湘豫联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题(含答案)

湘豫名校联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题

注意事项：

1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试

卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的

信息,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.作答选择题时,选出每小题答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时淅答案写在答题卡上对应的答题区域

内。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.

1.若集合A={xeR|x<2],B=，则限

A.(1,2)B.(2,3)C.(l,2]D,[2,3)

2.已知复数Z满足2i+1='，复数Z的共轨复数为Z，则Z在复平面内对应的点位于

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量a=(1,-2),b=(无,—1),c=(-4,尤),若2a+4a—c反向共线,则实数x的值为

A.-7B.3C.3或-7D.-3或7

4.已知正实数x,y满足工+工=1,则4xy-3x的最小值为

xy

A.8B.9C.10D.11

5.己知等比数列｛4｝的公比与等差数列也｝的公差均为2,且为=4+2=2，设数列｛%｝满足

6N*,则数列年｝的前20项的和为

也，〃为偶数，n1'

598-221598+221602+220602+221

A.-----------B.------------C.------------D.------------

3333

6.党的二十大报告提出:“深化全民阅读活动.”今天，我们思索读书的意义、发掘知识的价值、强调阅读的作用，

正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场

馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理.现有A,民C,Q,E共5名志愿者，每名志愿者均参与本次

志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则A,8两名志愿者不在同

一个场馆的概率为

125

A.-B-

236

1

7.已知函数/(x)=2sin(ox+e)+1oeN*,—乃<夕<—事的图象过原点，且关于点葛,11对称,若函数

7T

/(X)在0,—上单调，则/■(%)图象的相邻两条对称轴之间的距离为

18_

57r27rTCTC

A.—B.--C.—D.—

6336

8.已知角a为锐角，则——g—十—\---tan。的最小值为

2sinacosa

A.2B”一班C.1A@

333

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中，正确的是

A.设有一个经验回归方程为g=l-2x,变量x增加1个单位时,9平均增加2个单位

B.已知随机变量J~N(0,〃)，若尸©>2)=0.2，则P(—2皴听2)=0.6

C.两组样本数据为,Z,/,%和%,%，%，%的方差分别为若已知%+X=10且玉<%(，=1,2,3,4),则

S；=S；

D.已知一系列样本点(玉,%)。=1,2,3,•)的经验回归方程为y=3X+4,若样本点(口,3)与(2,〃)的残差相等,

则3m+n=10

10.已知函数/(x)=Asin(0x+°)[A>0,»>0,|^|<|1的部分图像如图所示、则下列结论正确的是

A./(x)在[0,划上有两个极值点=l

C.函数y=的图象关于y轴对称D.若I"%)—=4,则|玉—目的最小值为万

2

r2v23

n.已知双曲线c：下-==1(。>o/>o)上一点A到其两条渐近线的距离之积为一,则下列结论正确的是

/b12

112,0272H112^/3

A.—-H————B.ab,,3C.a+Z?..6D.—l,,---

a2b23ab3

12.如图1,在直角梯形ABCD中,AB//CD,AB±AD,AB=36,CD=4瓜AD=3，点E,F分别为边AB,CD

上的点，且EFHAD,AE=26.将四边形AEFD沿EF折起，如图2,使得平面AEFD±平面EBCF点M是四

边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正

确的是

B.点〃的轨迹长度为一

3

C.点M到平面EBCF的最大距离为G

D.当点M到平面EBCF的距离最大时，三棱锥M-3c犷外接球的表面积为28"

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.在(2x+l)5(y-1)3的展开式中,x3y2的系数为.

14.已知圆C:/+(y—=4,点P(2,4)，若直线/:无+(m+1)y-7加一1=0与圆C相交于两点，且

NAPB=90°,则实数旭的值为.

15.已知曲线y=e，-1与曲线y=/(%)关于直线x-y=0对称,则与两曲线均相切的直线的方程为

16.已知直线4%-4y+3=0与抛物线G：炉=V交于人乃两点，且点A位于第二象限，抛物线上有一动点P位

于曲线之间(不含端点)，以线段A3为直径的圆与直线4尸交于异于点A的另一点。，则|AP|・|。。|的取

值范围是.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

17.（本小题满分10分）

在,ABC中，角A,8,C的对边分别为a,4c,且cos28+cos2cl=2cos2A-2sinBsinC.

⑴求角A;

⑵若ABAC的平分线交BC于点=3,c=4,求AD的长.

18.（本小题满分12分）

已知数列｛4｝,若％=l,a“+i-2。“=1.

⑴求证:数列｛4+1｝是等比数列；

⑵若数列\-^―\的前n项和为S"，不等式logfl（l-a）>Sn对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围.

19.（本小题满分12分）

象棋是中国棋文化之一，也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，雅俗共赏。某地举办象棋比赛，规定:每一局比

赛中胜方得1分,负方得0分，没有平局.

3?

（1）若甲、乙两名选手进行象棋比赛冠亚军的激烈角逐，每局比赛甲获胜的概率是g,乙获胜的概率是二，先得3

分者夺冠，比赛结束.

⑴求比赛结束时，恰好进行了3局的概率；

（ii）若前两局甲、乙各胜一局，记X表示到比赛结束还需要进行的局数，求X的分布列及数学期望；

（2）统计发现，本赛季参赛选手总得分Y近似地服从正态分布N（12.16,9）.若〃-向!〃+2b，则参赛选手可

获得“参赛纪念证书”;若F>〃+2b,则参赛选手可获得“优秀参赛选手证书”.若共有200名选手参加本次比赛,

试估计获得“参赛纪念证书”的选手人数.（结果保留整数）

附:若X~N（〃,41则

尸（〃一向归〃+b）a0.6827,尸（〃一2向归〃+2。）仪0.9545,P（〃一3向w〃+3b）Q0.9973.

20.（本小题满分12分）

如图，在几何体用。］2-A5CD中，平面耳G2//平面ABCD,四边形ABCD为正方形,四边形BBQQ为平行

四边形，四边形DQCG为菱形，。C=2,AG=2后,卬。。=120°,£为棱£2的中点，点尸在棱CC;

上,AE//平面BDF.

4

⑴证明DE_L平面ABC。；

⑵求平面ABiD与平面尸夹角的余弦值.

21、（本小题满分12分）

在椭圆（双曲线）中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等

于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆

22

E：予+/=1（。〉6〉0）的蒙日圆的面积为13万，该椭圆的上顶点和下顶点分别为％鸟,且山闫=2,设过点

的直线4与椭圆E交于A,B两点（不与鼻£两点重合）且直线/2：x+2y—6=0.

（2）证明：”1,8尸2的交点P在直线y=2上；

（2）求直线4耳3咛,“围成的三角形面积的最小值.

22.（本小题满分12分）

已知0<a<>1,不等式In+”—1）..a*+V—2恒成立.

⑴求相+bx的值机;

⑵若方程优+N=机有且仅有一个实数解，求ab的值.

湘豫名校联考

2024年2月高三第一次模拟考试

数学参考答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

题号123456789101112

答案DCABBDDABCACACDBCD

1.D【命题意图】本题考查集合的交集和补集的运算，考查数学运算的核心素养.

【解析】由题意可得\A=[2,+s）,因为B==>=(-W,3)，所以&A)c3=[2,3).故选D.

V3-X,

2.C【命题意图】本题考查复数的运算、共物复数的定义以及复数的几何意义,考查数学运算的核心素养.

5

_3_1.

[。,O111Q

【解析】因为zi+1=——，所以zi=---------------1=一士——i,所以Z=55=——+±i所以

2+i(2+i)(2-i)55i55

13(131

无=——、i,所以乞在复平面内对应的点的坐标为-〒卜位于第三象限.故选C.

55I55j

3.A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算以及反向共线满足的条件，考查数学运算的核心素养.

【解析】因为“=(1,一2),万=(苍—1),。=(-4,无),所以2。+)=(2+羽—5),。—。=(5,—2—无).因为

2a+4a—c共线，所以(2+x)x(—2-x)—(―5)x5=0,解得x=3或x=—7.又2。+瓦a—c反向共线，代入

验证可知x=3时为同向,舍去.x=—7满足条件.所以x=—7.故选A.

4.B【命题意图】本题考查利用基本不等式求最值，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】由x>0,y>0,且,+工=1,可得5y=x+y.所以4xy-3x=4x+4y—3龙=尤+4y.又因为

xy

11।4V4V3

x+4y=(x+4y)-+-=5+”+x)..9,当且仅当」=x土，即x=3,y=二时取等号，所以4xy-3x..9.

vxyJxyxy2

故选B.

5.B【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的求和,考查数学运算的核心素养.

an,n为奇数,2",〃为奇数,

【解析】因为q=4+2=2,所以仇=0.根据题意,%=<〃eN*,所以

b”,九为偶数2附-2,九为偶数

1021

TC—3-5工一口—”工2x(l-4)10x(1+19)598+2

，20=<2+2+2++2)+2(1+3+5+，+19)=-----一---+2x---------------=------------.故选B.

6.D【命题意图】本题考查排列组合的基本运算以及古典概型的概率,考查学生数学抽象、数学运算、数学建模

的核心素养.

【解析】5名志愿者分配到4个场馆，共有C；A：种不同的方法,A,B两名志愿者在同一个场馆共有A：种不同的

AQ

方法，所以A,B两名志愿者不在同一个场馆的概率为P=1-—七=—.故选D.

C阳10

7.D【命题意图】本题主要考查三角函数单调性、周期性和对称性的综合,考查数学运算的核心素养.

TT57rTC

【解析】因为/(O)=2sin0+l=O,所以0二2左万一一或0二2左"——,keZ又一兀<中<——，所以

662

展-系,所以/(x)=2sin"1)+1.因为于(x)的图象关于点口/对称，所以

近①一些=kyi,keZ,所以①=为七+6,左eZ.因为xe57r7135兀

0,---,G〉0，所以CDX------G

3665

6

「1\710)5717L

又函数/(x)在0,1上单调，所以《花―1"—5'解得0<。,,6.因为oeN*,所以当左=0时，。=6.

18八

力>0,

T127r

因为/(%)图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期,所以一=—x』=之.故选D.

2266

8.A【命题意图】本题考查利用三角函数公式进行计算,利用导数求最值等基本知识，考查数学抽象、数学运算、

逻辑推理的核心素养.

【解析】

11/.22\(111321

------1-------------taniz=Isina+cosa)-------1--------tanor=—+tan-a---------tana.

2sinacos'a、7^2sinacos-aJ22tana

3ii3

令方=tano,因为a为锐角，所以/>0.令/⑺=^+/+三7T，则/⑺=2f—1—产/“⑺=2+]>0.所

以f'(t)在f>0时是单调递增函数.又/⑴=0,所以当fe(0,1)时，/⑺<0,/⑺单调递减;当te(1,+s)

时,/'⑺〉0,/(0单调递增，所以/Q).J⑴=2.所以当f>0时,了⑺的最小值为2.故选A.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.BC【命题意图】本题考查概率统计的基本知识，考查数学运算、数学建模、逻辑推理、数据分析的核心素养.

【解析】若有一个经验回归方程£=1-2x,随着x的增大,y会减小,A错误;曲线关于x=0对称，因为

PC>2)=0.2，所以尸C<-2)=0.2，所以P(—2鼓听2)=1—尸(。>2)—P©<-2)=0.6,B正确;因为

1、41.414141/44、

x’+x=io,亍=12毛，5所以无+y玉=1°，所以

4i=i4i=i4i=i4i=143』i=1y

2-2222

(X[-%)■+(x2-%)+(x3-%)+(x4-%)_xf-2xtx+%+%2-2X2X+%++x1~2x4x+%_

4―4-

x；+云+4+门-(2七+2々+2玉+2%户+于2=x；+x；+后+x：_2元2+-2=x；+x；+4+x：__2

4'A―4x%―4x，

同理可

2222

律,2+£+¥+£2_(10-xJ+(io-^)+(io-%3)+(io-%4)2_

付.s2-----------------y-------------------------------------------uu-xj-

400-20您+々+/+%)+小后+后+".(10_君2=100.20*-100+20x-J

44

7

+石+石+毛_元2,故s2=52c正确;经验回归方程为y=3x+a，且样本点（加,3）与（2,〃）的残差相等，则

3-(3m+2)=〃一(6+方)=+"=9,D错误.故选BC.

10.AC【命题意图】本题根据正弦型函数的性质、图象的变换性质，结合已知图象逐一判断即可,考查三角函数

的基本运算以及其图象的应用，考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养.

【解析】由题图知,A=2,—T=——一一=——，所以周期丁=犯。=*=2.所以/（无）在[0,万]上有两个

412I3J47i

极值点,A正确.又/[q||=2sin12xK+°]=2,所以=+夕=2左乃+三,左eZ,所以夕=2Qr—gKeZ.

因为|0|<?所以令％=0,即°=—（所以/（x）=2si《2x—q].所以

/=2sin12x事—鼻]=6,B错误.因为函数的周期为万，将y=〃x）图象上的所有点沿x

轴向右平移专个单位长度后得到y=/（x-总=2sin（2x-1=-2cos2x的图象，为偶函数，所以函数

y=/x-。的图象关于y轴对称,C正确.若（七）—"％）|=4,则上—尤21的最小值为|，D错误.故选

AC.

11.ACD【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质和基本不等式，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

Y23丫2b

【解析】双曲线C:=-4=1的渐近线方程为y=±—%.设点A（x,y）到两条渐近线的距离分别为4，4，则

aba

22

利用点到直线的距离公式可得“•因为—―yy—1，所以

«2+Z?2ab

,冏a~b~3"z112日斗1122

(6x)2-(ay)2=q2,2，所以4d2=宠//逅=5，所以正确;因为靛+7=耳…茄,

32+沁1x|...2+2.

所以ab..3,B错误;因为a2+b2=(a2+b2x—=x-=6,

2a1b2)2

2

111222224,,112出

当且仅当a=〃时等号成立,C正确;因为14一+—=一，c所r以一+7,,

ab7+5+万］333ab3

当且仅当a=b时等号成立,D正确.故选ACD.

12.BCD【命题意图】本题主要考查空间中线面位置关系，考查直观想象、数学运算的核心素养.

8

【解析】如图，连接CE,EM.因为平面AEFZ5_L平面E8CE平面AEFDc平面EBCF=EF,AEu平面AEFD,

又人石，石歹,所以平面EBCF.所以CE为CA在平面EBCF内的射影.易得/BCF为等边三角形，显然CE

不垂直于8R所以AC不可能垂直于BF,A错误.易知8石D,所以BE，平面AEFD,所以ZBME为直线

MB与平面AEFD所成的角.同理NCW为直线MC与平面AEFD所成的角.所以=NCW,所以

BECF

tanNBME=tanNCMF,所以——=——.因为CF=23E,所以引W=2EM.在平面AEFD内，以E为坐标

EMFM

原点，以Eb为x轴正方向,EA为y轴正方向建立平面直角坐标系，则F(3,0)，设M(x,y),则有

7(x-3)2+r=2旧+y2，化简得(X+1)2+/=4,即点M在平面AEFD内的轨迹方程为

(x+1)2+V=4((阖kl,y>0)，所以点M在平面AEm内的轨迹为以(-1,0)为圆心,2为半径的圆.易得点

77JT27r

M在四边形内的轨迹为该圆的一段弧，弧所对的圆心角为一,所以弧长为一x2=——,B正确.要使三棱

333

锥M-BCF的体积最大,只要点M的纵坐标的绝对值最大即可.令x=0,则y=土石，又〉°，所以

M(0,73)，此时M到平面EBCF的最大距离为百,C正确.三棱锥M-3CF外接球的球心在过，BCF的外接

圆圆心且垂直于平面BCF的直线上.在三棱锥M-BCF中，设点Q为等边外接圆的圆心，设三棱锥

M-BCF外接球的球心为。，半径为H,设。，则有7?2=«2+4=(A/3-a)2+7，解得a=J3,所以

R2=7,所以三棱锥加―3"外接球的表面积S=4〃R2=28%.D正确.故选BCD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.-240【命题意图】本题主要考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.

【解析1由题意，得x3/的系数为C123-C'(-l)=-240.

14.1【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.

【解析】由题意，易得圆C的圆心为C(0,4)，半径为2,点尸(2,4)在圆C上.因为NAP8=90°,所以K4LPB.所

以线段为圆C的一条不过点P的直径.直线/:无+(m+l)y-7匹—1=0与圆C相交于A,B两点，圆心

C(0,4)在直线I上，所以4(m+1)=7m+1,解得m=1.检验知m=1符合题意.

9

15.x-y=0【命题意图】本题主要考查两函数图象的公切线问题，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

【解析】设曲线y=f(x)上任一点的坐标为(x,y),则该点关于直线无一y=0的对称点为(y,x),满足

y=e*-1,则x=e'-1,化简可得y=ln(x+l).设曲线y=e*—1上的切点为(王3为—1),曲线y=ln(x+l)

上的切点为(孙山(％+1))，又3=e*T的导函数为y'=e*,_y=ln(x+l)的导函数为y=」一,则

X+1

J1

e1=_________

＜々+1'，两式整理得玉=一(X2+1)皿范+1)，所以(%+1)一⑶叫=(%+l)T，

X1A1

e(x2-x1)=In(%+l)-(e-1)

解得％2=o,所以/=0•所以曲线y=e*-1与曲线y=W+1)的公切线的公切点为(0,0)，则切线的斜率为

1,故与两曲线均相切的直线的方程为x-y=0.

(八27

【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及最值问题,考查数学运算的核心素养.

16.I0,—16

'---[_1

f4x-4y+3=0,X=-2，%=万，

【解析】由题意，联立方程4，解得〈，/或〈:又点A位于第二象限，所以

=y,19

，噌，□设尸(见，%)，则—；＜X。＜；•设直线AP的斜率为k，则

121

%—I%°-71

k=——*=——*=x0--.所以直线AP的斜率k的取值范围是.因为以AB为直径的圆与直线AP

Xo+]2

交于异于点4的另一点0,所以皿,园.当人。时，直线转为y],直线时为x=]此时所

以|AP|=1,||=1,所以AP•P。=1.当左00时，所以直线BQ的斜率为―工.易得直线AP的方程为

k

71,1八

kx-yH—kH——0,

119324

kx-y+5左+1=0,直线BQ的方程为x+外一z左一5=0,联立＜;；解得点。的横坐标

x+ky--k--=Q,

—左2+4左+3

XQ—.因为

2俨+1)

10

IAP\=&+公卜。+g[=H(k+1),1PQ1=A/TTF&-X。)=，所以

\AP\-\PQ\=_(k-1)(左+1)3.令于(k)=_(k-1)(左+1)3，则f'(k)=-(4k-2)(4+,所以当一1〈左<；且

上力0时,/'(X)〉0；当g〈左<1时,/'(X)<0,所以f(k)在区间(-1,0)^0,上单调递增,在区间,，11上

127(Tl~

单调递减,因此当上二一时,IAP|•|PQ|取得最大值—，且/(Q〉0,所以|AP|•|PQ七0,二.

216116

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【命题意图】本题考查正、余弦定理,二倍角公式等，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】(1)因为cos23+cos2C=2—2sin2A—2sin3sinC,

所以1—Zsi/B+l—2sin2c=2—Zsii？A—2sin3sinC,

即sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC...............................................2分

由正弦定理得。2=//+(?一加,又由余弦定理/=〃+o2—2ACOSA,可得COSA=J........4分

2

7T

因为Ae(0,»),所以A=1.........................................................5分

(2)在5c中,由等面积法得SABC^SABD+SACD,

11A1A

即一ACA8sinA=—ABADsin—+—ACADsin—,

22222

BP—x3x4x=—x4xADx—+—x3xADx—.....................................8分

222222

所以=.........................................................................10分

7

18.【命题意图】本题考查等比数列的通项和数列的求和，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】⑴因为a.=2an+1,所以a.+1=2an+1+1=2(a„+1)......................2分

又因为4+1=2,所以｛%+1｝是首项为2,公比为2的等比数列...............................4分

(2)由(1)易知%+1=2X2'T=2",勺=2"—1,.....................................5分

所以__________________________

一”「(2”一川2川一1厂2”一12^-1

11

_n°k//i

所以s”二胃(》—1"+—)==I

.................................................9分

欲使不等式logfl(l-a)>Sn对任意正整数n恒成立，只要logfl(1-t/)..110分

由题意可得a>0,。#1且1—。>0,解得0<a<l.只需1—4,a,解得。…g.

综上所述，实数a的取值范围是12分

19.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

2分

9723s7

所以比赛结束时恰好进行了3局的概率为P=P{+P2=——+—=—=—3分

1212512512525

(ii)X的可能取值为2,34分

6分

所以X的分布列如下:

X23

P1312

2525

-V、c13c1262

故£(X)=2x-----i-3x——=——............................8分

252525

⑵因为比赛成绩y近似地服从正态分布N(〃,O2)

所以比赛选手可获得“参赛纪念证书”的概率:

P(〃一游伉〃+2b)

=-/z+cr)+——2crxx!jK〃+2cr)

«-x0.6827+-x0.9545=0.8186.

22

200x0.8186=163.72^164,

所以估计获得“参赛纪念证书”的选手人数为164........................................................................12分

20.【命题意图】本题主要考查线面位置关系以及利用空间向量求二面角，考查直观想象、数学运算的核心素养.

12

【解析】（1）如图,连接。G.因为四边形DQCG为菱形，N，DC=120°,所以/DCG=60°,所以。G=2.

因为AT>=DC=2,AC[=2近，所以AD?+DC；=AC；,所以A。LOG•............................................1分

又ADLDCDCcg=。，

所以AD1.平面CDD©，所以AD_LOE,AD，OC...............................................................................2分

因为四边形DXDCCX为菱形，且ZDjDC=120°,所以。，=DC[=.....................................................1分

因为E为棱G2的中点，所以。

又GDJICD，所以。石，CD.

因为OEJ_AD,ADcOCn。,所以小，平面ABCD............................................................................4分

（2）以D为坐标原点,DA,DC,DE分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

易知。E=6,所以A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),E(Q,0,昌4(2,1,6),G(0,1,G).

所以CG=(0,-1,73),DC=(0,2,0),AE=(-2,0,而,DB=Q,2,0),DA=(2,0,0).

设CF=rCC/O1),则DF=DC+CF=(0,2—f,而)........................................6分

因为AE//平面8。尸,所以存在唯一的尢〃eR,

使得AE=ADB+juDF=2(2,2,0)+〃(0,2=(24,2/1+2〃一Z/z,百〃。,

所以2%=—2,2；1+2〃—a=0,石印=石,解得/=：........................................7分

所以。尸=0,：,手，。耳=(2,1,6)...............................................................................................8分

设平面BDF的法向量为〃=（再,％,4）,

13

476_n

DFn=0,-M-----Z[=0,

则所以3-131

DB•〃=0,

2%+2%=0.

取M=-3，则X]=3,Z[=2^3.

所以平面BDF的一个法向量为〃=(3,-3,273)9分

设平面ABXD的法向量为m=(x2,y2,z2),

DA•帆二0,2X2=0,

则所以

DB1•m=0,

2X2+%+=0.

取%=3,则x2=0,z2=—A/3.

所以平面AB1。的一个法向量为nz=(0,3,—J?)............................................10分

设平面ABtD与平面BDF的夹角为。,

|〃切|_15

则cos0-

|列印厂国x24-4

故平面ABXD与平面BDF夹角的余弦值为--..........................................12分

4

21.【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查数学抽象、数学运算的核心素养.

【解析】⑴根据题意，蒙日圆的半径为E,所以。2+=13.

因为山闾=2,所以。=1,所以a=2石，所以椭圆E的标准方程为5+尸=1......................1分

因为直线h过点Q,且易知直线4的斜率存在,

/,广

14

y=kx+~,

所以可设直线4:y=日+，4（花,必）,8（々,当）,联立方程，-2

—+/=1,

112-

消去y并整理可得（12公+1）尤2+12就一9=0.

12k9

由根与系数的关系可得,石+々=-22分

12^+1，-nk+1

因为《（0,1），2（0,—1）,所以直线4片：丁=2匚i%+1,直线86：'=辽坦》—1.

苞%

4分

9k3

--------9---------1-----%]

12k2+121

3k1

0------1—M1

12k~+1211

9k3一§

-----9------