【浅谈数学归纳法在中学解题中的应用4300字（论文）】

浅谈数学归纳法在中学解题中的应用目录摘要 归纳在数学解题中的应用3.1数学归纳法在数列中的应用提起高中数学的重难点，数列必不可少，年年高考也是必考点，与数列相关的题目往往呈现出灵活性，技巧性强的特点。在解决数列问题时，数学归纳法的应用非常广泛，在历年的高考全国卷总都能找到关于数列证明的题目。关于数学归纳法在数列中的应用。[7]我们以2018年全国卷文科第17题为例：已知数列，求判断数列{是否为等比数列；求的通项公式。首先，对于求的值，只要将代入即可求出结果分别为第二步，判断是否为等比数列，在已经确定完首项的情况下，只要在确定的公比即可。∴是等比数列，通过等比数列的含义得出，首项为，公比为。第三步，根据数列满足条件，我们可以很容易的求出乍看之下，似乎没有什么特殊的规律，但是根据题目中给出的条件，我们不难发现数列的每一项都和该项的项数之间有一个积的关系，通过这一点，我们可以发现数列的规律就出来了，.通过观察，我们可以猜想第四步，开始用归纳法来证明上述猜想的是否正确。①当时，，命题成立②假设时成立，即.那么根据题目给出的条件可以得出，即时成立根据①②可知的通项公式为数学归纳法在求解数列的通项公式的过程中，本质上是一种推理的过程，相对于简单的找规律，只是多了一项多规律的验算过程。通过这个例子我们可以发现关键点在于发现规律，做出猜想，因此这种方法一般只适用于通项公式相对简单的题目，如果通项公式比较复杂，难以发现其规律，那么这种数学归纳法就不太适用了。3.2数学归纳法在不等式证明中的应用数学归纳法是证明不等式问题中一种重要方法。在证明不等式问题的过程中是先总结在特定情况下的规律，在运用演绎推理的思想来证明这个规律的通用性和正确性。归纳法在解决不等式问题的过程中要首先观察分析不等式两边的形式，找出和时，不等式的差异变化。[8]当我们用数学归纳法证明不等式时，我们通常会用到放缩法、比较法、传递法等多种方法。3.2.1放缩法证明不等式的应用通过放缩法来证明不等式，尤其需要注意在使用假设归纳的时候如何让不等式在原由的基础上进行缩放。常见的缩放方式是通过在不等式中添加、减少不同的项，让不等式产生变化（变大或变小）。例如在解分式类不等式时，不管是放大分子分母或缩小分子分母都能让不等式在原有的基础上产生变化。例：证明根据数学归纳法的步骤，我们首先要证明时，该不等式成立，很简单，我们直接把代入不等式就能得到结果。其次，假设不等式成立，，那么当时我们会得到如下的不等式：①观察①式，我们可以发现不等式的左边就是时的左式加了一个，所以我们可以得到又一个不等式②又因为③所以根据①②③三个式子我们能够证明原不等式成立。在上述的归纳证明过程中，我们先是运用的归纳假设，随后利用放缩法对分式的分子进行缩小，最后得出了命题成立的结论。3.2.2比较法证明不等式比较法证明不等式一般用于比值、差值比较，在中学教育阶段，比较法在证明不等式的方法中被经常使用。我们同样用例子来说明：例：证明第一步，根据归纳法的步骤，当时，，可以得出不等式成立。第二步，假设n=k，成立，当时，我们要证明成立所以时，原不等式成立，即原命题是成立的。这一题在解题的过程中就是运用了归纳法和差值比较的技巧。3.2.3传递法证明不等式传递法也被称为过渡法。是利用不等式的传递性，在不等式的两边适当地增加或减少，使不等式简单明了，抓住关键量来证明不等式成立。例：若，证明第一步，归纳法的统一步骤，当时，代入原不等式，可以发现命题成立。第二步，设成立，则，当时，原不等式成立。在本题的解题过程中，找到关键的过渡式子作为关键量。83.3数学归纳法在几何中的应用3.3.1数学归纳法在几何作图中的应用基于数学的理论基础，不管面对各种各样的几何图形，我们使用量尺圆规都可以找出图形的中心点，而数学归纳法在作图的过程中常见于画各种几何图形的重心。如有一个三角形，我们将三角形的三边的中点标记出来，连线相交于一点，既是三角形的重心。[9]再如矩形，我们将矩形的四个顶点对角相连，两条对角线相交的点既是重心。在几何题中，常常面临着多种多边形组合的复杂情况，这时使用尺子，圆规寻找重心越来越难，而通过数学归纳法证明将简单的多。[10]几何作图问题近年来都未曾出现在高考试题中，这里就不展开分析。3.3.2数学归纳法在几何论证中的应用几何论证题也是高中几何题中比较重要的一种题型，也是很多学生感觉到困难的一种题型，数学归纳法在几何论证应用主要集中在有个几何图形的情况。[11]例：在一个平面内，有条直线，互不平行，假设这些直线中随机三条不共点，请证明条直线可以将平面分割成个小区域。首先，当等于1时，表明平面中仅有一条直线，将等于带入公式得出，平面被分割成2块区域，命题成立。其次，假设平面内有条直线，平面将被分割成个区域，当等于时，平面内有条直线，互不平行，随意三条没交点，命题成立，当等于时，该直线将会被原来的条直线分割成个区域，且每个区域也将其当前的平面分割成2个，最终会增加个小区域。因此，当平面内有r+1条直线，互不平行，且随意三条无交点，条直线分割的小区域个数为：，当等于时，命题成立。[12]数学归纳法在几何中的应用不仅仅适用于平面几何，在空间几何中同样也适用，不过因为当前的高考没有把空间几何中的数学归纳法做为考点，所以这里不继续展开分析。[13]综上所述，数学归纳法在高数中已经成为解决不等式问题的重要方式，需要同学们提高重视，理解数学归纳法的原理，才能更好的去解决问题。4结束语数学归纳法是中学阶段学生拉分的方法，是我们在证明命题正确性时的重要方法之一，其核心思想是演绎推理，数学归纳法能完美的弥补不完全归纳法的不足，在高中数学解题中的数列，不等式证明，几何等方面频繁出现。[14]在中学数学题题中尽管题型千变万化，但我们只要掌握其原理，不断练习做题，就能轻松解决问题。尤其在不等式证明中应用普遍，此时我们要选对技巧方法，在放缩法、比较法、传递法中选择合适准确而又快捷的最佳方法。[15]

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