2024届上海市闵行区高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷一、填空题1.集合，，则________.〖答案〗〖解析〗，所以.故〖答案〗为：.2.已知复数满足（为虚数单位），则______．〖答案〗〖解析〗由得，所以，故〖答案〗为:.3.始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.〖答案〗〖解析〗始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则，故．故〖答案〗为：．4.在的二项展开式中，项的系数为_________.〖答案〗〖解析〗的二项展开式的通项为:．由，得．的二项展开式中，项的系数是．故〖答案〗为：．5.已知正实数、满足，则的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为正实数、满足，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故〖答案〗为：.6.已知等比数列的前n项和为，且，，则______．〖答案〗121〖解析〗设公比为，故，解得，所以，故.故〖答案〗为：1217.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有_____种.〖答案〗〖解析〗完成承建任务可分五步:第一步,安排1号有4种;第二步,安排2号有4种;第三步,安排3号有3种;第四步,安排4号有2种;第五步,安排5号有1种.由分步乘法计数原理知,共有4×4×3×2×1=96种.故〖答案〗为968.函数在处的切线方程为_________.〖答案〗〖解析〗，，所以，所以在处的切线方程为，即，故〖答案〗为：.9.已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗因为，，，，所以，所以当时，的最小值为，故〖答案〗为：.10.双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.〖答案〗4〖解析〗双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，故〖答案〗为：4.11.对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.〖答案〗〖解析〗设函数，定义域为R，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为，所以当时，有最小值1；设函数，定义域为，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，最小值，所以当时，有最小值1，不等式恒成立，则有，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：.12.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形.〖答案〗20〖解析〗空间中4个点最多可连接成4个等边三角形，构成正四面体，正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，新增加的4个点，又构成1个正四面体，所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.故〖答案〗为：20.二、选择题13.设，则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，或，不能推出有成立；当时，则，必有成立，故“”是“”的必要非充分条件，故选：B.14.已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为奇函数，所以等价于，即；当时，，即，解得；当时，，可得，所以，解不等式，可得，综上可得集合可表示为.故选：D.15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.A.个 B.个 C.个 D.个〖答案〗D〖解析〗因为，且，所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，故①②正确；分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.故③正确；故选：D.16.已知，集合，，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题〖答案〗A〖解析〗对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数，若则则，即若则，即集合表示平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；对于，由即知，设，则与一一对应且随的增大而增大，，又由知，结合知在范围内，与一一对应且随的增大而减小，所以在范围内，与一一对应且是关于的减函数，由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在的图象，如图代入点可得，所以的区域是右半部分，面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题.故选：A.三、解答题17.在锐角中，角所对边的边长分别为，且.（1）求角；（2）求取值范围.解：（1），，又，，.（2）由（1）可知，，且为锐角三角形，所以，，则，因为，.18.如图，已知为等腰梯形，，，平面，.（1）求证：；（2）求二面角的大小.（1）证明：连接，在等腰梯形中，，，，则，于是，即，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）解：取的中点，连接，由，得，在中，，由平面，平面，得，则，于是，因此为二面角的平面角，因为，平面，则平面，又平面，则，在中，，，则，所以二面角的大小为.19.ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.（1）求小张能全部回答正确的概率；（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.解：（1）设小张答对的题数为，则.（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，由题意知，，，则，；（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，且，，设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，则，，，.20.如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范围.解：（1）椭圆的上顶点坐标为，则抛物线的焦点为，故.（2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，联立可得，恒成立，则，.（3）设直线、的斜率分别为、，其中，，联立可得，解得，点在第三象限，则，点在第四象限，同理可得，且，当且仅当时，等号成立.的取值范围为.21.已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.（1）求函数在区间上的值域；（2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；（3）求证：.（1）解：由，当时，，即函数在区间上是严格增函数，且，，所以在区间上的值域为.（2）证明：当时，①当是偶数时，，函数在区间上是严格增函数；②当是奇数时，，函数在区间上是严格减函数；且，故，所以由零点存在定理可知，函数在区间上有且仅有一个零点.（3）证明：由（2）可知函数在上有且仅有一个零点，且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标）又因为，故，所以由零点存在性定理可知，函数在上有且仅有一个零点，于是，①因为，得所以，即；（或者）②因为由（1）可知，当时，有故，所以；由①②可知.上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷一、填空题1.集合，，则________.〖答案〗〖解析〗，所以.故〖答案〗为：.2.已知复数满足（为虚数单位），则______．〖答案〗〖解析〗由得，所以，故〖答案〗为:.3.始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.〖答案〗〖解析〗始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则，故．故〖答案〗为：．4.在的二项展开式中，项的系数为_________.〖答案〗〖解析〗的二项展开式的通项为:．由，得．的二项展开式中，项的系数是．故〖答案〗为：．5.已知正实数、满足，则的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为正实数、满足，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故〖答案〗为：.6.已知等比数列的前n项和为，且，，则______．〖答案〗121〖解析〗设公比为，故，解得，所以，故.故〖答案〗为：1217.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有_____种.〖答案〗〖解析〗完成承建任务可分五步:第一步,安排1号有4种;第二步,安排2号有4种;第三步,安排3号有3种;第四步,安排4号有2种;第五步,安排5号有1种.由分步乘法计数原理知,共有4×4×3×2×1=96种.故〖答案〗为968.函数在处的切线方程为_________.〖答案〗〖解析〗，，所以，所以在处的切线方程为，即，故〖答案〗为：.9.已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗因为，，，，所以，所以当时，的最小值为，故〖答案〗为：.10.双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.〖答案〗4〖解析〗双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，故〖答案〗为：4.11.对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.〖答案〗〖解析〗设函数，定义域为R，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为，所以当时，有最小值1；设函数，定义域为，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，最小值，所以当时，有最小值1，不等式恒成立，则有，所以实数的取值范围为.故〖答案〗为：.12.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形.〖答案〗20〖解析〗空间中4个点最多可连接成4个等边三角形，构成正四面体，正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，新增加的4个点，又构成1个正四面体，所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.故〖答案〗为：20.二、选择题13.设，则“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，或，不能推出有成立；当时，则，必有成立，故“”是“”的必要非充分条件，故选：B.14.已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为奇函数，所以等价于，即；当时，，即，解得；当时，，可得，所以，解不等式，可得，综上可得集合可表示为.故选：D.15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.A.个 B.个 C.个 D.个〖答案〗D〖解析〗因为，且，所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，故①②正确；分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.故③正确；故选：D.16.已知，集合，，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题〖答案〗A〖解析〗对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数，若则则，即若则，即集合表示平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；对于，由即知，设，则与一一对应且随的增大而增大，，又由知，结合知在范围内，与一一对应且随的增大而减小，所以在范围内，与一一对应且是关于的减函数，由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在的图象，如图代入点可得，所以的区域是右半部分，面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题.故选：A.三、解答题17.在锐角中，角所对边的边长分别为，且.（1）求角；（2）求取值范围.解：（1），，又，，.（2）由（1）可知，，且为锐角三角形，所以，，则，因为，.18.如图，已知为等腰梯形，，，平面，.（1）求证：；（2）求二面角的大小.（1）证明：连接，在等腰梯形中，，，，则，于是，即，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）解：取的中点，连接，由，得，在中，，由平面，平面，得，则，于是，因此为二面角的平面角，因为，平面，则平面，又平面，则，在中，，，则，所以二面角的大小为.19.ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.（1）求小张能全部回答正确的概率；（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；（3）在这轮挑