2024年新高考新结构数学模拟卷（二）（解析版）

2024年新店考新结构数学模拟卷（二）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答睡前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答地卡上，并将准考证号条彩码粘贴在答超卡上的

指定住近.

2,选择期的作答：每小赵选出答案后，用2B铅笔杷答地卡上对应忍目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答迪卡上的非答睡区域均无效。

3.非选择赵的作答：用黑也签字尼克接答在答地卡上对应的答端区域内。写在试卷

草超纸和答逝卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共s小题，每M45分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.（x-3y）展开式中第3项的系数是（）

A.90B.-90C.-270D.270

2.在等差数列｛《｝中，若4+4=10,。,=7,则公差d=

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量应不满足双方+可=2,且同=1,则向量口在向量，上的投影向量为（）

A.1B.—1C.aD.—a

4.在&4BC中，r加血血3＜厂是“&45。为钝角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

5.已知三棱锥P--45C,al5c是以.4C为斜边的直角三角形，34c为边长是2的等边三角形，目平面

4BC/平面PAC,则三棱锥P-N5c外接球的表面积为（）

16„21_21八

A.—--B.---C.--TtD.SH

332

6.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于

90%a寸,需要吸氧治疗,在环境模拟实蛉室的某段时间内，可以用指数模型：S（f）=5。腔描述血氧饱和度S©

随给氧时间”单位：时）的变化规律，其中S。为初始血氧饱和度，K为参数.已知S°=60%,给氧1小时

后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）

（精确到0.1,参考数据:ln2=0.69,ln3=L10）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

7.已知双曲线吟午=13>。4>0）的左，右焦点分别为耳氐过石的直线与双曲线C分别在第一、二象

限交于43两点，A4B区内切圆的半径为r,若|即12%/=竺。，则双曲线C的离心率为（）

3

A.-JlB.叵C.空D.昱

223

8.在锐角中，角43£所对的边分别为。立c.若2rcos5=a-c,则叫守的取值范围为（）

smB

A.（1,^3）B.（0,1）C.但应）D.（应J）

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共1S分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知二为复数，设二，三，七在复平面上对应的点分别为.4,B,C,其中。为坐标原点，则（）

A.|四=|函B.OA±OC

C.印卜|西D.OB//AC

10.如图，已知抛物线c：V=2/（p>0）的焦点为尸，抛物线C的准线与X轴交于点D,过点尸的

直线/（直线/的倾斜角为锐角）与抛物线。相交于A,5两点（.4在x轴的上方，3在x轴的下方）,

过点.4作抛物线C的准线的垂线，垂足为M,直线/与抛物线C的准线相交于点N,则（）

A.当直线/的斜率为1时，|.43|=4pB.若网=|矶则直线/的斜率为2

C.存在直线/使得&OB=90°D.若万=3而，则直线/的倾斜角为60

11.已知函数刀X)定义域为R,满足力x+2)=；/(x),当-14x<l时，与x)=k|.若函数］工/U)的图象

与函数g(x)=(；J/(_2023W2023)的图象的交点为。，兄)，(々，匕)，…(x.j“)，(其中卜］表示不超

过x的最大整数)，则()

A.g(x)是偶函数B.”=2024C.力£=0D.=2M,2-2-'°"

J«1i"!

三、填空践(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知/x)=&W的定义域为一4,集合8={x€R1<©<2},若3土月，则实数a的取值范围是.

13.如图，圆锥底面半径为,，母线24=2,点B为24的中点，一只蚂蚁从.4点出发，沿圆锥侧面绕行一

周，到达5点，其最短路线长度为,其中下坡路段长为.

14.在同一平面直角坐标系中，P,。分别是函数/lx)=Ge'-ln(G)和g(x)=@『2图象上的动点，若

对任意a>0,有|PQ|N”恒成立，则实数加的最大值为.

四'解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.已知函数/IX)=H+8SX-2,g(x)=sinx.

(1球证：当xe(0,”)，g(x)<x<1/!>)；

(2期xe(0.xc),〃x)+g(x)>ov恒成立，求实数。的取值范围.

16.某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙

两种类型无大运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内,

甲、乙两种类型无人运愉机操作成功的概率分别为:和9,假设每次操作能否成功相互独立.

42

(1通机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；

(2》臬作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：

方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型

设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；

方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次

所选择的无人运输机进行操作.

假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.

17.在图1所示的平面多边形中，四边形.打8为菱形，.45=2,N氏⑷=60ARBC与4不7。均为等边三

角形.分另U将△牛4必月3(7△耳皿月也)沿着一45,BC,CD,以翻折，使得修为修巴四点恰好重

(1肖尤=g,证明：PA.LPC,

(2错二面角CD-N的余弦值为求4的值.

18.在平面直角坐标系xQ■中，双曲线匚,营=13>03>0)的左、右焦点分别为耳得。的离心率为2,

直线/过耳与C交于MN两点，当10M=10同时，△△里区的面积为3.

(1球双曲线C的方程；

(2)已知M,N都在C的右支上，设/的斜率为洲.

①求实数加的取值范围；

②是否存在实数泄，使得NMCW为锐角？若存在，请求出力的取值范围；若不存在，请说明理由.

19.已知无穷数列{6}满足4=max{a“+)M+2}-min{a,+14+2}("=LZ3,…)，其中max{xj}表示x,y中最

大的数，min{xj，}表示x,y中最小的数.

(哨4=1,1=2时,写出&的所有可能值;

(2港数列｛6｝中的项存在最大值，证明：0为数列｛。“｝中的项；

(3港4>05=123,…)，是否存在正实数使得对任意的正整数”，都有44财？如果存在，写出一个

满足条件的如果不存在，说明理由.

2024年新店考新结构数学模拟卷（二）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答睡前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答地卡上，并将准考证号条彩码粘贴在答超卡上的

指定住近.

2,选择期的作答：每小赵选出答案后，用2B铅笔杷答地卡上对应忍目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答迪卡上的非答睡区域均无效。

3.非选择赵的作答：用黑也签字尼克接答在答地卡上对应的答端区域内。写在试卷

草超纸和答逝卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共s小题，每M45分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.（x-3y）展开式中第3项的系数是（）

A.90B.-90C.-270D.270

【答案】A

【分析】利用二项式定理求出通项公式，进而求出第3项.

【详解】（A3y）,展开式的第3项为7I=CK（-3J，）2=90XT2,故第3项系数为90,

故选：A

2.在等差数列｛%｝中，若4+q=10,q,=7,则公差d=

A.1B.2C.3D.4

t答案】B

【解析】把-a用q，d表示出来，根据题目条件列出方程组，即可求得本题答案.

【详解】在等差数列｛4｝中，因为4+4=10,4=7,所以］:二票；+'=1°，求得：二丁.

故选：B

【点睛】本题主要考查等差额列通项公式的应用，属于基础题.

3.已知向量万，g满足,曰+为=2,且同=1,则向量B在向量方上的投影向量为（）

A・1B・—1C・aD・~Q

【答案】c

——

aba

【分析】根据数量积的运算律求出鼠6,在根据向量占在向量1上的投影向量为刊”同计算可得.

【详解】因为鼻（万+可=2,且同=1,所以东+3万=2,即同2+万万=2,

所以作》=1,

——

aba一

所以向量b在向量方上的投影向量为同*同="-

故选：C

4.在&4BC中，气311小加3<广是“人曲7为钝角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

t答案】C

【分析】推出tan/anBvl的等价式子，即可判断出结论.

【详解】

tan.4tanB<1<=>1'山'n">0o.co、（.一肛>0<=>———>0OCOSHCOSBCOSC<0OAJSC为钝角

8sN8sBcosJcosBcosJcosB

三角形.

.,.在&MC中，"tan.4tan3<1”是“&45C为钝角三角形”的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

5.已知三棱锥尸-.®,315c是以AC为斜边的直角三角形，34c为边长是2的等边三角形，目平面

4BC/平面R4C,则三棱锥尸-4BC外接球的表面积为（）

A.当兀B./■兀C.三兀D.阮

332

【答案】A

【分析】由条件知，外接球的球心在过.4。的中点且垂直于平面.43C的直线上，又平面WBC/平面E4C,

所以可得等边三角形R4C的中心即为外接球的球心，求出"HC外接圆的半径即得三棱锥尸-.的外接球

的半径.

【详解】直角三角形-二C外接圆的圆心是斜边AC的中点Q,过该点作一条垂直于平面-二C的直线.

因为平面4BC/平面R4C,

所以所作直线在平面E4C内，目经过等边三角形PAC的中心,

所以等边三角形PAC的中心就是三棱锥P--的外接球的球心,

所以APNC外接圆的半径也是三棱锥尸-且5。外接球的半径.

JC2

由正弦定理知，.（及是"4C的外接圆的半径）,即立兀

sinZAPCsin—

22后

所以尺=口=丁，

2sm—”

3

于是三棱锥P--亚外接球的半径为半,

故三棱锥尸--的外接球的表面积为s=4依,=罕.

故选：A.

6.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于

90%a寸,需要吸氧治疗，在环境模拟实险室的某段时间内，可以用指数模型：s«）=s木描述血氧饱和度s（。

随给氧时间/（单位：时）的变化规律，其中S。为初始血氧饱和度，K为参数.已知£=60%,给氧1小时

后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）

（精确到0」，参考数据：ln2=0.69Jn3，L10）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

【答案】B

【分析】依据题给条件列出关于时间「的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.

t详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要公1小时，

由题意可得60e，=80,60e"=90，两边同时取自然对数并整理，

on4on3

得K=ln"=ln二=1口4-1113=2加2-1113,£r=ln_=lni=ln3-ta2,

口603602'

则t="5,则给氧时间至少还需要0.5小时

21n2-ln3N2Jx0E.69-。1*.10

故选：B

7.已知双曲线C:,Al(a>0,20)的左，右焦点分别为耳月，过耳的直线与双曲线C分别在第一、二象

限交于43两点，A4即内切圆的半径为r,若|即卜2%/=芈。，则双曲线C的离心率为()

A.HB.且C.至D.亚

“223

【答案】A

7T

【分析】由双曲线定义结合已知得|司|=M，h月|=4a，WE|=2c，4第=1,进一步由余弦定理列方程，

结合离心率公式即可求解.

【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为巳。，R,所以|〃|=|H?|.|3P|=|B0MO|=ER|,

•.•点.4在双曲线上，

二函-I典卜勿,

又•.•陶卜之，二⑷IT盟I，

♦.•网=1居R|,二闻=1然I，

•••点B在双曲线上，

二|愿H即=2%

二|即|=%,

二愿|=；|孙勿,

设内切圆圆心为/,连接里，如图所示,

"5。=圈邛'

即/死4

二A曲；为等边三角形，二|司卜也|月月|=40M月卜2C,ZF}AF2=：,

在△盟月由余弦定理得：|耳用2=|期『+|4以2―2圈设用8S"盟,

即：4r'=36〃+1&H-24r=28。)

故选：A.

【点睛】关键点点睛：关键是得到|司卜命,|司卜％,国£卜2c,4盟=g,由此即可顺利得解.

5m

8.在锐角dlBC中，角43c所对的边分别为。立c.若2rcosB=a-c,则z二.的取值范围为()

A.(1,5/3)B.(0,1)C.D.(6J5)

【答案】B

【分析】由2rcos5=a-c,根据正弦定理边化角，再消去C,可得sin(C-B)=Wn(-C),利用三角形斜C

是锐角三角形，可得3=2C,进而求出对变竿2化简，可求出结果.

1647sinB

【详解】因为2ccos8=a-c,由正弦定理可知，2sinC8s8-sinN+sinC=0,

又N+5+C=TI,所以sin.4=sin(8+C)

所以2sinC8s3-sin(B+C)+sinC=0,

所以WnC8sB-sinB8sC+sinC=0

即sin(C-8)=sin(-C),

又一15C是锐角，则及C《0,；j,

贝。-C4g0),所以C—B=—C,即5=2C,

B=2C10卷

所以叫呜，解得Ce仁高,

月二兀一(6+C)w；0,g

斫以sin(月一C)_sin(月一C)_sin(^-4C)_sin4c_2sin2Ccos2C_

sinBsin2csin2csin2csin2c

•••c若,%2c唱5,则8s2C{0,£|,则28s2Ce(0,l),

故选：B.

二、多选麴(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分)

9.已知二为复数，设二，三，七在复平面上对应的点分别为.4,B,C,其中。为坐标原点，则()

A.|。耳=网B.OA±OC

C.|JC|=|BC|D.OB//AC

【答案】AB

【分析】根据复数的几何意义、共筑复数、复数的乘法运算可以表示出A,B,C三点的坐标，通过向量

的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.

【详解】设二=。+瓦(a^R),：.A(a,b),

z^a-bi{a,beR),:.B(a,-b),

七=i(4+di)=-d+d>二C(-d0)>

O4^(a3b),0B^(a,-b)3OC^(-b,a)JC=(-b-a,a-b)^BC=(-b-a,a^b)

对于A5,:如+犷=旧+(~bf/.|aJ|=|0B|故选项A正确；

对于B>,.F(-d)+%=0,：.OA±OC,故选项B正确：

对于C,v|lc|=|5C|=/-b-af,

当加*0时，|丞而I，故选项C错误；

对于D,•.■a(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2,

标-加方-分可以为零，也可以不为零，所以而不一定平行于就，故选项D错误.

故选:AB.

10.如图，已知抛物线C:J-=2"（p>01的焦点为F,抛物线C的准线与x轴交于点D,过点尸的

直线1（直线/的倾斜角为锐角）与抛物线C相交于45两点（.4在X轴的上方，3在X轴的下方）,

过点.4作抛物线C的准线的垂线，垂足为M,直线/与抛物线。的准线相交于点N,则（）

A.当直线/的斜率为1时，|.码=4pB.若［A，尸|=|RW|,则直线，的斜率为2

C.存在直线/使得乙103=90,D.若万=3而，则直线/的倾斜角为60

【答案】AD

【分析】根据抛物线的焦点、弦的性质一一计算即可.

【详解】易知尸［令0）,可设心产中苫何>。），设月（心入）出区心），

与抛物线方程联立得“书'—2）=>lex2一①p+2p）x+字=0,

J=2"

则X+x：=父P?P,x,i,=^-,

对于A项，当直线/的斜率为1时，此时A+Z=3p,

由抛物线定义可知|步|+忸尸卜占+5+x?+5=,故A正确；

易知〜IW是直角三角形，若恒尸|=|&|,

贝U乙WW=ZFAW=乙LMF=ZE4M,

又|加卜卜必，所以△加3为等边三角形，即乙M=60,此时k=6,故B错误；

由上可知x,x,+）\y,=（k2+1卜吊-号（N+xJ+=（工+1卜与__与，"［+2）+=_（/<o,

“11iiiai

SP0A20B0,故C错误；

若"==3卜「§|=>x(=2/7-3X2,

又知x丙=孑=>*2=(,X]=深>所以乂=追「,

k一71_

则一『7一"，即直线/的倾斜角为60,故D正确.

X'~2

故选：AD

11.已知函数不町定义域为R,满足〃x+2)=；/(x),当-14x<l时，〃x)=k].若函数J=的图象

与函数g(x)=(gj/(_20234x42O23)的图象的交点为(巴，兄)，(々，匕)，…(LJ1),(其中卜]表示不超

过x的最大整数)，则()

A.g⑴是偶函数B.〃=2024C.工=0D.Xy.=220,2-2-,°"

Ml2

—

t分析】举例说明判断A;分析函数/㈤与g(x)的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算

判断BCD.

1四]1

t详解】函数g(x)=W)7(-20234x42023),显然g(T)="而g(l)=],即g(—l)*gQ),因此g(x)不是

偶函数，A错误；

函数/。)定义域为R,满足/U+2)=；/(x),当-1W时，1/U)=M，

当"x<3时，T4x-2<1,八x)=；/l>-2)=；|x-2|,

当2>14x<2上+L丘N时，-1<x-2k<l,/Ix)=l/Ix-2)=l/(x-4)=L=l/(x-2*)=l|x-2*|,

当-34x<T时，-I<x+2<1,1Ax)=2/l>+2)=2|x+2|,

当一2左一14x<-2巾+lKeN时，-14x+2t<1,fix')=2f[x+Z)=22/(x+4)=L=2'/x+2盼=2"|x+2扪，

因此当xe[2J-1,2J+Y),jeZ时，函数/(x)=1|x-2川在[2J-1,2力,JeZ上递减，

在[2j,21+l)JwZ上递增,当x=2j—L%Z时，/(x)取得最大值J,

当一l«x<l时,0<1,[=—]=0，g(x)=l,

YU-1Y4-1

当%-14x<2*+L4eN时,k<—<k+l,[__]=iig(x)=2.,

当一2左一14丫<一2巾+1需€可时，一比4三〈一出+1,［寸］=-Eg(x)=2",

因此当xe［2j-1,2j+1)JeZ时，函数g(x)=1,

在同一坐标平面内作出函数,1=八。F=g(x)的部分图象，如图，

当xw[2j-U"l)JeZ时，函数丁=/«,丁=g(x)的图象有唯一公共点eZ,

因为-20134x42013,因此4„=-1011,Ja=1012,而满足T0114JW1012的整数有2024个，即“=2024,

B正确;

x,=2J-1,/=J+1012,-1011<J<1012j€Z,

2024

所以£为=(-2013)+(-2011)+…+(—2)+(-1)+1+2+…+2011+2013=0,C正确；

J-I

^=^./=；+1012,-1011<；<1012)7€2,数列白)(-1011，410121/€2)是首项为2叫公比为■的等

比数列，

2叫1-反产］

2024

所以2>，D错误.

J-I

故选：BC

【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，确定要求值的自变量属于哪一段区间，再代入该段

的解析式求值是关键.

三、填空筮(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知/x)=、iC的定义域为.4,集合8={xeR11<ax<2},若5q4,则实数a的取值范围是.

【答案】［―L1］

【分析】先求出力力的定义域得到集合.4,再根据子集的定义即可求得a的取值范围.

【详解】x2-l>0,贝4x21或xS-l,即/={x|x*l或xW-1}.

①当。=0时，5=0,满足3勺月，符合题意；

②当a>0时，B={xeR|l<x<-},所以若3«月,

aa

1?

则有色1或（舍），解得0<aSl；

aa

③当a<0时，B={X6R|^<X<1},所以若30月,

aa

1,、2人

则有一4-1或二N1（舍"解得-lWa<0.

aa

综上所述，ae[—LU

故答案为：41』

13.如图，圆锥底面半径为:，母线R4=2,点5为E4的中点，一只蚂蚁从.4点出发，沿圆锥侧面绕行一

周，到达5点，其最短路线长度为,其中下坡路段长为.

【答案】"半

【分析】将圆锥侧面沿母线R4剪开并展开成扇形，过尸作-空的垂线，垂足为“，最短路线即为扇形中的

直线段一45,利用余弦定理求出即可；当蚂蚁从M点爬行到5点的过程中，它与点P的距离越来越大，故

£3为下坡路段，求出即可.

【详解】如图，将圆锥侧面沿母线R1剪开并展开成扇形，

易知该扇形半径为2,弧长为y,故圆心角N4PB=y,

最短路线即为扇形中的直线段AB,由余弦定理易知

AB=Qp4+PB，-2PA-PBcos乙APB二甲，

网+好百

cos/PBA=_2

-2PBBA-一〒

过P作AB的垂线，垂足为“,

当蚂蚁从工点、爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故-4M为上坡路段,

当蚂蚁从M点爬行到5点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，

14.在同一平面直角坐标系中，P,。分别是函数八x)=ore,-ln(or)和8。)=四三»图象上的动点，若

对任意。>0,有|尸。隹泄恒成立，则实数加的最大值为

【答案】乎

【分析】利用同构思想构造w(x)=e，-x,得到其单调性，得到6e,-ln(6)-xNl,再构造

八x)=x-与』，x>l,求导得到其单调性及其最小值，设设皿的)),01当3j,利用

基本不等式得到|应归芈求出答案.

t详解】axe'-ln(ar)-x=e'"lr"/'-(x+lnar),令w(x)=e'-x,xeR,

IJliJw,(x)=e'-1

当xe(0,f>)时，Mr(x)>0,w(x)=e'-x单调递增，当xe(Yo.0)时，w")<0,w(x)=e；x单调递减,

故w(x)=e；x在x=0处取得极小值，也是最小值，故w(x)2e°-0=l,

故me,-ln@c)—x=e"b"-(x+lnax)Nl,当且仅当x+lnG：=0时，等号成立,

令)(x—x—Z^T),x>l,

n,i二一21n(x—l)x2--=4+21n(A-l)

则/(x)=1_^1__=_=1___，

JTJT

^k(x')=x2--+2ln(x-1),

x-1

山、32x—2-2x2.22n

则竹=(~ip+TTT=2X+‘不+』>°在a收)上恒成立，

故g)=4口+2gf在(2)上单调递增，

又无(2)=0,故当xe(l，2)时，*(x)<0,当—(2.刊0)时,内x)>0,

故x«l,2)时,/(x)<0,J(x)单调递减，当x«2,他)时，/(x)>0,J(x)单调递增,

故〃x)=x-?qm在>2处取得极小值，也时最小值，最小值为〃2)=2,

设「(”。卅一皿曲)),。：f；山;二U,

由基本不等式得，闻m南-叫的)-怨曰,

("当2.—强…j,9,

--------------------------------=—

■2-22

当且仅当"〃=(4湛-1口(加))-^^_」，f=2,〃+ln助=0B寸，等号成立，

故1区怛呼，则/、=¥・

故答案为：芈

【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现e,与Inx,通常使用同构来进行求解，本题

◎e,-ln(©)—x变形得至此——(x+ln©),从而构造w(x)=e，-x进行求解.

四、能答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，1S题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、砌过程或演算步骤)

15.已知函数函x)=e*+8sx-2,g(x)=sinx.

(1球证：当T€(0,y),g(x)<x</x)；

(2港xe(0,xo),/(x)+g(x)>G恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)(^.2]

【分析】(1〉分别构造函数G(x)=x-g(x)=x-sinx,F(x)=f(x)-x=eA+COST-2-x,x>0,利用导数

分别求出两函数的最值，即可得证;

(2)/(x)+g(x)>G在区间(0,+叼上恒成立，即eX+cosx-2+sinx-or>0在区间(0，+叼上恒成立，构

造函数夕(x)=e'+COSX-2+sinx-6,由4分类讨论求出函数的最值即可得解.

【详解】(1)设6(乂)=*-8&)=*-5皿乂，i>0

则G，(X)=1-8SX20,所以G(x)在区间(0,+叼上单调递增，

所以G(x)>G(0)=0,即g(x)<x,

F(x)==e*+COSA-2-x,x>0,

则尸(x)=e*-sinx-l,

由x>0时，g(x)<x,即一sinx>-x,

所以f*(x)=e'-sinx-1>e'-x-1,

设力(x)=e'-x-l,则攸x)=e'-l,

当x>0时，力'(x)>0,所以函数力(x)在区间(0,+与上单调递增，

故在区间。+叼上，力(、)>力(0)=0,即在区间(。,+8)上，e，>x+l,

所以尸(x)>e'-x-l>0,

所以尸(x)在区间(。,+8)上单调递熠，

所以尸(X)>尸(0)=0,即尸(x)>x,

所以g(x)<x</lx)得证.

(2)由/(x)+g(x)>6在区间(0,+3)上恒成立，

即e*+cosx-2+sinx-ar>0在区间(0,+叼上恒成立，

设夕(x)=e，+cosx-2+£nx-6,则。(X)>O在区间(0,+8)上恒成立，

而/'(11)=e'-sinx+cosx-^7f

令加(X)=/(》)>贝)=eK-cosx-sinx)

由(1)知：在区间(0,+8)上,e1>x+l>sinx+cosx?

即M(x)=e*-cosx-sinx>0,所以在区间。+8)上函数/(x)单调递增,

①当a«2时,夕'(0)=2-aNO,

故在区间。+8)上函数(x)>0,所以函数3(x)在区间(0,+叼上单调递熠，

又。(0)=0,故p(x)>0,即函数〃x)+g(x)>m在区间(0,+8)上恒成立；

②当a>2时，*0)=2-「，

0'[ln(a+2)]=a+2-sin[ln(a+2)]+cos[ln(a+2)]-a

=2->/2an,[ln(a+2)]-：[>0,

故在区间(0,皿。+2))上函数《'(x)存在零点％,即%％)=0,

又在区间(。，+8)上函数)单调递增，

故在区间(0%)上函数d(x)W'(%)=0,

所以在区间(0，x°)上函数0(X)单调递减，

由刎0)=0,所以在区间(。抵)上，(》)<仪0)=0,与题设矛盾.

综上，a的取值范围为(9,2].

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

(1)通常要构造罚函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点、的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放

缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

16.某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业该公司生产的甲、乙

两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内,

甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为;和寺，假设每次操作能否成功相互独立.

(1通机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无大运输机操作成功的概率；

(2月集作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：

方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型

设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；

方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次

所选择的无人运输机进行操作.

假定方案选择及操作不相互影响，试比校这两种方案的操作成功的次数的期望值.

【答案】(1)|

(2)方案一大于方案二

【分析】3)利用条件概率公式，即可求解;

(2)苜先确定两种方案成功次数丫厂的取值，根据独立事件概率公式求概率，再比较其数学期望.

【详解】(1)用事件4表示选择甲种无人运输机，用事件4表示选择乙种无人运输机,

用事件B表示“选中的无人运输机操作成功”

则P(B)=P(4)P(3|4)+P(a)P(8|4),

13115

—x—H--X—

24228

(2)设方案一和方案二操作成功的次数分别为Y,则X,y的所有可能取值均为o,b2,

1/Ji311

方案一：p(x=0)=；中号“-扑一「脑中一彳「T

P(X=l)f3113。3口15

4J224[432422I32"

lx2x311113

P(X=2)=―-»■—X—X—=——

24422232

所以E(X)=0XL+1XD+2X!2=4

'8323232

方案二:

叩=。)=会一汛13卜白卜一扑(W，

4；

P(K=l)=lxC：x[l_yx1+lxCix(l-l)xl=Z

PIF=2)=1X2X2+1X1X113

■24422232

所以E(门=0X2_+1X_1+2XU=]

'73216324

所以E(X)>E(K),即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值.

17.在图1所示的平面多边形中，四边形-血工》为菱形，月3=2,/蜃0=60公月3(7与4不7。均为等边三

角形.分别将△耳3439々皿巴加沿着一"，BC,CD,以翻折，使得为P»P、,月四点恰好重

合于点尸，得到四棱锥P-ABCD两=APA（0<2<1）.

（2港二面角CD的余弦值为求工的值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

【分析】（D当力=；时,可得时为PA的中点,然后利用线面垂直证明PA，平面BDM,从而证明PA,

又由MNHPC,从而可求证PA±PC

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面MCD和平面的法向量，然后由二面角M-8-.4的余弦值

为日,从而可求解，

【详解】（1）证明：因为所以“为R4的中点.

由题可知，,铝=AD=PB=PD,所以PA15A£PA1DM.

又BMcDM=M,BM,DMu平面BDM,所以PA_L平面BDM.

取mfUC=N,如图，则MV〃PC.由R4_L平面SDAf,可得R1LIW,则R4_LPC.

（2）连接KC,易证得BD工平面24C,过点尸作POSNC,垂足为O,则R?1平面X58.

以。为坐标原点，。4。尸所在直线分别为x轴、二轴，建立如上图所示的空间直角坐标系.

由.48=2,得CP=2,NC=2/,JP=2点,

从而如=孚8考,则P（0,0,竽1空愕,刀住1.0）斗竽,0,0）,

贝U前=2①=（竽40,—竽2），

布=而一加停一竽九L¥"¥],CD=（AlO）.

设平面am的一个法向量为m=（x,儿二）,

由图可知，平面-48的一个法向量为力=（0。1）,

因为二面角M-CD-A的余弦值为寺,

及+2。

河词22-2/1

所以Icos阿叶丽=卜（工学「亍,解得人“

故2的值为:

18.在平面直角坐标系中，双曲线呼干=13>。@>0）的左、右焦点分别为用月,。的离心率为2,

直线/过理与C交于MN两点，当10M=|。用时，△MFE的面积为3.

（1球双曲线C的方程；

（2）已知A£N都在C的右支上，设/的斜率为w.

①求实数洲的取值范围；

②是否存在实数加，使得NAQN为锐角？若存在，请求出“，的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）r-^=l

（2）0Me（TO,M卜（亚y）②不存在，理由见解析

【分析】(D由已知条件可得〃^g=90°,然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及军工的面积可求

出加，再由离心率可求出标，从而可求得双曲线的方程，

(2)①设直线j，=0,代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数加的

取值范围；②假设存在实数刑，使乙为锐角，则南.而>0,所以占与+乂”>0,再结合前面的式

子化简计算即可得结论.

【详解】(1)因为|。河|=10耳1=1°甩I，所以。,此=90°.

则户里「+|」此『=(2r)W孙|-|A里『+2|」\闾1此|=4"+2p闽J此卜正，所以|町|小组|=力2,

△」班月的面积S=g|MF;||A组|=6=3.

又C的离心率为£=^^=2,所以"=L

所以双曲线C的方程为犬-9=1.

(2)①根据题意月(2,0),则直线八冽(x-2)—j=0,

-1

由至一，得(3-冽］X+4而4-4苏-3=0,

y=7WX-2