海南大学高等数学下考试题库

《高等数学》试卷1（下）

一.选择题(3分X10)

1.点峪(2,3,1)到点“2(2,7,4)的距离1MM21=().

A.3B.4C.5D.6

2.向量a=—i+2/+=27+),则有().

A..a//bB.a-LbC.(扇gD.(无?

3.函数y=)2-42-y2+_j=1的定义域是().

,G+y2-l

A.hyjl<x2+y2<2}B.{Q,y|l<x2+y2<2)}

C.{(x,y)l<x2+y2<2]D{(%,y)l<x2+y2<2}

4.两个向量g与B垂直的充要条件是().

A..a-b=0B.axb=6C.a-b=0D.a+b=0

5.函数z=/+_/一3孙的极小值是（）.

A.2B.-2C.lD.-l

Sz

6.设z=xsiny,则一(、).

D.-V2

A-TB-TCQ

001

7.若p级数收敛，则（）.

p

„=1n

A.p<1B.p<1C.p>lD.p>1

8Xn

8.塞级数的收敛域为().

〃=i几

A.[-1,1]B(-1,1)C,[-1,1)D.(-1,1]

9.基级数在收敛域内的和函数是).

1221

A.------B.-------D.-------

l-x2-xl-x2-x

10.微分方程孙'-yiny=0的通解为（）.

A.y=cexB.y=exC.y=cxexD.y=ecx

二.填空题（4分x5）

1.一平面过点A（0,0,3）且垂直于直线A5,其中点3（2,-1,1）,则此平面方程为

2.函数z=sin（盯）的全微分是.

31z

3.设Z=犬3》2_2Xy-xy+1,贝U-----=______________________________.

dxdy

4.的麦克劳林级数是.

2+x

5彳散分方程y"+4了+4y=0的通解为.

三.计算题（5分x6）

dzdz

1.设z=esinv,而〃二孙,v=x+y,求一,一.

•dxdy

a,

2.已知隐函数z=z（x,y）由方程——2F+%?一4x+22—5=0确定，求一,一

dxdy

3.计算JJsinJ/+叫2也,其中D:7r2<x2+y2<4/.

D

4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.

5.求微分方程V-3y=在乂40=0条件下的特解.

四.应用题(10分X2)

1.要用铁板做一个体积为2加3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

2..曲线y=/(x)上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点

求此曲线方程

试卷1参考答案

一.选择题CBCADACCBD

二.填空题

1.2x-y-2z+6=0.

2.cos(孙+%办).

3.6%2,_9y2-1.

n=0乙

2x

5.y=(G+C2x)e~.

三.计算题

1.-=exy[ysin(x+y)+cos(x+^)],—=e叫%sin(%+y)+cos(%+y)].

dxdy

dz2—xdz2y

2.—二,——.

dxz+1dyz+1

3.fd/f万sinp-pdp=-6TT2.

四.应用题

1.长、宽、高均为即工时，用料最省.

《高数》试卷2（下）

.选择题（3分xlO）

1.点M（4,3,1）,此（7J，2）的距离M阳21=（）.

A.V12B.V13C.V14D.415

2.设两平面方程分别为x—2y+2z+1=0和—％+y+5=0,则两平面的夹角为（）.

3.函数z=arcsinG?+>2）的定义域为（）.

A.{尤,<%2+y2<11B.{x,y,O<x2+y2<1}

C.<（x,Jo<x2+y2<^>D.<（%,yj（）<x2+y2<^>

4.点P（-到平面x+2y—2z—5=0的距离为（）.

A.3B.4C.5D.6

5.函数z=2盯一3/—2y2的极大值为

1

A.OB.lC.-1D.-

2

6.设Z=+3盯+y2,则—=（）.

6%1

A.6B.7C.8D.9

8

7.若几何级数£。厂"是收敛的，则（

«=0

A.r<lB.r>lC.|r|<lD.|r|<1

00

8晶级数+的收敛域为（）.

n=0

A.[-1,1]B.[-1,1）C.（-1,1]D.（-1,1）

9.级数五#是（）.

〃=in

A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定

10.微分方程孙'—yiny=0的通解为（）.

A.y=ecxB.y=cexC.y=exD.y=cxex

二.填空题（4分x5）

x=3+/

1.直线/过点A（2,2,-1）且与直线y=f平行，则直线/的方程为.

z=l-2t

2.函数Z=6肛的全微分为.

3.曲面z=2——4y2在点（2,1,4）处的切平面方程为.

4.」方的麦克劳林级数是.

5微分方程xdy-3ydx=0在义日=1条件下的特解为.

三.计算题（5分x6）

\.^.a=i+2j-k,b-2j+3k,求dxB.

c、几22Kdzdz

2.设z="v一〃v,而〃=xcosy#=xsiny,求一,一.

dxdy

°zdz

3.已知隐函数z=z（x,y）由/+3xyz=2确定，求丁，二.

oxoy

4.如图，求球面/+z2=4/与圆柱面/+/=2“x（。＞0）所围的几何体的体积.

5.求微分方程y"+3V+2y=0的通解.

四.应用题（10分x2）

1.试用二重积分计算由y=«,y=2«和x=4所围图形的面积.

2.如图，以初速度%将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x=x（“（提示：彳=-g.当

dx、

，=0时，有x-XQJ前=展

X

OX(f)

仆/

O

777777777

试卷2参考答案

一.选择题CBABACCDBA.

二.填空题

x—2y—2z+1

1.--------=--------=-------.

112

l.exy{ydx+xdy).

3.8x-8y-z=4.

00

4五(-1)『

n=0

3

5.y=x.

三.计算题

1.8/—3j+2k.

2.­=3x2sinjcosj(cosy-sinj),—=-2x3sinjcosjfsinj+cosy)+x3(sin3y+cos3y

dxdy

dz—yzdz—xz

3工=T==r-

oxxy+zoyxy+z

四.应用题

16

1.

T

12

2.x———gt+v^t+XQ.

《高等数学》试卷3（下）

、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1、二阶行列式2-3的值为（)

45

A、10B、20C、24D、22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k,则a与b的向量积为（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）

A、2B、3C、4D、5

77

4、函数z=xsiny在点（1,—）处的两个偏导数分别为（)

V24iV2

A、B、C、D、

222

8z

5、设x2+y2+z2=2Rx,则丁，丁分别为(

oxdy

x—Rx—Rx—Rx—R

A、2B、2C、2D、2

zzzzZzZz

6、设圆心在原点，半径为R,面密度为〃=/+>2的薄板的质量为（)(面积A=TVR2)

1

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、-R?2A

2

con

7、级数X（T）"二的收敛半径为（)

n-\〃

A、2B、C、1D、3

2

8、cosx的麦克劳林级数为（)

A、y（-i）n—B、y（-i）n—c>y（-i）n—D、y（-i）n------------

台（2〃）！J（2n）!幺（2n）!士（2〃-1）!

9、微分方程（y''）4+（y'）5+y'+2=0的阶数是（）

A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶

10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根为（）

A、-2,-1B、2,1C、-2,1D、1,-2

二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）

1、直线Li：x=y=z与直线L2：—~।」+3=z的夹角为o

2—1

直线L3：F=告=］与平面3x+2y-6z=0之间的夹角为。

2、（0.98）2。3的近似值为,sinl0°的近似值为。

3、二重积分JJd（y,D-.x2+y2<1的值为。

D

n

00_ooY

4、幕级数Z〃!x"的收敛半径为，的收敛半径为。

n=0〃=0几

5、微分方程y'=xy的一般解为,微分方程xy'+y=y2的解为»

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1、用行列式解方程组「-3x+2y-8z=17

y2x-5y+3z=3

-x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t2,z=f3在点（1,1,1）处的切线及法平面方程.

3、计算JJ孙dg其中。由直线y=l,x=2及y=%围成.

D

001

4、问级数Z（T）"sin±收敛吗？若收敛，则是条件收敛还是绝对收敛?

n-\〃

5、将函数f（x）=e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）

1、求表面积为a?而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫

做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，(已知比例系数为k)

已知t=0时，铀的含量为Mo，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空题

28

1、〃rcosr=,arcsin——2、0.96,0.17365

V1821

3、Ji4、0,+oo

-1

5、y=ce2,ex=1---

.y

三、计算题

1、1-32-8

解：△=2—53=(-3)X-53-2X23+(-8)2-5=-138

17-57-51

172-8

△x二3-53=17X-2X33+(-8)X3-5=-138

27-527

同理:

-317-8

△y=233=276△z二414

12-5

所以，方程组的解为九二生=l,y=包二—2,z='=—3

AAA

2、解：因为x=t,y=z=t'

2

所以xt=l,yt=2t,zt=3t,

所以x/t=i=l,ytIt=i-2,Zt|t=i-3

故切线方程为：—=^=—

123

法平面方程为:(x-1)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解:因为D由直线y=l,x=2,y=x围成，

所以

D：p〈yW2

Y

_yWxW2

故：jjxydcy=^[^xydx\dy=j：(2y-^-)dy=11

DY2X

4、解：这是交错级数，因为

Vn=sin-)O,所以，门+1(V〃，且limsin』=O,所以该级数为莱布尼烈级数，故收敛。

nn

口?•1位拉工e-RChlrsm%y74K知一▲发散，从而fsinL发散。

又£$111—当X趋于0时,sinx~X,所以,hm—--=1,又级数士〃5、

Zfn”f8念

n

所以，原级数条件收敛

ew=1+x+—x2+—x3H------1--x/?+

解：因为2!3!n\

X€(-00,+00)

用2x代x,得：

e级=1+(2%)+；(2%y+g(2%)3+…+,(2%)〃+•••

02r\3r\n

._乙乙&乙“

=1+2x+——xD+——x+…+——%+…

2!3!nl

XG(-00,+00)

6、解：特征方程为d+4r+4=0

所以，(r+2)2=0

-2x2x

得重根ri=r2=-2,其对应的两个线性无关解为yi=e,y2=xe_

所以，方程的一般解为y=(d+c2X)e-2x

四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x,y,z

贝U2(xy+yz+zx)=a2

构造辅助函数

F(x,y,z)=xyz+2(2xy+2yz+2zx—a2)

求其对x,y,z的偏导，并使之为0,得：

"yz+2X(y+z)=O

yxz+22(x+z)=O

<xy+2Z(x+y)=O

与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=

f~73

所以，表面积为a?而体积最大的长方体的体积为V==

36

2、解：据题意

dM”，

----=-AM

dt

其中乃0为常数

初始条件M|,=o=Mo

对于也=-式

dt

^-=-Adt

M

两端积分得InM=-At+InC

所以，A/=ce~At

又因为凹闫=〃0

所以，M0=C

At

所以，M=Moe-

由此可知，铀的衰变规律为.•铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减

《高数》试卷4(下)

—.选择题：3,xlO=3O,

1,下列平面中过点(1,1,1)的平面是.

(A)x+y+z=O(B)x+y+z=l(C)x=1(D)x=3

2.在空间直角坐标系中，方程N+y2=2表不.

(A)圆(B)圆域(C)球面(D)圆柱面

3.二元函数z=(l-x)2+(l-y)2的驻点是.

(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(1,1)

4.二重积分的积分区域。是IVN+y2V4,则。公力=.

D

(A)»(B)4"(C)3万(D)15万

5.交换积分次序后，小£7(羽丁)办=.

fy}dx

(A)My^®⑴)。甸"鱼，加

6.77阶行列式中所有元素都是1,其值是.

(A)n(B)0(C)n!(D)1

7.对于刀元线性方程组，当厂⑷=«九）=一时，它有无穷多组解，则

(A)r=n(B)r<n(C)r>n(D)无法确定

8.下列级数收敛的是.

8。ooQn8(T)〃T

(A)X(-l)"-1—7(B)(C)S(D)

n=l〃+1n=l2〃=in

9.正项级数Z斯和满足关系式〃〃<%，则.

n=ln=l

000000

(A)若Z〃“收敛，则收敛（B）若2%收敛，则Z即收敛

n=ln=ln=\n=\

cooooooo

(C)若发散，则Z%发散（D）若£斯收敛，则〃发散

n=ln=ln=lH=1

1

10.已知：—=1+X+X2+•••,则的募级数展开式为.

1-x1+X2

(A)1+X2+X4H--(B)—1+x2—d—(C)—1—x2—x4----(D)1-x2+x4---

填空题：4'x5=20'

1.数z=JN+,2_]+in(2-x2-y2)的定义域为.

2.若f（x,y）=孙，则/（-,1）=-

X

3.已知（沏,%）是/（龙,〉）的驻点,若加（沏,，为）=3,方式的,%）=12,（沏，先）=°则

当时，（的,加）一定是极小点.

4.矩阵A为三阶方阵，则行列式|3川=⑶

5.级数£““收敛的必要条件是.

n=l

三.计算题（一）：6x5=30'

1.已知：Z=Xyf求：—,—.

8xdy

2.计算二重积分044-Nd。,其中D={（x,y）|0WyKJ4-N,OVxW2}.

D

(12-3、

2T],B=012,求未知矩阵X.

3.已知：XB=A,其中幺=

0’1001,

00丫〃

4.求幕级数Z（T）〃TL的收敛区间・

n=\〃

5.求/(x)=er的麦克劳林展开式(需指出收敛区间).

四.计算题(二)：1O'X2=2(X

1.求平面X—2y+z=2和2x+y—z=4的交线的标准方程.

Ax+y+z=1

2.设方程组卜+Ay+z=l,试问：2分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解.

x+y+Az=1

参考答案

一.1.C；2.D；3.D；4.D；5.A；6.B；7.B；8.C；9.B；10.D.

22

二.1.（（X,y）11<x+y<2}2.—3.-6<a<64.275.limun=Q

Xns

四.1.解：—=yxy-1—=xyIny

dxdy

-----|-J

2.解：JJ-N而二宸xJo4入-J4-x2dy=j^（4-x2）dx=4x-—=—

n3c3

‘1-27、

3.解：B-1=01-2,AB-l=

4.解：R=l,当|x|〈1时，级数收敛，当x=l时，得火13空收敛，

〃=1〃

当x=-l时，得二=£二发散，所以收敛区间为(-1,小

n=l〃n=l"

8〃8(_\n8

5.解：.因为=f—%£(^0,+00),所以6-芯=£---Y--=V-------XnXG(^X),+00).

n=0加n=04n=0旬

jk

四.1.解：.求直线的方向向量:V=1-21=7+3]+5/求点:令2=0,得丫=0»=2,即交点为(2,0.0),所

21-1

以交线的标准方程为:.〒J屋

%1111fl121^1(\12Mp121

2.解：N=1211f1411-02-11-A0->0A-l1-A0

%Ju111J[o1-221-AJ[O0

11-2(1-2)(2+2)l-2?

(1)当2=-2时,(4)=2,(4)=3,无解;

〜，1

(2)当；-2时，r(A)=(A)=3,有唯一解:x=y=z=—

2+4

X=1—C]一(72

⑶当4=1时，44)=(4)=1,有无穷多组解：7=°1(c”2为任意常数)

z=02

《高数》试卷5（下）

一、选择题（3分/题）

1、已知a=i+j,b=-kf则axB=（）

A0Bi-JCi+JD-}+）

2、空间直角坐标系中/+y=1表示（）

A圆B圆面C圆柱面D球面

3、二元函数2=丝现在（0,0）点处的极限是（）

X

A1B0CooD不存在

交换积分次序后jdxff（x,yRy=

4、()

0

\dy^f(x,y)dxJdyff(xy)dx

ABf

0X

1

CX,y)dxD『吼f(x,y)dx

oy

0

5、二重积分的积分区域D是N+NWI,则jjdxdy=（）

D

A2B1C0D4

6、n阶行列式中所有元素都是1,其值为（）

A0B1CnDn!

、若有矩阵，，下列可运算的式子是（）

74x2B2X3,C3X3

AACBCBCABCDAB-AC

8、n元线性方程组，当==厂时有无穷多组解，则（）

Ar=nBr<nCr>nD无法确定

9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（）

A必等于零B必不等于零

C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零

0000

10、正项级数和”满足关系式*<v〃，则（）

n=ln=l

00000000

A若£%收敛，则»“收敛B若£匕,收敛，则£%收敛

n=\n=ln=ln=l

00000000

C若£乙发散，则£孙发散D若£"“收敛，则£丫〃发散

n=ln=ln=ln=l

二、填空题（4分/题）

1、空间点p（-1,2,-3）到xoy平面的距离为

2、函数/（羽丁）=/+4丁2_6%+分+2在点处取得极小值，极小值为

3、A为三阶方阵，网=3,则卜4=

Oxy

4、三阶行列式—x0z=

-y-z0

00

5、级数£u“收敛的必要条件是

n=l

三、计算题（6分/题）

1、已知二元函数z=/x,求偏导数空，匕

dxdy

2、求两平面：x—2y+z=2与2x+y—z=4交线的标准式方程。

rrX2

3、计算二重积分，其中。由直线x=2,y=x和双曲线孙=1所围成的区域。

D

223

4、求方阵A=1-10的逆矩阵。

-121

刃/r—1）,!

5、求幕级数~上的收敛半径和收敛区间。

rn

n-1,

四、应用题（10分/题）

oon—\]

1、判断级数D吃的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。

n=\〃

AJC1+x2+x3=1

是否有解，指出解的情况。

2、试根据X的取值，讨论方程组X1+AJC2+X3=1

x1+x2+AX3=1

参考答案

一'选择题（3分/题）

DCBDAACBCB

二、填空题（4分/题）

1、32、（3,-1）-113、-34、05、limu=0

n—>oon

三、计算题（6分/题）

A—"'2x—1

1、y

x-2y-0z-0

1-3

9

4

(1-4—3，

4、*=1-5-3

、-164?

5、收敛半径R=3,收敛区间为(-4,6)

四、应用题(10分/题)

1、当。<0时，发散；

0<°<1时条件收敛；

p>1时绝对收敛

2、当4/1且;IW—2时，r(N)=r(A)=3,方程组有唯一解;

当X=—2时，r(A)=3r(A)=2,方程组无解；

当4=1时，r(A)=r(A)=1<3,方程组有无穷多组解。

《高数》试卷4（下）

五.选择题：3,xlO=3O,

1.下列平面中过点(1,1,1)的平面是.

(A)x+y+z=O(B)x+y+z=l(C)x=1(D)x—3

2.在空间直角坐标系中，方程N+y2=2表示.

(A)圆(B)圆域(C)球面(D)圆柱面

3.二元函数z=(l-x)2+(l-y)2的驻点是.

(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(1,1)

4.二重积分的积分区域。是1VN+y2V4,则=.

D

(A)乃(B)4万(C)3〃(D)15万

5.交换积分次序后^dx\1f{x,y)dy=.

(A)(域JU'"(B)6M八内)公(C)J：域/(D)^dyfnf(x,y)dx

6.A阶行列式中所有元素都是1,其值是.

(A)n(B)0(On!(D)1

7.对于刀元线性方程组，当厂缶）=*九）=〃时,它有无穷多组解,则

(A)r=n(B)r<n(C)r>n(D)无法确定

8.下列级数收敛的是

8McoQn巴I

（A）X（T）〃三（B）Z-(O(D)Z了

n-1〃十,n=l乙n=l〃n=lv孔

0000

9,正项级数和满足关系式Un<vn,则

n=\n=l

00000000

（A）若收敛，则工场收敛(B)若2%收敛，则收敛

n=ln=ln=ln=l

00000000

（C）若£v“发散,则发散(D)若Z"“收敛，则X%发散

n=ln=ln=ln=l

10.已知：」一=1+冗+/+…，则一二的幕级数展开式为____________.

1-x1+N

(A)1+%2+炉+...(B)-1+x2-%4+•••(C)-1-x2-x4----(D)1-x2+X4-----

六.填空题：4'x5=20'

1.数Z=jN+y2—i+ln(2-x2-y2)的定义域为

2.若于(x,y)=xy则/(—,1)=・

fx

3.已知（xo，%）是的驻点，若加（沏，%）=3,月；（沏，为）=12,四（殉,％）=。则

当时，（面,为）一定是极小点.

4.矩阵A为三阶方阵，则行列式|3A|=|A|

00

5.级数收敛的必要条件是.

n=l

七.计算题（一）：6x5=30'

1.已知：z=",求：—,—.

dxdy

2.计算二重积分JJj4-Ndcr,其中D=｛（x,y）|0<yK74-x2,0<x<2].

D

（12-3、

3.已知：XB=A,其中25=012,求未知矩阵X.

I201）

'）lo01J

8

4.求哥级数X（T）'IL的收敛区间.

n=\n

5.求/Xx）=e-x的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）.

四.计算题（二）：1O'X2=2（X

3.求平面X—2y+z=2和2x+y—z=4的交线的标准方程.

Ax+y+z=1

4.设方程组x+加+z=l,试问：4分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解.

x+y+Az=1

参考答案

一,1.C；2.D；3.D；4.D；5.A；6.B；7.B；8.C；9.B；10.D.

二.1.{(%,y)11<x2+y2<2)2.—3.-6<a<64.275.limu=Q

Xn—>oon

八.1.解：—=yxy~x—=xy\ny

dxdy

-----■--.2

2.解：JJ-Ndo=gdxJo4，」4-x?dy=,(4-N)dx=4x-—=—

D3J。3

<1-27/、

「立刀।।n。2、

3.解：B-[=01-2.

1001J'12-415)j

4.解：R=l,当|x|〈1时，级数收敛，当x=l时，得£上型」收敛,

a"

当x=-l时，得火白丝=之二1发散，所以收敛区间为(一1」.

n=lnn=ln

8丫〃00(—x\n8/_i\n

5.解：.因为e%=V——XG(TX),+00),所以e~x=V------=V------XnXG(ro,+co).

n=04n=04

jk

四.1.解：.求直线的方向向量:《=1-21=：+3]+5。求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所

21-1

x-2yz

以交线的标准方程为:.

15

’21111fl121^1(\1211p1A1、

2.解：A=1211-^1411-02-11-20f0A-l1-20

%VU111J101-221—#10

J11-A0(1-2)(2+2)l-2?

(4)当；I=—2时,r(A)=2,(用=3,无解；

(5)当Xwl,2w—2时，r(A)=(A)=3,有唯■解:犬=y=z=--—;

2+2

X=1—Cy—t?2

(6)当％=1时，(4)=(九)=1,有无穷多组解：7=°1