高考数学一轮复习 专题3 导数及其应用 第18练 用导数研究函数的单调性练习（含解析）-人教高三全册数学试题

第18练用导数研究函数的单调性[基础保分练]1．若f(x)＝x3－ax2＋1在(1,3)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(9,2))) D．(0,3)2．设函数f(x)＝eq\f(1,3)ax3－x2(a>0)在(0,2)上不单调，则a的取值范围是()A．a>1 B．0<a<1C．0<a<eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)<a<13．(2019·长春检测)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)＋f′(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝2f(ln2)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是()A．c>b>aB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a4．(2019·厦门外国语学校月考)已知函数f(x)＝sinx－eq\f(1,3)x，x∈[0，π]，且cosx0＝eq\f(1,3)，x0∈[0，π]那么下列命题中真命题的序号是()①f(x)的最大值为f(x0)；②f(x)的最小值为f(x0)；③f(x)在[0，π]上是减函数；④f(x)在[x0，π]上是减函数．A．①③B．①④C．②③D．②④5．若0<x1<x2<1，则()A．>lnx2－lnx1 B．<lnx2－lnx1C． D．6．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是()7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，则不等式eq\f(fx,x)>0的解集为()A．{x|－2<x<0或0<x<2}B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－2<x<0或x>2}D．{x|x<－2或0<x<2}8．已知函数y＝f(x)在R上存在导函数f′(x)，∀x∈R都有f′(x)<x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围是()A．[－2,2] B．[2，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)9．定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数，已知函数f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________．10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为________．[能力提升练]1．(2018·湖南省澧县一中检测)设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，已知f′(x)<f(x)，且f′(x)＝f′(4－x)，f(4)＝0，f(2)＝1，则使得f(x)－2ex<0成立的x的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)2．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；②f(1)＝0，g(x)≠0；③当x>0时，总有f(x)·g′(x)<f′(x)·g(x)，则eq\f(fx－2,gx－2)>0的解集为()A．(1,2)∪(3，＋∞) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－3，－2)∪(－1，＋∞) D．(－1,0)∪(3，＋∞)3．定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且当x>0时，不等式f(x)>－xf′(x)恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为()A．1B．2C．3D．44．(2019·四川省眉山市仁寿第一中学调研)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx·f′(x)<－f(x)，则使得(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)5．已知y＝f(x)(x∈R)的导函数为f′(x)，若f(x)－f(－x)＝2x3，且当x≥0时f′(x)>3x2，则不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1的解集是________．6．若函数ex·f(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.答案精析基础保分练1．B2.A3.A4.B5.C6.B7．C[令g(x)＝eq\f(fx,x)，x∈R且x≠0.∵x＞0时，g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(－x)＝f(x)，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，g(x)在(－∞，0)上单调递增，∵g(2)＝eq\f(f2,2)＝0，∴0＜x＜2时，g(x)＜0，x＞2时，g(x)＞0，根据函数的奇偶性，g(－2)＝－g(2)＝0，－2＜x＜0时，g(x)＞0，x＜－2时，g(x)＜0，综上所述，不等式eq\f(fx,x)>0的解集为{x|－2<x<0或x>2}．故选C.]8．B[令g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x2，∀x∈R都有f′(x)<x，即g′(x)＝f′(x)－x<0，可得g(x)在R上是减函数，∴f(4－m)－f(m)＝g(4－m)＋eq\f(1,2)(4－m)2－g(m)－eq\f(1,2)m2＝g(4－m)－g(m)＋8－4m≥8－4m，∴g(4－m)≥g(m)，4－m≤m，解得m≥2，∴实数m的取值范围是[2，＋∞)，故选B.]9.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))10.(0，＋∞)能力提升练1．B[设F(x)＝eq\f(fx,ex)，则F′(x)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，即函数F(x)在R上单调递减，因为f′(x)＝f′(4－x)，即导函数y＝f′(x)关于直线x＝2对称，所以函数y＝f(x)是中心对称图形，且对称中心为(2,1)，由f(4)＝0，即函数y＝f(x)过点(4,0)，其关于点(2,1)的对称点(0,2)也在函数y＝f(x)上，所以有f(0)＝2，所以F(0)＝eq\f(f0,e0)＝2，而不等式f(x)－2ex<0，即eq\f(fx,ex)<2，即F(x)<F(0)，所以x>0，故使得不等式f(x)－2ex<0成立的x的取值范围是(0，＋∞)，故选B.]2．A[令h(x)＝eq\f(fx,gx)，x∈R，因为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)>0，其中x>0，所以h(x)在(0，＋∞)上是增函数，又h(－x)＝－h(x)，故h(x)在R上是奇函数，且h(1)＝h(－1)＝0，所以当x>1或－1<x<0时，h(x)＝eq\f(fx,gx)>0，因为eq\f(fx－2,gx－2)>0，所以x－2>1或－1<x－2<0，解得x>3或1<x<2，故选A.]3．C[定义在R上的奇函数f(x)满足：f(0)＝0＝f(3)＝f(－3)，且f(－x)＝－f(x)，又当x>0时，f(x)>－xf′(x)，即f(x)＋xf′(x)>0，∴[xf(x)]′>0，函数h(x)＝xf(x)在x>0时是增函数，又h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，∴h(x)＝xf(x)是偶函数．∴当x<0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)＝f(3)＝f(－3)＝0，可得函数y1＝xf(x)与y2＝－lg|x＋1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3，故选C.]4．D[根据题意，设g(x)＝lnx·f(x)(x>0)，其导数g′(x)＝(lnx)′f(x)＋lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＋lnxf′(x)，又由当x>0时，lnx·f′(x)<－eq\f(1,x)·f(x)，得g′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＋lnx·f′(x)<0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，又由g(1)＝ln1·f(1)＝0，则在区间(0,1)上，g(x)＝lnx·f(x)>g(1)＝0，又由lnx<0，得f(x)<0；在区间(1，＋∞)上，g(x)＝lnx·f(x)<g(1)＝0，又由lnx>0，得f(x)<0，则在(0,1)和(1，＋∞)上f(x)<0，当x>0时，xlnx·f′(x)<－f(x)，令x＝1得，0<－f(1)，则f(1)<0，即在(0，＋∞)上f(x)<0，又由f(x)为奇函数，则在区间(－∞，0)上，都有f(x)>0，(x2－4)f(x)>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4>0，,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4<0，,fx<0，))解得x<－2或0<x<2.则x的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)，故选D.]5.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析令F(x)＝f(x)－x3，则由f(x)－f(－x)＝2x3，可得F(－x)＝F(x)，故F(x)为偶函数，又当x≥0时，f′(x)>3x2，即F′(x)>0，所以F(x)在[0，＋∞)上为增函数．不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1化为F(x)>F(x－1)，所以有|x|>|x－1|，解得x>eq\f(1,2).6．①④解析对于①，f(x)＝2－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x为实数集上的增函数；对于②，f(x)＝3－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))x为实数集上的减函数；对于③