陕西省西安市高新一中2023-2024学年高一下数学期末检测试题含解析

陕西省西安市高新一中2023-2024学年高一下数学期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．等比数列的各项均为正数，且，则（）A． B． C． D．2．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是A． B． C． D．3．用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（）A． B．C． D．4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无数多个5．函数的最小正周期是()A． B． C． D．6．已知，且，，则()A． B． C． D．7．设等比数列的公比，前n项和为，则（）A．2 B．4 C． D．8．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为()A． B． C． D．9．如图所示，在四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论中正确的结论个数是（）①；②；③与平面所成的角为；④四面体的体积为.A．个 B．个 C．个 D．个10．设点是函数图象上的任意一点，点满足，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式的解集是_______.12．在封闭的直三棱柱内有一个表面积为的球，若，则的最大值是_______.13．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．14．已知一圆台的底面圆的半径分别为2和5，母线长为5，则圆台的高为_______.15．已知在中，角的大小依次成等差数列，最大边和最小边的长是方程的两实根，则__________．16．某工厂生产三种不同型号的产品,产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本,样本中种型号产品有16件,那么此样本的容量=三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设全集是实数集，集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求．18．已知，.（1）求；（2）求.19．已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边，.20．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.21．在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

本题首先可根据数列是各项均为正数的等比数列以及计算出的值，然后根据对数的相关运算以及等比中项的相关性质即可得出结果．【详解】因为等比数列的各项均为正数，，所以，，所以，故选D．【点睛】本题考查对数的相关运算以及等比中项的相关性质，考查的公式为以及在等比数列中有，考查计算能力，是简单题．2、B【解析】

可先确定奇偶性，再确定单调性．【详解】由题意A、B、C三个函数都是偶函数，D不是偶函数也不是奇函数，排除D，A中在上不单调，C中在是递增，只有B中函数在上递减．故选B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时可分别确定函数的这两个性质．3、C【解析】

分别求出n＝k时左端的表达式，和n＝k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．【详解】当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左边需增乘的代数式是故选：C．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n＝k时左端的表达式和n＝k+1时左端的表达式，是解题的关键．4、B【解析】

直接由正弦定理分析判断得解.【详解】由正弦定理得,所以C只有一解，所以三角形只有一解.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、A【解析】

作出函数的图象可得出该函数的最小正周期。【详解】作出函数的图象如下图所示，由图象可知，函数的最小正周期为，故选：A。【点睛】本题考查三角函数周期的求解，一般而言，三角函数最小正周期的求解方法有如下几种：（1）定义法：即；（2）公式法：当时，函数或的最小正周期为，函数最小正周期为；（3）图象法。6、C【解析】

根据同角公式求出，后，根据两角和的正弦公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以.因为，所以，因为，所以.所以.故选：C【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，拆解是解题关键，属于中档题.7、D【解析】

设首项为，利用等比数列的求和公式与通项公式求解即可.【详解】设首项为，因为等比数列的公比，所以，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式与通项公式，熟练掌握基本公式是解题的关键，属于基础题.8、D【解析】

取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，设正三棱柱的各棱长为,则，设直线与所成角为，在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选D．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9、B【解析】

根据题意，依次分析命题：对于①，可利用反证法说明真假；对于②，为等腰直角三角形，平面，得平面，根据勾股定理逆定理可知；对于③，由与平面所成的角为知真假；对于④，利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．【详解】在四边形中，，，则，可得，由，若，且，可得平面，平面，，这与矛盾，故①不正确；平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，由勾股定理得，，，，故，故②正确；由②知平面，则直线与平面所成的角为，且有，，则为等腰直角三角形，且，则.故③不正确；四面体的体积为，故④不正确.故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角，以及三棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力，推理论证能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．10、B【解析】

函数表示圆位于x轴下面的部分．利用点到直线的距离公式，求出最小值．【详解】函数化简得．圆心坐标,半径为2.所以【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

且，然后解一元二次不等式可得解集．【详解】解：，∴且，或，不等式的解集为，故答案为：．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为其等价形式，属于基础题．12、【解析】

根据已知可得直三棱柱的内切球半径为，代入球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，因为，所以,可得的内切圆的半径为，又由，故直三棱柱的内切球半径为，所以此时的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直三棱柱的几何结构特征，以及组合体的性质和球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.13、【解析】

先求出点B的坐标，再求出M的坐标.【详解】由题得B(4,6,0),,因为M点是中点，所以点M坐标为.故答案为【点睛】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14、4【解析】

根据圆台轴截面等腰梯形计算．【详解】，设圆高为，由圆台轴截面是等腰梯形得：，即，，故答案为：4.【点睛】本题考查求圆台的高，解题关键是掌握圆台的性质，圆台轴截面是等腰梯形．15、【解析】

本题首先可根据角的大小依次成等差数列计算出，然后根据最大边和最小边的长是方程的两实根得到以及，最后根据余弦定理即可得出结果．【详解】因为角成等差数列，所以，又因为，所以.设方程的两根分别为、，则，由余弦定理可知：，所以.【点睛】本题考查根据余弦定理求三角形边长，考查等差中项以及韦达定理的应用，余弦定理公式为，体现了综合性，是中档题．16、1．【解析】

解：A种型号产品所占的比例为2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故样本容量n=1，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）当时，；当时，【解析】

（1）若，则或，解得实数的取值范围；（2）若则，结合交集定义，分类讨论可得.【详解】解：（1）若，则或，即或.所以的取值范围为或.（2）∵，则且，∴.当时，;当时，.【点睛】本题考查集合的交集运算，元素与元素的关系，分类讨论思想，属于中档题.18、（1），（2）【解析】

（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得和的值，可得的值（2）由题意利用二倍角公式，求得原式子的值．【详解】（1）∵已知，，，∴则（2）【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出，进而求得角A的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，联立即可求解出，的值．【详解】（1）由及正弦定理得，整理得，，，因为，且，所以，，又，所以，.（2）因为的面积，所以，①由余弦定理得，，所以，②联立①②解得，.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换．20、（1）（2）【解析】

（1）由余弦定理和诱导公式整理，得到，求出；（2）在中，用余弦定理表示出，判断是等腰直角三角形，再利用三角形面积公式表示出，再利用辅助角公式化简，求出四边形面积的最大值.【详解】（1）在中，由，所以∵，∴，∴，又∵，∴.又∵，∴，即为.（2）在中，，，由余弦定理可得，又∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴当时，四边形面积有最大值，最大值为.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形、诱导公式、三角形面积公式和利用三角函数求最值，考查学生的分析转