重理解；及时复习；按时按要求完成作业参考书目：①北大吴望一：《流体力学》上、下册；②柯钦：《理论流体力学》；③王宝瑞：《流体力学》，气象出版社，1988答疑时间：课后；平时：气象楼611#。Email：taoli@四、主要教学内容第一章基础概念第二章基本方程第三章相似及量纲分析第四章涡旋动力学基础第五章流体波动第六章旋转流体力学第一章基础概念主要内容第一节流体的物理性质和宏观模型第二节流体的速度和加速度第三节迹线和流线第四节速度分解第五节涡度、散度和形变率第六节速度势函数和流函数一、物理性质第一节流体的物理性质和宏观模型自然界的物质凝聚态（分子间的平均间距不同）固体液体气体流体与固体不同：流动性粘性压缩性宏观性质（水、空气）沥青？1．流体的易变形性流体具有易流动性特点，它在静止时，不能承受任何微小的切应力，或者说任何微小的切应力都会使它产生形变和流动。流体的力学定义：流体不能抵抗任何剪切力作用下的剪切变形趋势。流体的易变形性是流体的决定性特征，这决定了流体的许多特征行为：当受到剪切力持续作用时，固体的变形是有限的，流体能产生无限大变形（流动）2.流体的粘性当流体层之间存在相对运动或切形变时，流体的这种抗切变性，或阻碍流体层相对运动的特性，称作粘性。内摩擦概念由牛顿（I.Newton，1687）首先提出，称为牛顿粘性假说（《自然哲学的数学原理》）一百年后由库仑（C.A.Coulemb，1784）用实验证实。库仑实验：把一薄圆板用细丝平吊在液体中，将圆板转过一角度后放开，圆板作往返摆动，逐渐衰减，直至停止，测量其衰减时间。用三种圆板（a、普通板，b、表面涂蜡，c、表面胶一层细砂）做实验。A细砂面>普通面>涂蜡面；B涂蜡面>普通面>细砂面；C细砂面=普通面=涂蜡面。在库仑实验中，三块圆板的衰减时间比较是：请选择（）库仑实验证明衰减原因不是圆板与液体间的摩擦，而是液体内部的摩擦，即内摩擦。宏观：相对快速流体层对慢速流体层有一个拖代的作用力，使慢速流体层变快起来；相应地慢速流体层将拽住快速流层让其减速，最终使流体层间的相对运动消失。微观：流体的粘性乃是分子输送的统计平均。即由分子的不规则运动，在各流体层之间交换宏观动量，结果使快慢流体层趋于均匀而无相对流动或切形变。理想流体：当流体粘性很小（例如水或空气），其相对速度也不大时，其粘性应力对流动作用就不甚重要并可以略去，这种不计粘性的流体，称作理想流体。3.流体的压缩性流体的压缩性是压强变化引起流体体积或密度变化的性质。所有的流体都是可压缩的，但是在一定条件下，可以把流体当做不可压缩近似，尤其是对于液体来讲，例如：水，在非常极端的压强下，产生很小的容积变化。气体很容易压缩，虽然气体比液体更容易压缩，但是，小的气压差只能引起小的气体密度变化，1%的气压改变量只能引起1%的密度变化。在大气中，1%的气体压差相当于85米高度上的气压的改变量，所以，在一座楼的高度范围内一般认为大气的气压和密度是不变的。速度的变化也可以影响流体压强的变化。在一定高度上，若流体由V1加速到V2，那么压强的该变量为:当速度增加时，压强会减小，这个量出现在很多流体问题当中，被称之为动力气压。它代表由于流体速度改变而引起的气压的改变量。只要速度的改变量小，气压的改变量也小，可认为流体的密度不变。在常温常压下气体作低速流动时（v<

100m/s），气体密度的相对变化小于5％,也可按不可压缩流体处理。当气体作高速流动时（v>

100m/s），要考虑其密度变化带来的影响，称之为可压缩流体。二、流体的连续介质假设—宏观理论模型实际流体是由大量的流体分子组成的，而流体分子之间存在空间间隙。对于这种由离散分子构成的真实流体，如何研究它的运动？通常我们所指的流体运动是指流体的宏观运动，不需要涉及到流体分子运动以及分子的微观结。也就是说，在研究流体的运动时，可以不考虑流体的离散分子结构状态，而把流体当作连续介质来处理：连续介质假设：把由离散分子构成的实际流体看成是有无数流体质点没有间隙连续分布构成的，这就是所谓的流体连续介质假设。质点力学中把实际物体抽象概括称为“质点”（有质量但无体积）流体质点（或流点、流体微团或流体微元）=大量流体分子的集合。对流点的尺度要求：既要充分小（以使它在流动中可当作“点”），又要足够大（能保持大量分子，具有确定的统计平均效应）。测量流体中某一点的速度时，仪器测量（感受）的是体积中分子运动速度的统计平均值

。下图中，当感受体积小于临界体积,速度是脉动的；当感受体积,速度为确定值。流体的宏观特性：临界体积内分子特性的统计平均值。目前最精细的测速仪的感受体积约为103μm3

，包含分子约3*1010

个（统计平均值足够稳定）。流体质点是连续分布的，其上的物理量（如：温度、密度、速度等也是连续分布的，从而构成各种可用连续函数表示的物理量场，可利用高等数学中矢量分析与场论的知识来研究。连续介质假设对大多数流体适用，但对个别情况不适用，如高层（z>50km，即平流层中层以上）稀薄大气（此时，流点必须取得很大，则失去点的意义）。§2.流体速度与加速度，Lagrange法和Euler法南京信息工程大学陶丽主要内容描写流体运动的两种观点：Lagrange观点和Euler观点及其差别以及两种变量的相互转换；流体的加速度的定义、物理含义；微商算符的物理实质及其应用。由于流体的易变形性，流体的运动形态比刚体和固体更为复杂，描述的方法也有所不同一、两种表述流动的方法

比喻：采用两种方法统计河道中的水流状况（1）可投以浮标用跟踪方法方法来测量。例如用一个适当大小的某种浮标作为流点示踪物（即近似代替流点），并由经纬仪测出它各时刻的位置，再计算它位置的时间变率，得出该浮标所示踪的那个流点的运动状况及其流速。此方法成为Lagrange方法（2）用测速仪置于河道中并在某固定点上测出水流速。此方法称为Euler法。1.

拉格朗日法：拉格朗日法又称随体法：跟随流体质点运动，记录该质点在运动过程中物理量随时间变化规律。设某质点标记为（a,b,c），该质点的物理量B的拉格朗日表示式为：式中(a,b,c)称为拉格朗日坐标，可用某特征时刻质点所在位置的空间坐标定义，不同的（a,b,c）代表不同质点。任意时刻质点相对于坐标原点的位置矢量（矢径）的拉格朗日表示式为：上式代表任意流体质点的运动轨迹。其分量形式为：质点速度的拉格朗日描述是：质点加速度的拉格朗日描述是：请判断拉格朗日法适合于描述下述哪一类流动：研究一污染物粒子在水中运动的轨道；研究无数质点组成的质点群的运动；研究一流动空间的速度分布。

2.欧拉法：欧拉法又称当地法：将某瞬时占据某空间点的流体质点物理量作为该空间点的物理量，物理量随空间点位置和时间而变化。设空间点坐标为（x,y,z），物理量B的欧拉表示式为：式中(x,y,z)称为欧拉坐标，不同的（x,y,z）代表不同的空间点。在流体力学中最重要的物理量是速度和压强，其欧拉表示式分别为速度场分量式为欧拉方法更直接，但应用牛顿运动第二定律较困难。因此在欧拉系统中我们需要一个流体质点的加速度关系式，这有一些复杂质点加速度的欧拉描述是：物理量的欧拉表示式代表了该物理量的空间分布，称为该物理量场，例如速度场、压强场等。因此欧拉观点是场的观点，可运用数学上“场论”知识作为理论分析工具。欧拉法适用于描述空间固定域上的流动，是流体力学中最常用的描述方法。

若场内函数不依赖于矢径则称之为均匀场反之称为不均匀场．若场内函数不依赖时间t称为定常场，反之称不定常场．定常流动的数学表达式为或

某人坐在匀速运动的飞机上测量和记录周围各点空气的速度和压强，请问它采用的研究方法是：拉格朗日法；欧拉法；两者均不是。二、.描述流体运动的两种方法（观点）的关系（区别及联系）拉氏观点的优点：描述流体运动直观、明了（跟踪流点），如研究高层大气中的物质输送问题。缺点：解决问题时，应用数学工具不方便。欧拉观点的优点：把流体运动当作（流）场随时间的变化，便于应用矢量分析、场论和数理方程等数学工具，应用更为广泛，如气象研究中涉及的绝大多数问题。缺点：研究整个流场需要建立若干观测点。两种变量仅是考察的角度不同，即着眼于流点还是空间（场）点，其描述同一流场的结论本质应该是一致的，则两者可以相互转换。拉氏变量==>欧拉变量的方法：上式中消去参数，即可得到欧拉变量。例：由流体的质点轨迹求速度分布：设流体运动的拉格朗日变量为：

求相应的流体质点的速度

例2已知Lagrange变量，将其转换为Euler变量。解：首先，求流动的速度：消去参数即为所求Euler变量。欧拉变量==>拉氏变量的方法：由速度分布求质点轨迹步骤对t积分，利用初始条件定出积分常数由位置坐标得到计算随时间的变化率（流速）：把当作t

时刻流点所达到的位置，此时为t的函数；Euler观点下，对于固定的时间t

：观点转换求解微分方程组：即可得到Lagrange变量。例

已知Euler变量，请将其转换为Lagrange变量。解：根据直接积分确定其中参数；根据即为所求。三、流体的加速度：我们如何描述流体的位移、速度和加速度，如前所述，有两种可能：Lagrange方法和Euler方法。用Lagrange系统，我们跟踪流体质点，而Euler系统，我们看场的描述。场给出了整个流场的在任何地方任何时间的细节，但我们不能跟踪每一个流体质点。若应用牛顿定律以及其他定律如质量守恒定律，需要着眼于流点，因此，Lagrange系统似乎更适合于得到流体运动方程，然而，用Lagrange系统完整描述流场需要非常大量的流体质点被跟踪，所以我们一般采用Euler方法质点加速度是流体质点在运动中速度随时间的变化率，称为速度的随体导数或物质导数，常称为质点导数，这属于拉格朗日观点。现在的问题是如何用欧拉法表示质点导数。质点加速度＝速度随时间的变化率。②Euler观点（空间点的加速度）：流体的加速度即为流速的时间变率。①Lagrange观点（流点的加速度）：等同于经典力学中的加速度，与受力直接相联系流体力学最常用形式。？当作t时刻流点所占据的位置（观点转换）Euler观点的加速度Lagrange观点的加速度：(1.2.12)位于空间某一点的流体质点的加速度，也称为加速度的欧拉描述。局地加速度平流加速度在直角坐标系中加速度场的分量式为：四、质点导数：任意物理量B(x,y,z,t)的质点导数为:

表示空间点上的物理量B随时间的变化率，称为物理量B的当地变化率（或局地变化），反映流场的不定常性；

表示沿x方向的位移（迁移）时，因流场的不均匀性引起的物理量B的变化，称为物理量B在x方向迁移变化率（或平流变化）；，分别表示在y,z方向的平流变化率。用场论符号表示：式中：(1.2.14)(1.2.15)流场加速度可表示为：物理意义：个别变化＝局地变化＋平流变化

(1.2.16)例：由速度场求加速度已知：速度场：求：当t=1时质点（1,3,2）的速度及加速度定常流场（稳定流场）：对于Euler变量表示的流场，若即流动与时间t无关，则称为定常流场。【思考题】在风洞实验中，将飞机或汽车模型固定在洞壁上，让空气匀速地流过模型。请问这种流动属于：定常流动不定常流动

【思考题】设某日北京的气温为10度，南京与北京相距1000公里，气温为15度，而北京向南京的气流速度为12米/秒，在流动过程中，假设空气温度不变，试问南京平均每日下降几度？若空气流动过程中，由于气团变性，每日温度升高2.5度，问南京每日温度变化多少？例一速度场用描述。（1）求其加速度的欧拉描述；（2）先求矢径表示式，再由此求加速度的拉格朗日描述；§3.迹线和流线为了更直观、形象地刻画流动，引入迹线和流线的概念。流体质点的运动轨迹线。迹线方程：迹线的拉格朗日表示式：迹线(1.3.1)当常数时一空间曲线参数方程确定的流点在不同时刻所行的路径——迹线。参数方程迹线方程。消去参数t当对于的不同取值，可得不同流点对应迹线的方程，它描述了不同质点在不同时刻的运动轨迹。－－迹线簇例：设流体运动的拉格朗日变量为：求迹线。迹线的欧拉表示式：或：

式中t为自变量，x,y,z均为t的函数。uv是时间的t函数，已知充分的边界条件，对上式积分得，消去时间t，即得迹线方程。(1.3.2）(1.3.3)例：已知求t=0时，位于空间点（a,b）质点的迹线方程。迹线的特点：迹线是流场中实际存在的迹线具有持续性（t是自变量）；请判断下列说法是否正确：过流场中的一点可以有多条迹线。根本不可能；在定常流中是正确的；在不定常流中是正确的。2.流线：某时刻，曲线上任意点的切线方向跟那一刻该点的速度方向一致的假想曲线，如下图中的s线流线方程（只有欧拉表示式）：在直角坐标系中为：或：式中t是参数，x,y,z是自变量。流线的特点：流线是假想的线；流线具有瞬时性（t是参数）；在定常流场中流线与迹线重合；请判断下列说法是否正确：过流场中的一点可以有多条流线。根本不可能；在定常流中是正确的；在不定常流中是正确的。例：已知求其流线方程3.迹线和流线的区别：流线：某瞬间反映整个流动状况的空间曲线。迹线：某流点在不同时刻运行的路径（轨迹）。一般情况下，两者不相重合；当流动定常时（流点在任一时刻的状态与当时的空间点一样），两者重合。∵（1.3.3）、（1.3.5）两式都不显含t，各瞬间的流线均相同，∴流线与迹线重合。注意：流场定常只是流线与迹线重合的充分条件，即对于非定常流场，流线与迹线也可能重合（例如第一章例题3）。习题1-3-1已知流体运动的速度场为，求流场的迹线和流线习题1-3-2已知流体运动的速度场为求该

流场中通过（1，1）点的流线。习题1-3-3已知流体运动的速度场为，

求t=0时刻，过点M(-1,-1)的迹线和流线。习题习题1-3-1已知流体运动的速度场为，求流场的迹线和流线。习题讲解解：给定的流场为二维定常流场，迹线就是流线。进一步有：即为所求的迹线和流线方程。积分可得：根据流线的的微分方程：习题1-3-2已知流体运动的速度场为，求该流场

中通过（1，1）点的流线。

解：根据流线的微分方程：故过点(1,1)的流线：进一步有：解：①

求迹线：进一步有：习题1-3-3已知流体运动的速度场为，求t=0时刻，过点M(-1,-1)的迹线和流线。迹线微分方程：根据t

=0条件，确定C1=C2=0→消去参数t

，最终可得t=0时刻，过点M(-1,-1)的迹线方程为：根据流线的微分方程：进一步有：→根据t=0条件，确定C=1→最终可得t=0时刻，过点M(-1,-1)的流线为：②

求流线：§4.速度的分解亥姆霍兹速度分解定理（一点邻域内的相对运动分析）以xy平面流场为例。设点的速度为，邻近点M(x+dx，y+dy)的速度可用的泰勒展开式表示（取一阶）(1.4.1)在x方向分量式上加减，在y方向分量式上加减，整理后可得(1.4.2)M点的流速可分解为三部分：随同一起运动的的平移速度；绕点旋转引起的转动线速度；由于点形变引起的线速度；上式可推广到三维空间流动。亥姆霍兹速度分解定理表明一点邻域内的速度=平移速度+旋转线速度

+形变线速度例

已知流场：

其中m为常数，计算坐标原点O附近点的转动线速度和形变线速度。解：OP40对于转动线速度:需要计算：形变线速度:§5

涡度、散度和形变率线形变率（法形变率）

仍以

xy

平面流场为例，设速度分量u

沿

y

方向不变，v

沿x

方向不变。现考察正方形面元，经过δt

时间后，x方向增加的长度为单位长度单位时间的伸长为称为x方向线应变率。同理y方向和z方向的线应变率分别为(1.5.1)当两个方向同时伸长时正方形面元将扩张，面积的相对扩张率为：(1.5.2)当δt→0时，面积的瞬时相对扩张率为：在场论中称为速度散度。(1.5.3)将上述分析推广到空间流动，流体元体积的瞬时膨胀率为(1.5.4)(1.5.5)【思考题】根据质量守恒定律。流体元的体积变化将引起密度变化。由于表示流体元的瞬时体积相对膨胀率，当时意味着流体是：

请选择：

均质的；

不可压缩的；

可压缩的。2.角形变率(切形变率、剪切形变率）考察

xy

平面流场中过任意点M的一对正交线元MA和

MB，分别长,存在速度梯度。经过δt时间后，MA,MB分别转过角度，其在M点邻域内的时间平均值分别为(1.5.6)(1.5.7)定义一点邻域内流体面元的角形变率为该面元上正交于该点的两线元夹角的瞬时变化率。在xy平面内在xz平面和yz平面内的角形变率分别为(1.5.8)(1.5.9)(1.5.10)3.流体的旋转旋转角速度：考察图B2.5.3中正交线元MA和MB绕M点的旋转运动，规定逆时针方向旋转为正。由前可知，MA,MB

绕

M

点旋转角速度分别为(1.5.11)(1.5.12)式中负号代表顺时针方向。定义一点邻域内流体绕

z轴方向的旋转角速度为

xy

平面上正交于该点的两线元的平均角速度类似地，绕x轴和y轴方向的旋转角速度分别为：(1.5.13)(1.5.14)(1.5.15)三个角速度分量构成一点邻域内的角速度矢量在场论中称为速度旋度。2．涡度在流体力学中直接将速度旋度定义为涡度：(1.5.16)(1.5.17)[例]线性剪切流：已知：平面流场为u=ky,v=0（k为常数）

求：分析该流场的运动学特征。4、速度环流和涡度速度环流：在流场中任取封闭曲线k，如图4-5所示。速度沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线的环量，简称速度环量，用表示，即

式中——在封闭曲线上的速度矢量；

——速度与该点上切线之间的夹角。速度环量是个标量，但具有正负号。图

沿封闭曲线的速度环流在封闭曲线l上的速度矢量速度与该点上切线之间的夹角事实上，速度环流：当有：流体某点的涡度矢在某单位面元法向的分量就是单位面积速度环流的极限值。(1.5.18)(1.5.19)(1.5.20)柯西霍兹速度分解定理：(1.5.21)第一项为平移速度矩阵第二项为反对称的旋转角速度矩阵（张量）第三项为变形率矩阵（张量），其中包含了线形变和角形变。柯西-亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可以分解为平动、转动和变形三部分之和(1.5.22)§6.速度势函数和流函数速度势函数：

1.以平面无旋流动为例，在直角坐标系中速度的旋度为零，即：（1.6.1）由场论知识，u,v必可表示为某标量函数φ（x,y,t

）的偏导数

(1.6.2）使(1.6.1)式自然成立(1.6.2)式可推广至三维无旋磁场

(1.6.3)(1.6.4)△称φ(x,y,z,t）为速度势函数，简称速度势，相应的无旋流场称为势流。引入速度势的好处是用一个标量函数φ即可表示无旋流场中任一点的三个速度分量相应地，若Φ已知，可求得散度：已知D，则可求解Φ.(1.6.5)[思考题]

速度势函数存在的条件是,请选择：不可压缩流体；无粘性流体；无旋流动；平面流动。2.

势函数等值线由(1.6.3)式，速度势的全微分式为

(1.6.6)令φ(x,y,z,t）为常数，由(1.6.5)式

(1.6.7)在无旋流场中，势函数的等值线称为等势线，由（1.6.6）式可知等势线Φ=C处处与速度矢量垂直，取不同的C值，可得一簇等势线。流函数引入流函数的前提条件：若流动是无辐散的（

，也称不可压缩流动）和二维的（常见的情形为：

，即

，称为水平无辐散）。我们定义一函数Ψ：(1.6.8)(1.6.9)则有：速度场：【思考题】流函数存在的条件是（1）不可压缩流体；（2）无粘性流体；（3）无旋流动；（4）平面流动。请选择(1.6.10)(1.6.11)相应地，可以用Ψ表示流体涡度：反过来，已知涡度，也可求解Ψ.(1.6.12)2、流函数等值线由(1.6.9)式，流函数的全微分式为：令Ψ