2024年中考数学探究性训练-圆 (二)

备考2024年中考数学探究性训练专题21圆

一、选择题

L“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三

角形.它是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形，如图2所示.若正三角

形的边长为3,则该“莱洛三角形”的面积为（）

A97r9V39兀9V3「9TT9V39TT9V3

"22-R"4丁+丁N丁+丁

2.如图，是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分

别为Rt^ABC的三条边，若BC=12，乙4cB=30。，则阴影部分的面积为（）

A.18V3-7TB.18V3C.18V3+2TCD.8V3+27T

3.如图1,是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该

图形后设计了图2,延长正方形ABCD的边BC至点M,作矩形ABMN,以BM为直径作半圆0交.CD

于点E,以CE为边做正方形CEFG,G在上，记正方形ABCD,正方形CEFG,矩形CMND的面

C

积分别为S】,S2,S3,则在=)

图1图2

A3+*/^B1+V^C3+7^2口1+V2

''~^2~'~T~'~^2~

4.弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先画正三角

形，然后分别以三个顶点为圆心，（晓观数学）其边长为半径画弧得到的三角形.在大片的麦田或农田

中，由农作物倒状形成的几何图案被称为‘'麦田怪圈''.图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某

研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2,成员甲先借绳子绕行一周画出。。，再将

Q0三等分，得到A,B,C三点.接着，成员乙分别以A,B,C为圆心画出图中的弧三

角形.研究小组在A,B,C,0四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为P,

成员乙所在的位置为Q,若将射线0B绕着点。逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量%

（单位：°,0<%<360）,甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为yi和y2（单位：m）,绘

制出两个函数的图象（如图3）.

结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）

6x/3

国3

A.QO的半径为6mB.图3中a的值为270

C.当x=60时，yi取得最大值12D.检测仪器放置在点A处

二'填空题

5.（新知探究）新定义：平面内两定点A,B,所有满足学=k（k为定值）的P点形成的图形是

圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”,

（问题解决）如图，在AABC中，CB=4,AB=2AC,则4ABC面积的最大值为

6.如图，A,B,C为。O上相邻的三个n等分点，协=元，点E在比上，EF为。。的直径，

将。O沿EF折叠，使点A与A唯合，点B与重合，连接EB\EC,EA\设EB，=b,EC=c,EAr=p.现

探究b,c,p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c.请继续探究b,c,p三者的数量关系：当n=4

时，p=；当n=12时,p=.

（参考数据：$m15。=侬75。=字,cosl5°=sin75-早）

7.【定义新知】

如图1,C,。是。。上两点，且在直径AB的上方，若直径力B上存在一点P,连接CP、DP,满

足N4PC=Z.BPD,贝I］称NCPD是的“幸运角

（1）【问题探究】如图2,4B是。。的直径，弦CE14B,。是BC上的一点，连接0E交ZB于

点P,连接CP.

①NCPD是CD的“幸运角”吗？请说明理由；

②设CD所对的圆心角为n,请用含n的式子表示CD的“幸运角”的度数；

（2）【拓展延伸】如图3,在（1）的条件下，若直径ZB=10,CD的“幸运角”为90。，DE=8,

求CE的长.

8.【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题:

点4为。。内一定点，点P为。。上一动点，确定点P的位置，使线段AP最长.

(1)【问题解决】以下是小华的方法:

如图①，连结力。并延长交。。于点P,点P为所求.

理由如下：在。。上取点P’(异于点P),连结4P'、0P'.

接下来只需证明4P>4P'.

请你补全小华的证明过程.

(2)【类比结论】点4为。。外一定点，点P为。。上一动点，设。。的半径为r,AO的长为m,

则线段4P长度的最大值为,线段4P长度的最小值为.(用含r、TH的代数式表

示)

(3)【拓展延伸】如图②，在半圆。中，直径的长为10,点。在半圆。上，力。=6,点C

在前)上运动，连结2C,"是4c上一点，且ZCHC=9O。，连结BH.在点C运动的过程中，线段

长度的最小值为.

9.定义：当点尸在射线。4上时，把黑的值叫做点尸在射线。4上的射影值；当点尸不在射线。4

上时，把射线04上与点尸最近点的射影值，叫做点尸在射线04上的射影值.

例如：如图1,△。48三个顶点均在格点上，8尸是。4边上的高，则点尸和点5在射线。4上的

射影值均为黑

Czzl

(1)在△0/8中，

①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△。48是锐角三角形；

②点B在射线OA上的射影值等于1时，则是直角三角形；

③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△048是钝角三角形.

其中真命题有▲.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

(2)已知：点C是射线。4上一点，CA=OA=1,以O为圆心，0/为半径画圆，点3是。。上

任意点.

①如图2,若点8在射线。/上的射影值为最求证：直线5c是。。的切线；

②如图3,已知。为线段3c的中点，设点。在射线。4上的射影值为x,点。在射线上的射

影值为外直接写出y与X之间的函数关系式为.

10.

（1）知识重现：如图1,我们已经分三种情况探究了一条弧所对的圆周角NB2C和它所对的圆心

角NBOC的数量关系.

图1

①直接写出ZB4C和ZBOC的数量关系▲.

②任选一种情况进行证明.

（2）迁移应用：如图2,已知△ABC内接于。0,直线DE是O0切线，切点为A,求证：Z.CAE=

AABC.

11.综合探究

（一）新知学习：

人教版数学九年级上教材第119页《探究四点共圆的条件》发现，圆内接四边形的判断定理：如果

四边形对角互补，那么这个四边新内接于圆（即如果四边形瓦’G〃的对角互补，那么四边形EFGH的

四个顶点E、F、G、8都在同个圆上）.

（二）问题解决：

已知。。的半径为2,AB,CC是。。的直径，尸是BC上任意一点，过点尸分别作力B,CC的垂

线，垂足分别为N,M.

（1）若直径AB_LCD（如图1）,在点P（不与8、C重合）从3运动到C的过程中，MN的长是

否为定值，若是，请并求出其定值；若不是，请说明理由.

（2）若直径4B与CD相交成120。角，当点尸（不与3、C重合）从8点运动到C的过程中（如

图2）,证明MN的长为定值.

（3）试问当直径与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值.

12.

（1）【基础巩固】

如图1,点A,F,B在同一直线上，若乙4=NB=NEFC,求证：△AFE~ABCF；

（2）【尝试应用】

如图2,AB是半圆。。的直径，弦长47=BC=4,E,F分别是AC,AB上的一点，NCFE=45°,

若设BF=%，AE=y,求出y与久的函数关系.

（3）【拓展提高】

已知。是等边△ABC边AB上的一点，现将A/BC折叠，使点C与。重合，折痕为EF,点E,F

分别在AC和BC上.如图3,如果4。：BD=1：n,求CE：CF的值（用含n的代数式表示）.

13.先阅读材料，再解答问题：

小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等.如

图1,点aB,C,。均为。。上的点，则有ZC=20.小明还发现，若点£在o。外，且与点D

在直线2B同侧，则有乙D>N£

请你参考小明得出的结论，解答下列问题:

yk

问题：如图2,在平面直角坐标系久Oy中，点/的坐标为(0,10),点3的坐标为(0,4),点C的

坐标为(2,0).

(1)在图2中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)，并求出此圆与x轴的另

一个交点的坐标；

(2)点P为x轴正半轴上的一个动点，连接AP、BP,当乙4PB达到最大时，直接写出此时点尸

的坐标.

14.有关阿基米德折弦定理的探讨与应用

(1)［问题呈现］

阿基术德折弦定理：如图①，AB和BC是。。的两条弦(即折线AB-BC是圆的一条折弦)，BO

AB,点M是2BC的中点，则从点M向BC作垂线，垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA.

下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.

证明：如图②，在CD上截取CE=AB,连接MA、MB、MC和ME.

YM是ZBC的中点，；.MA=MC.

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.

（2）［理解运用］

如图③,AABC内接于。O,过点O作ODLAB于点D,延长DO交。O于点E,过点E作EFXAC

于点E若AC=10,BC=4,则CF的长为

（3）［实践应用］

如图④，等边4ABC内接于。O,点D是AC上一点，且NABD=45。，连接CD.若AB=2,MABDC

的周长为_________

15.定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图甲所示,

在aABC和4DEF中，若乙4+2E=ZB+AD=90°,S.AB=DE,则△ABC和DEF是“青竹三角

形

A

（1）下列四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是.（填序号）

①平行四边形②矩形③菱形④正方形

（2）如图乙所示，在AABC中，乙4cB=90°,AC=BC,点。是AB上任意一点（不与点A,B

重合），设AD,BD,CD的长分别为a,b,c,请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a,b的式子

来表示。2.

（3）如图丙所示，。。的半径为4,四边形ABCD是。。的内接四边形，且和△4DC是“青

竹三角形”.

①求+BC2的值；

②若AABC=75°,求△4BC和△4DC的周长之差.

16.若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60。，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”.

(1)①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有;

②若矩形是“美丽四边形"，且2B=1,贝IJBC=；

(2)如图1,“美丽四边形"ABCD内接于与BC相交于点P,且对角线力C,为直径,AP=2,

PC=8,求另一条对角线BD的长；

(3)如图2,平面直角坐标系中，已知“美丽四边形"BCD的四个顶点4(一2,0),C(l,0),B

在第三象限,D在第一象限,AC与BD交于点0,且四边形ABCD的面积为6百,若二次函数y=a/+

bx+c(a>b、c为常数，且a。0)的图象同时经过这四个顶点，求a的值.

(1)【感知】如图①，点A、B、P均在。。上，AAOB=90°,贝I」锐角乙4PB的大小为度.

(2)【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，。。是等边三角形4BC的外接圆，点P在2C上

(点P不与点A、C重合)，连结R4、PB、PC.求证：PB=PA+PC.小明发现，延长P4至点E,

使4E=PC,连结BE,通过证明APBC三AEBA,可推得PBE是等边三角形，进而得证.

下面是小明的部分证明过程:

证明：延长PA至点E,使4E=PC,连结BE,

••・四边形2BCP是。。的内接四边形,

乙BAP+乙BCP=180°.

•••ABAP+ABAE=180°,

Z.BCP=乙BAE.

・••△4BC是等边三角形.

・•.BA=BC,

・•・△PBC三△EBARAS）

请你补全余下的证明过程.

（3）【应用】如图③，。。是△力BC的外接圆，-1BC=9O。，4B=BC,点P在。。上，且点P

与点B在4C的两侧，连结P4PB、PC.若PB=2&PA，则器的值为

p

（图2）（图3）

如图1,。。是等腰△48C的外接圆，AB=AC,在元上取一点尸，连结4P,BP,CP.求证：ZAPB

ZPAC+ZPCA；

（2）【思考探究】

如图2,在（1）条件下，若点尸为公的中点，AB=6,尸3=5,求为的值;

（3）【拓展延伸】

如图3,。。的半径为5,弦BC=6,弦CP=5,延长4P交的延长线于点£,且NABP=NE,

求4PWE的值.

19.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，点4B、C、。、

M均为格点.

（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相

垂直的线段ZB、CD,相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整:

解：在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是AABC和ACDE.

1

在RtAABC中,tanZ-BAC=,

在RtaCDE中，,

所以tanZ-BAC—tanzDCE.

所以NB4C=NDCE.

因为//CP+NDCE=ZACB=90°,

所以N4CP+NBAC=90。，

所以N4PC=90°,

即ABVCD.

(2)【拓展应用】如图②是以格点。为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM

上找出一点P,使=写出作法，并给出证明：

(3)【拓展应用】如图③是以格点0为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点

PMAM2=AP-AB,写出作法，不用证明.

20.【问题提出】

如图1,。。与直线a相离，过圆心。作直线a的垂线，垂足为H,且交。。于P、Q两点(Q

在P、H之间).我们把点P称为。。关于直线a的“远点”,把PQ•的值称为。0关于直线a的“远

望数”.

(1)如图2,在平面直角坐标系久0y中，点E的坐标为(0,4),过点E画垂直于y轴的直线血，

则半径为1的。。关于直线m的“远点”坐标是,直线m向下平移个单位长

度后与O。相切.

(2)在(1)的条件下求。。关于直线小的“远望数”.

(3)【拓展应用】

如图3,在平面直角坐标系xOy中，直线，经过点M(6V5,0),与y轴交于点N,点F坐标为(1,2),

以尸为圆心，。尸为半径作0工若OF与直线，相离，。是OF关于直线I的“远点”.且OF关于直

线/的“远望数”是12遥，求直线1的函数表达式.

21.阅读资料：如图1,在平面之间坐标系％0y中，A,B两点的坐标分别为力Qi，yi),B(X2,y2)>

由勾股定理得AB?=|久2—尢1|2+仅2—月|2,所以4B两点间的距离为2B=

jQ2—%i)2+(y2—yi)2-我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2,在平面

直角坐标系久。丫中，2(x,y)为圆上任意一点，则/到原点的距离的平方为。〃=|x-0|2+|y-0|2,

当。0的半径为r时，。0的方程可写为：x2+y2-r2.

问题拓展：如果圆心坐标为P(a,b),半径为r,那么OP的方程可以写为(久一a)2+(y-h)2=r2.

综合应用：如图3,OP与x轴相切于原点0,P点坐标为(0,6),4是OP上一点，连接。4,

(1)求证是。P的切线；

(2)是否存在到四点0,P,A,B距离都相等的点Q?若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心,

以。Q为半径的。。的方程；若不存在，说明理由.

22.如图

(D【根底巩固】

如图，在AABC中，。为上一点，乙4CQ=ZB.求证：AC2=AD-AB.

(2)【尝试应用】

如图2,在菱形4BCD中，E,F分别为BC,DC上的点，且△E4F=去△BAD,射线4E交DC

的延长线与点M,射线AF交BC的延长线于点N.若4F=4,CF=2.AM=10.

求：©CM的长;

②FN的长.

(3)【拓展进步】

如图3,在菱形ABCD中，4B=6,NB=60。，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是

圆上的动点，请直接写出PD+^PC的最小值.

23.阅读材料，某个学习小组成员发现：在等腰AABC中，AD平分ZB4C,二2⑶二AC,BD=CD,

...第=罂，他们猜想：在任意A/BC中，一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两

边对应成比例.

【证明猜想】如图1所示，在AZBC中，AD平分NB4C,求证：器=器.

丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；

思思认为，可以通过比较△ABD和^ACD面积的角度来证明.

(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明.

(2)【尝试应用】如图2,。。是Rt△ABC的外接圆，点E是O。上一点(与B不重合，且ZB=AE,

连结4E,并延长AE,BC交于点D,H为AE的中点，连结BH交AC于点G,求益的值.

(3)【拓展提高】如图3,在(2)的条件下，延长BH交。0于点F,若BE=EF,GH=%，求。。

的直径(用x的代数式表示).

24.请阅读材料，并完成相应的任务.

在数学探究课上，同学们在探索与圆有关的角的过程中发现这些角的两边都与圆相交，不断

改变顶点的位置，可形成无数个角，而根据点和圆的位置关系可将这些角分为三类，分别是

顶点在圆上、圆外和圆内的角结合教学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角

进行定义：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角.顶点在圆内，两边都与圆相交的角叫

做圆内角，如图1,乙4P1B和乙4P2B分别是4B所对的圆外角和圆内角.

图3

（1）如图1,在探究与圆有关的角时，运用的数学思想方法是:

A.公理化思想B.分类讨论C.数形结合

（2）将勤奋小组的解题过程补充完整；

（3）如图3,当点P在O。内时，乙4PB是48所对的一个圆内角，延长4P交。。于点C,延长

BP交。。于点D,若设乙40B=zn。，CD所对的圆心角为n。，则乙4PB=°.

四'实践探究题

25.小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆。在一节

数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样

一个问题：已知手中圆盘的直径为13cm,手中的三个正方形硬纸板的边长均为5cm,若将三个正方

形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，

大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，

圆盘能盖住时的最小直径.然后将各种情形下的直径值与13cm进行比较，若小于或等于13cm就能盖

住，反之，则不能盖住.老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示.

(1)通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为cm.(填准确数

(2)图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为cm,图3能盖住三个正方形

硬纸板所需的圆盘最小直径为cm.(填准确数)

(3)拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心。落在GH边上时，圆的

直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住.(计算中可能用到的数

据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数)

26.综合与实践

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、B、C在半径为1的。。上静止不

动，第四只蚂蚁P在。。上的移动，并始终保持乙4PC=ZCPB=60。.

A

备用图

(1)请判断AZBC的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：AZBC是

三角形；

(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁P在。。上的移动时，线段P4PB、PC三者

之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：▲,并加以证明；

(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁M同时随着蚂蚁P的移动而移动，

且始终位于线段PC的中点，在这个运动过程中，线段BM的长度一定存在最小值，请你求出线段BM

的最小值是(不写解答过程，直接写出结果).

27.【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的

最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，乙4PB是点P对线段的视角.

(1)【应用】

如图②，在直角坐标系中，已知点4(2,V3),B(2,2V3),C(3,b)，则原点0对三角形4BC的

视角为;

(2)如图③)，在直角坐标系中，以原点0,半径为2回圆。1，以原点0,半径为4圆圆。2，证明:

圆。2上任意一点P对圆。1的视角是定值；

(3)【拓展应用】

很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④.现在有一条笔直的天桥，标志性

建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45。的位置拍摄.现以建筑的中心为原点建

立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为％=-5,正方形建筑的边长为4,请直接写出

直线上满足条件的位置坐标.

28.小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门(仅从射门角

度大小考虑).这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究.

Q

B

【提出问题】如图所示.球员带球沿直线BC奔向球门PQ,

探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大.

【分析问题】因为线段PQ长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角.

如图1,射线与。。相交，点M,点A,点N分别在圆外、圆上、圆内，连接

NP,NQ,AP,AQ,MP,MQ.

Cr

(1)如图1,比较ZPMQ、APAQ,ZPNQ的大小：(用连接起来).

(2)如图2,点A是射线BC上一动点(点A不与点B重合).证明：当△APQ的外接圆。。与

射线BC相切时，NP4Q最大.

(3)【延伸拓展】在(2)的条件下，如果PQ=4,PB=5,tanB=2.当乙P4Q最大时.证明：

"AQ=90°-ZS.

29.【阅读理解】：如图，在RtAABC中，a,b,c分别是41,乙B,NC的对边，NC=90。，其外接圆

半径为R.根据锐角三角函数的定义：sinA=9sinB=—,可得.。口=c=2R,BPa=

Csi、nX-sinBsinTlsinB

盍=2R(规定sin90。=1).

©

(1)【探究活动】：如图，在锐角△ABC中,a,b,c分别是乙4,ZB,NC的对边，其外接圆半径

为R，那么：--------------------盛(用＞,=或＜连接)，并说明理

由

A

■OB

(2)【初步应用工事实上，以上结论适用于任意三角形.在乙4BC中，a,b,c分别是乙4,乙B,

NC的对边.已知NB=30。，ZC=45°,b=VL求c.

(3)【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在A处用测

角仪测得地面点C处的俯角为45。，点D处的俯角为15。，B,C,D在一条直线上，且C,D两点的

距离为100m,求楼的高度.(参考数据：V3«1.7,5皿15。=与生)

□

□

□

□

30.【问题探究】

(1)如图1,在菱形ABC。中，AB=3,AFJ.BC于点F,FC=2,4尸与DB交于点N,则尸N

的长为_________

(2)如图2,点M是正方形2BCD对角线47上的动点，连接BM,4H1BM于点H,连接CH.若

力B=2,在M点从C到A的运动过程中，求的最小值;

(3)【问题解决】

如图3,某市欲规划一块形如矩形ABCD的休闲旅游观光区，其中AB=800米，BC=600米，点E、

F是观光区的两个入口(点E、F分别为AB、CD的中点)，P,Q分别在线段4E,CF上，设计者欲

从P到Q修建绿化带PQ,从B到H修建绿化带绿化带宽度忽略不计，且满足FQ=2PE,点

H在PQ上，BH1PQ.为了方便市民游览，计划从D到H修建观光通道根据设计要求，请你

帮助设计者求出观光通道DH的最小值.

答案解析部分

L【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】竽

6.【答案】c+V2b；c+在署b

7.【答案】（1）解：①ZCPD是CD的“幸运角”.

理由：・••AB是。0的直径，弦CE14B,

EF=CF,PE=PC,

.■/.CPA=Z.EPA.

■：乙DPB=Z.EPA,

:.乙DPB=/.CPA,

:.乙CPD是CD的“幸运角”.

②•••CD所对的圆心角为小

77

・・・Z,CED=~

•・•PC=PE,

ri

・・・乙CED=乙ECP=多

・♦・乙CPD=乙CED+乙ECP=n,

CD的“幸运角”的度数为n.

（2）解:连接C。，DO,如图3,

•・•。。的“幸运角''为90°,

・•・乙CPD=乙CPE=90°.

由(1)知PE=PC,

・・・MED=45°,贝Ik。。。=90°.

vAB=10,

OC=OD=5,

•••CD-J52+52=5V2-

设PE=PC=%,贝!JPD=8-%,

・,・%2+(8—%)2=50,

解得：=1,冷=7，

CE=712+l2=&或CE=”+72=7V2-

8.【答案】(1)解：如图①，连结4。并延长交。。于点P,点P为所求.

理由如下：在。0上取点P'(异于点P),连结力P'、OP'.

在△40PZ0P中，OA+OP'>APAP',

■：OP=OP',

OA+OP>AP',

即AP>AP'；

(2)m+r；m—r

(3)V73-3

9.【答案】(1)C

,/点B在射线OA上的射影值为最

.OH_1OB_1「A_CA—CRT

,,欢=W碇=2'CA-OA-OB-1,

.OH_OB

"'OB~'OC,

又：NBOH=NCOB,

.,.△BOH^ACOB,

.,.ZBHO=ZCBO=90°,

ABCXOB,

二直线BC是。O的切线;

（2）y=0<x<或y=2x_^（-1-<x<.

10.【答案】⑴解：①猜想：NB4C=*NB0C;

②证明：情况1,作直径AD,:。?！=OB,/.Zl=Z3,：.ABOD=Zl+Z3=2/1,同理NC。。=2/2,

（情况1）（情况2）（情况3）

情况2,当点O在NB/C的一边时，'：0A=OC,.\Z1=Z2,由外角可得，ZBOC=Z1+Z2,

11

：.ABOC=2Z1,Azi=^ABOC,即NB4C=/B0C.

T青况3,VOX=OB,：.^OAB=ZOB71,：.^BOD=+Z0S4=2^OAB,同理zCOD=2zZZ4C,

/.Z.BOC=乙COD-乙BOD=2^DAC-2^OAB=24BAC,J.^BAC=*BOC.

三种情况任选一种

(2)解：作直径AF,交O。于F,连接CF,

：DE为。。的切线，：.0A1DE,：.^CAE+AC=90°,

：AF为。。的直径，：.^ACF=90°,：.^AFC+AFAC^90°,

：.AAFC=ACAE,"：/_CBA=^AFC,：./.CAE=AABC

11.【答案】(1)如图1,

c

图i

•••AB1OC,即NBOC=90。，

•••LBOC=APMO=乙PNO=90°,

••・四边形PMON是矩形，

MN=OP=2,

・•.MN的长为定值，该定值为2；

(2)设四边形PMON的外接圆为。。'，连接N。'并延长,

交。。'于点Q,连接QM,如图3,

图3

则有ZQMN=90°,乙MQN=乙MPN=60°,

在Rt△QMN中，sinNMQN=辨，

MN=QN-sinAMQN,

MN=OP-sin乙MQN=2xsin60°=2x亭=后

MN是定值.

（3）由（2）得MN=OP-sin^MQN=2sin乙MQN.

当直径ZB与CD相交成90。角时，ZMQN=180。—90。=90。，MN取得最大值2.

12.【答案】（1）证明：：NA=NEFC,

乙E+Z-EFA=Z.EFA+Z-CFB,

・•・乙E=Z-CFB,

・•.△AFE^△BCF；

(2)解：•・•AB是。。的直径，

:.Z-ACB=90°,

・•・AB=y/AC2+BC2=4V2,

・・•AC=BC,

/.A=Z-B=45,

：.Z-A=Z.B=Z.CFE=45°,

由(1)可得△AFEs/XBCF,

AE_XF

'"BF='BC，

即y-4&—%

x4'

△AFE^ABCF,

1

・•・y=-4/+V2x(0<x<4V2)；

(3)解：连接DE,DF,

A

区

B/FC

图3

EFC-^AEFD关于EF对称，

Z.EDF=Z.ECF=60°,EC=ED,FC=FD,

•・•乙BDF+乙EDF=乙BDE=Z.A+乙DEA,

•・,乙EDF=ZX=60°,

・♦・Z-BDF=Z-DEA,

・•.△ADE^△BFD,

设AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b,

•・•AD：BD=1：n,

.・・DB—nx,

・•・AB=(n+l)x=AC-BC,

・•・AE=nx—a,BF=nx—b,

•・•△ADE-△BFD,

DE_EAAD

'"DF=~DB=~BF，

anx—ax

b=nx=(n+1)%-b

由前两项得，nax=b[(n+l)x-a]@，

由后两项得，[(n+1)%—a][(n+1)%—b]=nx2,

(n+l)[(n+1)%—a]—b[(n+a)—b]=nx2,

・•・(n+l)[(n+1)%—a]—nax=nx2,

由①得q=由+l)x—a=Qi+1)久=n+2,

b~~nx~nx~2n+l

CE：CF=(n+2)：(2n+1).

13.【答案】(1)解：AZBC的外接圆如下图所示，过圆心G作GH1%轴于点H,连接GB、GC,

由作图可知GN垂直平分4B,

4GN。=乙GHO=乙NOH=90°,

•••四边形GHON为矩形,

•・•点A的坐标为(0,10),点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(2,0),

OB=4,OA=10,OC=2,

VGN垂直平分4B,

11

BN=专AB=^(OA-OB)=3,

•••0N=0B+BN=7,

••・四边形GHON为矩形，

OH=GN,GH=ON=7,

在RtAGNB中，GB2=BN2+GN2,

在RtAGHC中，GC2=CH2+GH2,

,:GB=GC,

BN2+GN2=CH2+GH2,

设CH长为％,则32+(X+2)2=/+72,

解得x-9,

CH=9,

CK=2CH=18,

OK=OC+CK=20,

K(20,0),

即此圆与x轴的另一个交点的坐标为(20,0);

(2)解：点P的坐标为(2/IU,0).

14.【答案】(1)解：VZA=ZC,MB=CE,

/.△MAB^AMCE,

；.MB=ME,

VMD±BC,

；.BD=DE,

；.CE+DE=AB+BD,

/.CD=DB+BA.

(2)3

(3)2V2+2

15.【答案】(1)②④

(2)解:4ACD与ABCD是“青竹三角形"，02=驾打，理由如下:

过点C作CHXAB于点H,

乙

VZACB=90°,AC=BC,

.\ZACD+ZBCD=90°,ZA+ZB=90°,又CD=CD,

.,.△ACD与ABCD是“青竹三角形”；

VAD=a,BD=b,AB=AD+BD=a+b,

VZACB=90°,AC=BC,CH±AB,

.,.AH=BH=1AB=1(a+b)=CH,

?.DH=BD-BH=b-竽=号，

在RtACDH中，DH2+CH2=CD2,

•c=——2——；

(3)解：①连接DO并延长交圆0于点E,连接AE、CE,

内

VAABC与4ADC是“青竹三角形”，

・•・NACD+NBAC=90。，

,「DE是圆O的直径，

JNEAD=90。，

・•・ZAED+ZADE=90°,

又・・•弧AE=MAE,弧AD=MAD,

・・・NADE=NACE,NAED=NACD,

・•・NAED+NBAC=NACD+NBAC=90。，NAED+NACE=NAED+NADE=90。,

・・・NBAC=NACE,

又：弧AC=MAC,

，/AEC=NABC,

在AAEC与ACBA中,

VZAEC=ZABC,ZBAC=ZACE,AC=CA,

AAAEC^ACBA(AAS),

/.AE=BC,

在RtAEAD中，AD2+AE2=DE2=82=64,

AD2+BC2=AD2+AE2=64,

即AD2+BC2的值为64；

②连接DO并延长交圆O于点E,连接AE、CE,过点B作BFLAC于点F,

VZBAC=ZACD,

.,.AD=BC,

由①知NBAC=NACE,

ZACE=ZACD-|ZECD=45°,

.,.ZBAC=45°,

VZABC=75°,

.,.ZACB=60°,

VAABC与AADC是“青竹三角形”,

,ZCAD=90°-ZACB=30°,

•.,弧CD=MCD,

...NDEC=30。，

/.CD=|DE=4,

•.,弧AE=MAE,

...NADE=NACE=45。，

.•.△ADE是等腰直角三角形，

.".AD—-4A/2,

.,.BC=AD=4V2,

在RtABCF中，BF=BC-sin^ACB=4A/2Xsin60°=2遍，

在RtAABF中，AB=峦叱n=返=443,

T

1•△ABC与AADC的周长之差=(AB+BC+AC)-(CD+AD+AC)=AB-CD=4百—4.

16.【答案】(1)菱形、正方形；百或字

(2)解：过0点作OHLBD,连接0D,

vAP=2,PC=8,

.•.O0直径ACAP+PC10,

OA=OC=OD=5,

・・.。尸=。4一位=5—2=3,

•・•四边形ABCD是“美丽四边形”，

・•・乙OPH=60°,

在RtAOPH中，sin匕OPH==孚，

OH=*OP=零'

在Rt△ODH中，=VOD2-OH2=孚，

BD=2DH=V73;

(3)解：过点B作BM，久轴于点M,过点D作DNJ.x轴于点N,

・•・乙BMO=乙DN。=90°,

•・•四边形ABCD是“美丽四边形”,

・•・乙BOM=乙DON=60°,

・•・tanZ-DON—=V3»

即冷同

・,・直线BD解析式为y=V3x,

•・•二次函数的图象过点4(一2,0)、C(l,0),

即与丁轴交点为Z、C,

・・・用交点式设二次函数解析式为y=a(x+2)(%-1),

(y=a(x+2)(%—1)^_

,•*Iy—百汽整理得：ax2+(a—V3)x—2a=0,

・•・Xp+XD=—a『，XB•XD=-2,

・•・-沏)2=(冲+沏)2-4%5•%£)=(-号32_|_8,

1111

■:S四边形ABCD~S^ABC+S^ACD=24c.BM+AC-DN=^AC^BM+DN)=-^AC(yD-yB)=

■^-ACQ\/3XD—V3x^)=3黑(%。—%B)'

・•・(%p—xB~)=6A/3»

**•Xj)—XB—4,

・•・(-B+8=16，

解得：的=『2展,G2=Y尸,

...a的值为：一*2乃

17.【答案】(1)45

(2)解：延长P4至点E,使ZE=PC,连结BE,

・・•四边形A8CP是。。的内接四边形，

・••^BAP+Z-BCP=180°.

•・•乙BAP+4BAE=180°,

••・Z.BCP=Z-BAE.

・・・△4BC是等边三角形.

・•.BA=BC,

.-.APfiC=AFfiX(SXS),

：.PB=EB,乙PBC=^EBA,

・・・4EBA+乙ABP=4PBC+4ABP=乙ABC=60°,

PBE是等边三角形，

・•.PB=PE,

・・・PB=PE=PA+AE=PA+PC,

即PB=PA+PC；

(3)竽

18.【答案】(1)证明：：AB=AC,

：.AB=AC.

.,.ZAPB=ZABC.

VZABC=ZABP+ZCBP,ZABP=ZACP,NCBP=NPAC,

?.ZABC=ZPAC+ZPCA.

二ZAPB=ZPAC+ZPCA.

(2)解：延长BP至点D,使PD=PC,连接AD,如图，

•..点P为公的中点,

.'.PA=PC.

.,.PA=PC,ZABP=ZCBP.

・・・PA=PD.

AZD=ZPAD.

.\ZAPB=ZPAD+ZD=2ZPAD.

VAB=AC,

：.AB=AC.

AZAPB=ZABC.

ZABC=ZABP+ZCBP=2ZABP,

AZPAD=ZABP.

VZD=ZD,

AADAP^ADBA,

.PD_PA_AD

U9AD=AB=JD'

VZD=ZPAD,ZPAD=ZABP,

AZD=ZABP.

・・・AD=AB=6.

设PA=x,则PD=x,BD=5+x,

・x_6

**65+x,

X2+5X-36=0.

解得:x=4或-9(负数不合题意，舍去).

；.PA=4；

(3)解：连接OP,OC,过点C作CHLBP于点H,如图,

•.•0O的半径为5,CP=5,

.,.OP=OC=PC=5,

/.△OPC为等边三角形.

.\ZPOC=60°.

/.ZPBC=|ZPOC=30°.

在RtABCH中，

BH=BC・cos3(T=6x孚=3届

CH=1BC=3.

在RtAPCH中,

PH=V?C2-CH2=4.

PB=PH+BH=4+3后

,/四边形ABCP是圆的内接四边形，

.\ZPCE=ZBAP.

VZE=ZABP,

/.△EPC^ABPA.

.PE_PC

''BP=AP-

.,.AP«PE=PC«BP=5(4+3V3)=20+15

19.【答案】(1)tanZDCE=1

(2)解：如图中，点P即为所求，

图②

作法：取个点T,连接AT交。O于点P,点P即为所求;

证明：由作图可知，OMLAP,OM是半径，

：.PM=AM.

(3)解：如图中，点P即为所求，

图3

作法：取各店J、K,连接JK交AB于点P,点P即为所求。

20.【答案】(1)(0,-1)；3或5

(2)解：V4(0,-1),B(0,