江西省赣州市十八县（市）二十四校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题2

2024年赣州市十八县（市）二十四校期中联考高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册至选择性必修第二册第二章第4节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，，，则（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】根据，，由递推关系求出，进而得到.【详解】因为，，所以，，故选：C.2.给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（）A.1 B.1.1 C.0.9 D.1.15【答案】A【解析】【分析】根据回归直线必过样本中心点求解即可.【详解】因为，，所以，解得，故选：A3.已知双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为8，虚轴长为6，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及性质求解即可.【详解】依题意可得，，，所以的离心率为,故选：A.4.赣南脐橙是江西省赣州市特产，是中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三的城市.已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占比分别为，，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为，，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式即可求解【详解】设“甲果园提供赣南脐橙”为事件A，“乙果园提供赣南脐橙”为事件B，“赣南脐橙为优品”为事件C，则由题意得，，，，由全概率公式得，故选：B.5.已知随机变量的分布列为X4810P0.30.60.1则（）A.7 B.5 C.4.8 D.4.2【答案】D【解析】【分析】利用随机变量的数学期望与方差公式即可得解.【详解】因为，所以，故选：D.6.函数的图象在处的切线的斜率为（）A B. C.900 D.960【答案】D【解析】【分析】依题意，令，则，则，求出，即可得到答案.【详解】令，则，则，所以，所以图象在处的切线的斜率为960，故选：D.7.在的展开式中，形如的所有项的系数之和是（）A.256 B. C.1512 D.【答案】D【解析】【分析】由二项式定理求解即可.【详解】形如的所有项，即展开式中所有项，令，得的所有项的系数之和是，故选：D.8.已知函数满足，，则（）A.80199 B.80200C.81001 D.81201【答案】A【解析】【分析】令，变形得，得，，，，采用累加法求出.【详解】令，得，则，则，，，，将以上各式相加得，因为，所以，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，直线与曲线，，，均相交，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据导数的定义和几何意义判断即可.【详解】，，由图可知，且曲线在处比曲线更陡峭，曲线在处比曲线更陡峭，所以，所以A，B，D选项正确，C错误，故选：ABD.10.设等比数列的前项积为，下列命题为真命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】据题意及等比数列的性质即可逐项判断ABC，对于D，由等比数列性质及基本不等式可判断.【详解】对于A，易知，，，若，则，又因为，所以，所以，故A错误；对于B，若，，则，所以，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，所以，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BD11.在平面直角坐标系中，点在圆（常数）上，点在直线上.平面内一点满足（常数，常数），则（）A.当时，直线与圆相交B.当时，的最小值为C.当常数，，均已知，且为定点，为动点时，点的运动轨迹为圆D.当，与圆相离，且为定点，为动点时，无论定点在何处，总存在最小值【答案】BC【解析】【分析】对于A，求出圆心到直线的距离与半径的关系判断A；对于B，先判断圆与直线的位置关系，再利用的最小值为圆心到直线的距离减半径判断B；对于C，设，，根据，得，，代到直线方程，即可得点的运动轨迹是圆，判断C；对于D，在线段上，分与平行与不平行讨论，判断D.【详解】对于A，当时，点到直线的距离，故直线与圆相切，A错误；对于B，当时，点到直线的距离，故直线与圆相离，当三点共线且时，，B正确；对于C，由于点固定，设，，则，所以，，则，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，C正确；对于D，由题可知，，，，即，所以在线段上，当与不平行时，的最小值为0，当与平行时，的最小值不存在，但趋近于0，D错误，故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高.【答案】乙【解析】【分析】根据相关系数的定义判断即可.【详解】因为，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高，故答案为：乙.13.某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时速度为，瞬时加速度为，则______，数列的前20项和为______.【答案】①.20②.3620【解析】【分析】根据位移导数是速度求解；根据速度的导数是加速度，结合等差数列求和求解即可.【详解】因为，所以，令，则，所以，所以数列的前20项和为，故答案为：20；3620.14.提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有______种.【答案】6120【解析】【分析】根据和、和同色或者不同色分类，每一种情况中用分步乘法计数原理，最后利用分类加法计数原理得到涂色方法的数量.【详解】假定涂色顺序为若、涂相同颜色，则有种涂法；若、涂不同颜色，、涂相同颜色，则有种涂法；若、涂不同颜色，、涂不同颜色，则有种涂法；故由分类加法计数原理得不同的涂色方法共有种.故答案为：6120.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为游客的选择与所在的小组有关；去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组西小组合计（2）在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为，求及的数学期望.附：，.当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当时，有的把握判断变量A，B有关联；当时，有的把握判断变量A，B有关联；当时，有的把握判断变量A，B有关联.【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为游客的选择与所在的小组有关（2）1【解析】【分析】（1）根据题意补全列联表，代入公式，得到答案；（2）分析得到乙社区游客去青城山旅游的概率为，，根据二项分布，得到答案.【小问1详解】的列联表如下：

去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组402060西小组253560合计6555120，所以有的把握认为游客的选择与所在的小组有关.【小问2详解】在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，所以乙社区游客去青城山旅游的概率为，所以，所以，.16.已知函数在点处切线经过点.（1）求的方程.（2）证明：数列是等比数列.（3）求数列的前项和.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；（2）由（1）得，利用定义法证明数列是等比数列；（3）由（2）得，利用错位相减法求前项和.【小问1详解】，则，因为，所以的方程为，即.小问2详解】令，得，所以，所以，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.【小问3详解】由（2）知，则，则，所以，故17.如图，在直三棱柱中，，，为的中点.（1）证明：平面.（2）若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，则为的中点，连接，则，根据线面平行的判定定理证明即可.（2）建系，利用二面角的向量求法求解即可.【小问1详解】连接交于点，则为的中点，连接，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为，为的中点，所以，且，因为以为直径的球的表面积为，所以，解得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，竖直向上为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，，设平面的法向量为，则，令，得，因为，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18.在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，.（1）计算；（2）设数列满足，，求的通项公式；（3）设排列满足，，，，，证明：.【答案】（1）13（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题干对的定义，列举即可得到的值；（2）将的值代入后，由数列的递推公式的特点可以构造等差数列，进而得到数列的通项公式；（3）根据和的关系得到即，将代入，得到，放缩后裂项相消求和.【小问1详解】.【小问2详解】由（1）得，左右同时除以13得，即，所以数列是以为首项，以1位公差的等差数列，所以，所以.【小问3详解】所以，所以，即，所以，所以，即得证.19.已知抛物线的焦点到准线的距离为6.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，是上的两点，是抛物线上一动点，原点到直线PA，PB的距离均为3，求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意，焦点到准线的距离为6，则，进而得到抛物线的方程；（2）分别表示出的直线方程，利用原点到直线PA，PB的距离均为3，得到是关于的方程的两个实数根，根据韦达定理，得到