黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学2024年高一下数学期末联考试题含解析

黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学2024年高一下数学期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，，，则（）A． B． C．-7 D．72．在中，，，是边的中点.为所在平面内一点且满足，则的值为（）A． B． C． D．3．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原中的大小是（）．A． B． C． D．4．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A． B． C． D．25．为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（）A．向右平移3个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移3个单位长度 D．向左平移个单位长度6．已知函数向左平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则的最小值为()A． B． C． D．7．已知数列共有项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，现给出下列个命题：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合中共有个元素．则其中真命题的个数是（）A． B． C． D．8．设，，，则的最小值为（）A．2 B．4 C． D．9．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B． C． D．10．在中，，，则的外接圆半径为（）A．1 B．2 C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列的前项和满足，则______．12．已知,,,是球的球面上的四点，，，两两垂直，,且三棱锥的体积为，则球的表面积为______．13．一个社会调查机构就某地居民收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内的应抽出___人.14．方程在上的解集为______．15．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．16．数列满足，，，则数列的通项公式______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：)，统计的茎叶图如图所示：（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在，的苹果中随机抽取6个，则从，的苹果中各抽取几个？（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在内的概率；（Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案.18．已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中，每一行的第一个数，，，，…构成等差数列，是的前n项和，且，（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；（2）设，对任意，求及的最大值．19．某购物中心举行抽奖活动，顾客从装有编号分别为0，1，2，3四个球的抽奖箱中，每次取出1个球，记下编号后放回，连续取两次（假设取到任何一个小球的可能性相同）.若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于4，则中二等奖；若取出的两个小球号码相加之和等于3，则中三等奖；其它情况不中奖.（Ⅰ）求顾客中三等奖的概率；（Ⅱ）求顾客未中奖的概率.20．在数列中，，，且；（1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项；21．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

把已知等式平方后可求得．【详解】∵，∴，即，，∵，∴，∴，，∴．故选C．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正切公式，解题关键是把已知等式平方，并把1用代替，以求得．2、D【解析】

根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.【详解】为中点和为等腰三角形，同理可得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.3、C【解析】

根据斜二测画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状，可得结论．【详解】如图：根据斜二测画法可得：，故原是一个等边三角形故选【点睛】本题是一道判定三角形形状的题目，主要考查了平面图形的直观图，考查了数形结合的思想4、B【解析】

根据不等式组画出可行域，数形结合解决问题.【详解】不等式组确定的可行域如下图所示：因为可化简为与直线平行，且其在轴的截距与成正比关系，故当且仅当目标函数经过和的交点时，取得最小值，将点的坐标代入目标函数可得.故选：B.【点睛】本题考查常规线性规划问题，属基础题，注意数形结合即可.5、B【解析】

先化简得，根据函数图像的变换即得解.【详解】因为，所以函数图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、A【解析】

根据函数的图象变换规律，三角函数的图象关于轴对称,即为偶函数.，求得的最小值．【详解】把函数向左平移个单位长度后.可得的图象.再根据所得图象关于轴对称,即为偶函数.所以即，当时，的值最小.所以的最小值为：故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．7、D【解析】

对任意的、，有仍是该数列的某一项，可得出是该数列中的项，由于，可得，即，以此类推即可判断出结论.【详解】对任意、，有仍是该数列的某一项，,当时，则，必有，即，而或.若，则，而、、，舍去；若，此时，，同理可得.可得数列为：、、、、.综上可得：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合，该集合中共有个元素.因此，（1）（2）（3）（4）都正确.故选：D.【点睛】本题考查有关数列命题真假的判断，涉及数列的新定义，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.8、D【解析】

利用基本不等式可得，再结合代入即可得出答案．【详解】解：∵，，，∴，∴，当且仅当即，时等号成立，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，要注意条件“一正二定三相等”，属于中档题．9、A【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.10、A【解析】

由同角三角函数关系式,先求得.再结合正弦定理即可求得的外接圆半径.【详解】中,由同角三角函数关系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圆半径为1故选:A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理求三角形外接圆半径,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、5【解析】

利用求得，进而求得的值.【详解】当时，，当时，，当时上式也满足，故的通项公式为，故.【点睛】本小题主要考查已知求，考查运算求解能力，属于基础题.12、【解析】

根据三棱锥的体积可求三棱锥的侧棱长，补体后可求三棱锥外接球的直径，从而可计算外接球的表面积．【详解】三棱锥的体积为，故，因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，又体对角线的长度为，故球的表面积为.填.【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．13、25【解析】由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人．故答案为25.14、【解析】

由求出的取值范围，由可得出的值，从而可得出方程在上的解集.【详解】，，由，得.，解得，因此，方程在上的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查正切方程的求解，解题时要求出角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】

先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．【详解】向量，，，，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，即，且，求得，且．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．16、【解析】

由题意得出，利用累加法可求出.【详解】数列满足，，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ)4个；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】

（Ⅰ）单果直径落在，，，的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在，，，的苹果中随机抽取6个，单果直径落在，，，的苹果分别抽取2个和4个；（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数，这两个苹果单果直径均在，内包含的基本事件个数，由此能求出这两个苹果单果直径均在，内的概率；（Ⅲ）分别求出按方案与方案该合作农场收益，比较大小得结论．【详解】（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在，的苹果分别为6个，12个，依题意知抽样比为，所以单果直径落在的苹果抽取个数为个，单果直径落在的苹果抽取个数为个（Ⅱ）记单果直径落在的苹果为，，记单果直径落在的苹果为，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的总数为15个.这两个苹果单果直径均落在内包含的基本事件个数为6个，所以这两个苹果单果直径均落在内的概率为.（Ⅲ）按方案：该合作农场收益为：（万元）；按方案：依题意可知合作农场的果园共有万箱，即8000箱苹果，则该合作农场收益为：元，即为31.36万元因为，所以为该合作农场推荐收益最好的方案是.【点睛】本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、(1)(2),.【解析】

（1）先求出的通项公式，再计算等比数列的公比，最后得到.（2）先计算,再利用裂项求和计算得到，设函数，通过均值不等式得到答案.【详解】（1）为等差数列，设公差为，，，，，.设从第3行起，每行的公比都是q，且，，，，，故是数阵中第10行第5个数，而.（2），.设：（当且仅当时，等号成立）时，（其他方法酌情给分）【点睛】本题考查了等差数列等比数列，裂项求和，均值不等式，综合性强，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用列举法列出所有可能,设事件为“顾客中三等奖”,的事件.由古典概型概率计算公式即可求解.（Ⅱ）先分别求得中一等奖、二等奖和三等奖的概率,根据对立事件的概率性质即可求得未中奖的概率.【详解】（Ⅰ）所有基本事件包括共16个设事件为“顾客中三等奖”,事件包含基本事件共4个,所以.（Ⅱ）由题意,中一等奖时“两个小球号码相加之和等于5”,这一事件包括基本事件共2个中二等奖时,“两个小球号码相加之和等于4”,这一事件包括基本事件共3个由（Ⅰ）可知中三等奖的概率为设事件为“顾客未中奖”则由对立事件概率的性质可得所以未中奖的概率为.【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,对立事件概率性质的应用,属于基础题.20、（1）略（2）（3）证明略【解析】本题源自等差数列通项公式的推导．（1）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（2）由（1），，……，（）．将以上各式相加，得（）．所以当时，上式对显然成立．（3）由（2），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得，．所以对任意的，是与的等差中项．21、（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解析】

试题分