高考数学（文）高分计划一轮高分讲义第2章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用

2.9函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．()(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．()(3)当a>1时，不存在实数x0，使ax0<xeq\o\al(a,0)<logax0.()(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－2.9543)()A．2015年 B．2011年C．2010年 D．2008年答案B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝eq\f(2lg2,lg1.09)≈16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x答案B解析由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快．∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数，∴排除A，C，D，∴B中函数y＝eq\f(1,2)(x2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1)(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2016年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天答案eq\f(190,9)解析前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，则当x＝6时，y＝eq\f(190,9).(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________.答案③x2－8x＋17解析(ⅰ)因为f(x)＝p·qx，f(x)＝logqx＋q是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x＝－eq\f(p,2)，f(x)出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f(x)＝x2＋px＋q.(ⅱ)∵f(1)＝10，f(3)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋p＋q＝10，,9＋3p＋q＝2，))解得p＝－8，q＝17，∴f(x)＝x2－8x＋17故答案为③；x2－8x＋17.题型1二次函数及分段函数模型eq\o(\s\do1(典例))为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144，,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq\f(1,2)x2＋400x－80000＝－eq\f(1,2)(x－400)2，所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利．当x＝300时，S取得最大值－5000，当x＝200时，S取得最小值－20000，故国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为eq\f(y,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144，,\f(1,2)x＋\f(80000,x)－200，x∈[144，500].))①当x∈[120,144)时，eq\f(y,x)＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040＝eq\f(1,3)(x－120)2＋240，所以当x＝120时，eq\f(y,x)取得最小值240.②当x∈[144,500]时，eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x×\f(80000,x))－200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时，eq\f(y,x)取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解(1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6，所以总利润y＝8.25万元．②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18.令eq\r(x)＝t，t∈[0,3eq\r(2)]，则y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2).所以当t＝4时，ymax＝eq\f(17,2)＝8.5，此时x＝16,18－x＝2，所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2指数函数模型eq\o(\s\do1(典例))(2017·西安模拟)我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P的关系近似满足：y＝P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝eq\f(1,8)时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b，k的值；(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝2eq\s\up15(11－eq\f(x,2)).当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解(1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(k,8)))5－b2＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(k,8)))7－b2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝6，,b＝5.))(2)当P＝Q时，2(1－6t)(x－5)2＝2eq\s\up15(11－eq\f(x,2))，即(1－6t)(x－5)2＝11－eq\f(x,2)，化简得1－6t＝eq\f(11－\f(x,2),x－52)＝eq\f(1,2)·eq\f(22－x,x－52)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17,x－52)－\f(1,x－5))).令m＝eq\f(1,x－5)(x≥9)，所以m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).设f(m)＝17m2－m，m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，对称轴为m＝eq\f(1,34)，所以f(m)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(13,16)，所以，当m＝eq\f(1,4)，即x＝9时，1－6t取得最大值为eq\f(1,2)×eq\f(13,16)，即1－6t≤eq\f(1,2)×eq\f(13,16)，解得t≥eq\f(19,192)，即税率的最小值为eq\f(19,192).方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，log1.0121.2≈15.3)解(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x≥120，于是1.012x≥eq\f(120,100)，所以x≥log1.012eq\f(120,100)＝log1.0121.2≈15.3≈15(年)，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人．题型3对数函数模型eq\o(\s\do1(典例))某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y＝f(x)模拟此方案．(1)写出模拟函数y＝f(x)所满足的条件；(2)试分析函数模型y＝4lgx－3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解(1)由题意，y＝f(x)所满足的条件是：①f(x)在[10,1000]上为增函数，②f(x)≤9，③f(x)≤eq\f(1,5)x.(2)对于y＝4lgx－3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x≤1000时，4lg10－3≤y≤4lg1000－3，即1≤y≤9，满足条件②.证明如下：f(x)≤eq\f(1,5)x，即4lgx－3≤eq\f(1,5)x，对于x∈[10,1000]恒成立．令g(x)＝4lgx－3－eq\f(1,5)x，x∈[10,1000]，g′(x)＝eq\f(20lge－x,5x)，∵e<eq\r(10)，∴lge<lgeq\r(10)＝eq\f(1,2)，∴20lge<10，又∵x≥10，∴20lge－x<0，∴g′(x)<0对于x∈[10,1000]恒成立，∴g(x)在[10,1000]上是减函数．∴g(x)≤g(10)＝4lg10－3－eq\f(1,5)×10＝－1<0，即4lgx－3－eq\f(1,5)x≤0，即4lgx－3≤eq\f(1,5)x，对x∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得eq\f(Q,10)≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015123500020154835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升 B．8升C．10升 D．12升答案B解析因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升．故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.eq\f(p＋q,2) B．eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D．eq\r(p＋1q＋1)－1答案D解析设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x>0，因此x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．答案24解析依题意有192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝eq\f(48,eb)＝eq\f(48,192)＝eq\f(1,4)，所以e11k＝eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)(舍去)，于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小时)．4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A，该店产品A每日的销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6.(1)若产品A销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A所获得的利润；(2)试确定产品A的销售价格x的值，其使该店每日销售产品A所获得的利润最大．(保留1位小数)解(1)当x＝4时，y＝eq\f(10,2)＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A所获得的利润f(x)＝(x－2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4x－62))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，易知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，6))上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以x＝eq\f(10,3)是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝eq\f(10,3)≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02则y关于x的函数关系与下列函数最接近的(其中a，b为待定系数)是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)答案B解析由x＝0时，y＝1，排除D；由f(－1.0)≠f(1.0)，排除C；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示的是()答案A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是()A．2.4元B．3元C．2.8元D．3.2元答案B解析设每本定价x元(x≥2)，销售总收入是y元，则y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5×104－\f(x－2,0.2)×4×103))·x＝104·x(9－2x)≥9×104.∴2x2－9x＋9≤0⇒eq\f(3,2)≤x≤3.故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处答案A解析设仓库与车站距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，于是y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\f(k1,10)，,8＝10k2，))解得k1＝20，k2＝eq\f(4,5).设总费用为y，则y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8.当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，即x＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C选项，甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8L汽油，所以C错误；对于D选项，当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有eq\f(a,8)，则m的值为()A．7B．8C．9D．10答案D解析根据题意知eq\f(1,2)＝e5n，令eq\f(1,8)a＝aent，即eq\f(1,8)＝ent，因为eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元答案D解析设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x×p%，x≤280，,280×p%＋x－280×p＋2%，x>280，))依题有eq\f(280×p%＋x－280×p＋2%,x)＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故选D.8．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是()A．投资3天以内(含3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二答案D解析由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A．8B．9C．10D．11答案C解析设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<eq\f(1,1000)得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A．3000元B．3300元C．3500元D．4000元答案B解析由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)·(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)答案eq\f(1,4)a2解析令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.∴当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．12．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，若经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案16解析当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a.e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案3.75分钟解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝0.7，,16a＋4b＋c＝0.8，,25a＋5b＋c＝0.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2，))∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16)，∴当t＝eq\f(15,4)＝3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1))(2)0.6解析(1)设y＝kt，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，则1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a过点(0.1,1)，得1＝eq\b\lc\(\