山东省德州市宁津县2023-2024学年九年级下学期3月份月考检测数学试题

2023-2024学年第二学期3月教学质量检测

九年级数学

第I卷（选择题共48分）

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

正确的，请把正确的选项选出来,每小题选对得4分，选错、不选或选出的

答案超过一个均记零分.

1.-3的相反数是（)

1

A.B.C.3D.—

33

2.下列运算正确的是

A.(-2Q3)2=_4Q6B.a3-a4=a7C.3a+a2=3/

D.(a-b)2=a2-b2

3.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家

们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记

数法表示为（）

A.2.03x108年B.2.03x109年C.2.03x101°年D.20.3xl（）9年

4.桦卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传

奇凸出部分叫柳，凹进部分叫卯，下图是某个部件'卯”的实物图，它的主视图是（）

_______

/

主视方向

A.；；B.；；C.------D.——

5.实数。，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

试卷第1页，共8页

___।.b।।।।：a1A

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.“+3<6+3D.—3a<—3b

6.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若/1=35。，则N2的度数等于（）

7.某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果

如表：

时间/小时78910

人数69114

这些学生睡眠时间的众数、中位数是（）

A.众数是11,中位数是8.5B.众数是9,中位数是&5

C.众数是9,中位数是9D.众数是10,中位数是9

8.如图，43是。O的直径，D,C是。。上的点,N4DC=115。，则/A4c的度数是

9.一次函数^=如+6与反比例函数了=或Q,6为常数且均不等于0）在同一坐标系

X

内的图象可能是（）

试卷第2页，共8页

.Jk

」一B

c.Jk

°,48=30。，分别以点/、8为圆心，大于;48

10.如图，在RtZ\48C中，ZC=90

的长为半径画弧，两弧分别交于RG两点，连接尸、G分别交于48于E、BC于D,

连接AD,若CZ）=3,则BC的长为（）

为’

B（

A.6B.6#）C.9D.3百

11.如图，A48C为等边三角形，点D,£分别在边3C,AB1.,ZADE=60°,若

BD=4DC,DE=2.4,则的长为（）

HADC

A.1.8B.2.4C.3D.3.2

12.已知二次函数了=。无2+/+0（。/0）的部分图象如图所示,图象经过点（0,2）,其对

称轴为直线尤=-1.下列结论：①3a+c>0；②若点（-4,%）,（3,%）均在二次函数图

象上，则③关于X的一元二次方程办2+6x+c=-l有两个相等的实数根；©

试卷第3页，共8页

满足"2+6x+c>2的x的取值范围为-2<x<0.其中正确结论的个数为（）.

第II卷（非选择题共102分）

二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填

对得4分

13.分解因式：2x2-8=

14.已知关于龙的一元二次方程/-4x-a=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围

是.

15.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，

并量出/8=4cm,则这张光盘的半径是cm.（精确到0.1cm.参考数据73~1.73）

16.如图，“8C和血力是以点。为位似中心的位似图形.若OA=AD,则“8C与

尸的面积比是.

17.如图，在Rt448。中，40=2,将“8。绕点。旋转至△48'。的位置，且H是05

的中点，夕在反比例函数上，则上的值为.

试卷第4页，共8页

18.如图1,在中，动点尸从点/出发沿折线/BfBCfC/匀速运动至点/后

停止.设点P的运动路程为x,线段/P的长度为外图2是了与x的函数关系的大致图

象，其中点尸为曲线。E的最低点，则448c的高CG的长为.

图1图2

三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤

以⑴化简：I一二］x"+10x+25

X2-4

2x+1>3

(2)解不等式组：，x+1x—1-

---->---

132

20.为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查

（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成

扇形统计图.

男、女生所选类别人数统计表

类别男生（人）女生（人）

文学类128

史学类m5

科学类65

哲学类2n

试卷第5页，共8页

学生所选类人数扇形统计图

根据以上信息解决下列问题

(2)扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为。；

(3)从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状

图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率.

21.图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m,

BC=0.6m,//3C=123。，该车的高度/。=1.7m.如图2,打开后备箱，车后盖48c

落在/8'C'处，与水平面的夹角/8'4D=27。.

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点夕到地面/的距离；

(2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明

理由.

(结果精确到0.01m,参考数据：sin270-0.454,cos27°«0.891,tan27°~0.510,

>/3»1.732)

22.某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了4,5两种型号的机器人模型./型

机器人模型单价比8型机器人模型单价多200元，用2000元购买N型机器人模型和用

1200元购买8型机器人模型的数量相同.

(1)求N型，B型机器人模型的单价分别是多少元？

(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买2型机器人模型不超过A型

机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买/型和

B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元？

23.如图，“3C内接于。。，/8=60。，点E在直径CD的延长线上，且=

试卷第6页，共8页

EA

(1)试判断AE与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若/C=6,求阴影部分的面积.

24.(1)用数学的眼光观察.

如图，在四边形A8CD中，AD=BC,尸是对角线AD的中点，〃•是的中点，N是

。。的中点，求证：ZPMN=ZPNM.

(2)用数学的思维思考.

如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段8c交的延长线于点F,

(3)用数学的语言表达.

如图，在。8C中，NC<48,点。在/C上，AD=BC,”是N2的中点，N是DC

的中点，连接九W并延长，与6c的延长线交于点G,连接GD,若NANM=60。，试

判断△CGD的形状，并进行证明.

25.已知抛物线》="2+云+4与x轴相交于点/(1,0),8(4,0),与了轴相交于点C.

试卷第7页，共8页

⑴求抛物线的表达式；

(2)如图1,点P是抛物线的对称轴/上的一个动点，当△尸/C的周长最小时，求黄的

值；

(3)如图2,取线段OC的中点。，在抛物线上是否存在点。，使tan/0D8=；?若存在,

求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第8页，共8页

1.c

【分析】

此题考查了实数相反数的求解能力，根据实数。的相反数是-a进行求解.

【详解】解：-3的相反数是3,

故选：C.

2.B

【分析】

根据哥的乘方，同底数塞相乘，合并同类项，完全平方公式，即可解答.

【详解】解：(-2/)2=4/,故A错误；

/故B正确；

3a+a2-3a2>故C错误；

(a-b)2-a1+b2-lab,故D错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了塞的乘方，同底数幕相乘，合并同类项，完全平方公式，熟知计算法则

是解题的关键.

3.B

【分析】

科学记数法的表现形式为ax10”的形式，其中1W忖<10,〃为整数，确定〃的值时，要

看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝

对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到

答案.

【详解】

解：20.3亿年=2030000000年=2.03xlO9^,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

4.C

【分析】

根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可.

答案第1页，共20页

【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为:

故选C.

【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键.

5.D

【分析】

根据题意可得-3<6<-2,°=2,然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断

即可.

【详解】解：由题意可得：-3<6<-2,°=2,所以6<。，

.­.ab<0,a+b<Q,a+3>b+3,-3a<-36,

观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；

故选：D.

【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出-3<6<-2,a=2

是解题的关键.

6.B

【分析】如图所示，过点。作则。£〃/8〃。。，由平行线的性质得到

/EOC=/2,ZAOE=Z1,进而推出Nl+N2=90。，由此即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点。作用，

•••AB//CD,

.-.OE//AB//CD,

.-.ZEOC=Z2,ZAOE=Z1,

•••ZAOC=ZEOC+ZAOE=90°,

.-.Zl+Z2=90o,

•••Z1=35°,

.•.Z2=90°-Zl=55°,

故选B.

答案第2页，共20页

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键.

7.B

【分析】根据众数和中位数的定义，即可求解.

【详解】解：睡眠时间为9小时的人数最多，学生睡眠时间的众数是9小时，

一共有30个学生，睡眠时间从小到大排序后，第15、16个数据分别是：8,9,即：中位数

为8.5.

故选B.

【点睛】本题主要考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义，是解题的关键.

8.A

【分析】

根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可.

【详解】解：:/ADC=115。，

.-.Z5=65°,

•••48是。。的直径，

ZACB=90°,

NBAC=180°-90°-65°=25°,

故选：A.

【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，

熟记知识点是关键.

9.D

【分析】

先根据一次函数图象确定“、6的符号，进而求出处的符号，由此可以确定反比例函数图象

所在的象限，看是否一致即可.

【详解】解：A、•••一次函数图象经过第一、二、三象限，

a>0,b>0,

答案第3页，共20页

ab>0,

二反比例函数>=艺的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；

X

B、・・•一次函数图象经过第一、二、四象限，

Q<0,b>0,

・•.ab<0,

・••反比例函数y=兹的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；

X

C、・•・一次函数图象经过第一、三、四象限，

。>0,b<0,

・•・ab<0,

・••反比例函数v=艺的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；

D、・・,一次函数图象经过第一、二、四象限，

・•・Q<0,b>0,

・•.ab<0,

・••反比例函数>=或的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；

X

故选D.

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象

的关系是解决本题的关键.

10.C

【分析】

利用基本作图得到。E垂直平分N8,则根据线段垂直平分线的性质得到。8=04,所以

NDAB=NB=30°,求出/14。=30。，利用含30度角直角三角形三边的关系求ND,然后

计算8。+CD即可.

【详解】解：由作法得DE垂直平分AB,

*'•DB=DA,

•・•AB=30°,

："DAB=/B=3。。,

•・・ZC=90°,

・•・ABAC=60°,

答案第4页，共20页

.-.ZC^D=60°-30°=30°,

在RtZiZC。中，AD=2CD=6,

BD=6,

：.BC=BD+CD=6+3=9.

故选：C.

【点睛】本题考查了作图■基本作图：作已知线段的垂直平分线.也考查了线段垂直平分线

的性质和含30度角直角三角形的性质.

11.C

【分析】

4

证明根据题意得出进而即可求解.

【详解】解：•・・△43。为等边三角形，

.-.Z5=ZC=60°,

•/AADB=ZADE+ABDE=ZC+ADAC,ZADE=60°,

・•・/BDE=ADAC,

Z\ADCS/\DEB

ADAC

••瓦一访

•・•BD=4DC,

4

：.BD=-BC,

ADAC==-

'.莅=而4

■.■DE=2A

.•.AD=1xDE=3,

4

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

12.B

【分析】根据抛物线开口向下可得”。，根据抛物线的对称轴可推得6=2a,根据x=l时,

><0,即可得到a+6+c<0,推得3a+c<0,故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点

答案第5页，共20页

（-4,外）到对称轴的距离小于点（3,%）到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得

%>为，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数y=a/+6x+c与直线>=-1有两个不

同的交点，推得关于x的一元二次方程办2+6x+c=-l有两个不相等的实数根，故③错误;

根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点（-2,2）,即可得到°*+法+02时，x的取

值范围-2<x<0,故④正确.

【详解】①•,•抛物线开口向下，

•••a<0.

•••抛物线的对称轴为直线X=-二=-1,

2a

•*,b—2cl,

由图象可得x=l时，y<0,

即a+6+c<0,

而b=2〃，

.•-3a+c<0.故①错误；

②•••抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=-l.

故当x<-l时，y随X的增大而增大，当X>-1时，了随X的增大而减小，

•.•卜1-（-4）1=3,卜1-3|=4,

即点（-4,必）到对称轴的距离小于点（3,%）到对称轴的距离，

故外>%，故②正确；

③由图象可知：二次函数了="2+6x+c与直线y=T有两个不同的交点，

即关于x的一元二次方程ax1+bx+c=-\有两个不相等的实数根，故③错误；

④・••函数图象经过（0,2）,对称轴为直线x=-l,

二二次函数必然经过点（-2,2）,

・•.ax?+6x+c>2时，x的取值范围一2cx<0,故④正确；

综上，②④正确，

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系

答案第6页，共20页

数的关系：对于二次函数了="2+/+0(。/0),二次项系数。决定抛物线的开口方向和大

小，当。>0时，抛物线向上开口；当心0时，抛物线向下开口；一次项系数6和二次项系数

。共同决定对称轴的位置；常数项C决定抛物线与了轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解

题的关键.

13.2(x+2)(x-2)

【分析】先提公因式，再运用平方差公式.

【详解】2N-8,

=2(%2-4),

=2(x+2)(x-2).

【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.

14.a>-4##-4<a

【分析】

利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解：••・关于X的一元二次方程一一--4=0有两个不相等的实数根，

.••△=/-4ac=(-4)2-4xl-(-6z)>0,

••・a>-4,

故答案为：〃〉—4.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程办2+加+C=0#0),

若△=〃一4因>0,则方程有两个不相等的实数根，若—ac=0,则方程有两个相等

的实数根，若△=62-4ac<0,则方程没有实数根.

15.6.9

【分析】

设光盘的圆心为O,三角尺和光盘的切点为C,连接OC,OB,OA,经过圆外一点/的两

条直线/C,都与圆。相切，所以OA为/R4C的角平分线，

NOAC=NOAB==NBAC=60。,同时由切线的性质得到。C，/C,OB1AB,^Rt^AOB

2

中，tanAOAB=tan60°=,求出02=4，3cm,即为圆的半径，进而确定出圆的直径.

AB

【详解】解：设光盘的圆心为。，三角尺和光盘的切点为C,连接OC,OB,OA,如下图

所示：

答案第7页，共20页

■■AC,48分别为圆。的切线，

.•.04为/氏4c的角平分线，即。C_L/C,OBVAB,

又：ACAD=60°,

AOAC=NOAB=-ABAC=60°,

2

在Rt/XZOB中，ZOAB=60°,AB=4cm,

.-.tanZC>74B=tan60o=—,—=73,

AB4

OB=45/3cmx6.9cm,

则这张光盘的半径为6.9cm；

故答案为：6.9.

【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数

值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

16.1：4

【分析】

本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面

积比等于相似比的平方是解题的关键.

根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.

【详解】解：••・CM=40,

/.OA：0D=1：2,

•.■△45。和SEF是以点。为位似中心的位似图形，

:AABCS公DEF,AB//DE,

ZODE=AOAB,AOBA=ZOED,

:.^AOB^/J)OE,

.AB_OA

・•瓦一五-2'

答案第8页，共20页

.,.ANBC与ADEF的面积比为：g1=；,

故答案为：1:4.

17.473

【分析】由点H是中点，得出408=60。，根据旋转得出48'。〃=60。，再根据30。定理和

勾股定理求出点2,坐标即可.

本题考查了如何确定反比例函数的关系式，利用三角函数求角度及勾股定理的应用是解题关

键.

A是OB的中点，

：,OAf=-OB,

2

：,OA=-OB,

2

cosZAOB=—,

2

ZAOB=60°,

“BO绕点。旋转至△H8'。的位置,

:"BOB'=60°,

AB'OH=60°,

vOA=2,

BO=B'O=4,

•1•OH=2,B'H=A/42-22=2杷，

•••人=2x26=46

故答案为：4A/3.

答案第9页，共20页

18.

2

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是

解题的关键.

过点/作于点0,当点P与。重合时，在图2中尸点表示当/8+8。=12时，点

P到达点0,此时当尸在3c上运动时，/P最小，勾股定理求得然后等面积法即可求

解.

【详解】解：如图过点/作8c于点0,当点尸与。重合时，在图2中F点表示当

/8+80=12时，点尸至1」达点。，此时当P在8C上运动时，AP最小，

BC=7,BQ=4,0c=3,

在RtA48。中，AB=8,BQ=4,

AQ=个AB?-BQ。=V82-42=4G,

■.-S.nr=-ABxCG=-AQxBC,

“BCxAQ7X4A/37后

AB82

故答案为：迪.

2

x—2

19.(1)------；(2)-2<x<5

x+5

【分析】

(1)根据分式的混合计算法则求解即可；

(2)先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小

小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可.

【详解】解：(1)(2—二］十f+产：25

Ix+2)x-4

_(2x+4x-1).(x+5)2

Ix+2x+2J(x+2)(x-2)

答案第10页，共20页

_x+5(x+2)(x-2)

~x+2(x+5)2

x—2

x+5'

2x+7>3①

(2),x+1x-1

I32

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：x<5,

・•.不等式组的解集为-2<x<5

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关

键.

20.(1)10,2(2)79.2(3)-

6

【分析】(1)根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分

比即可求出加、«;

(2)由360。乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；

(3)根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后

根据概率公式即可得出答案.

【详解】(1)抽查的总学生数是：(12+8)+40%=50(人),

m=50x30%-5=10,〃=50-20-15-11-2=2；

故答案为10,2；

(2)扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为360。、答=79.2。；

故答案为79.2；

(3)列表得：

男1男2女1女2

男2男女1男女2男

男1--

111

男1男女1男女2男

男2--

222

答案第11页，共20页

男1女男2女女2女

女1

111

男1女男2女女1女

女2——

222

由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生

都是男生的有2种可能，

・••所选取的两名学生都是男生的概率为二=；.

【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、统计表的应用，解题关键在

于看懂图中数据.

21.(1)车后盖最高点9到地面的距离为2.15m

(2)没有危险，详见解析

【分析】

(1)作垂足为点E,先求出8'E的长，再求出B'E+NO的长即可；

(2)过C作CF,垂足为点尸，先求得ZAB'E=63°,再得到

ZC'B'F=AAB'C-NAB'E=60°,再求得B'F=B'Ccos60。=0.3,从而得出C到地面的距

离为2.15-0.3=1.85,最后比较即可.

【详解】(1)

如图，作垂足为点E

8'

j(

在RtZ\4B'£中

•••ZB'AD=27°,AB'=AB=1

.•.sin27°=—

AB'

B'E=AB'sin27°~lx0.454=0.454

答案第12页，共20页

••・平行线间的距离处处相等

.-.S,£,+J(9=0.454+l,7=2.154»2.15

答：车后盖最高点"到地面的距离为2.15m.

⑵

没有危险，理由如下：

过C'作。下，夕£,垂足为点尸

ir

3

~~/

VNB'AD=27°,NB'EA=90°

NAB'E=63°

ZAB'C=ZABC=123°

ZC'B'F=ZAB'C-ZAB'E=60°

在RM3,C'中，B'C'=BC=0.6

：.B'F=B'C'-cos600=Q.3.

••・平行线间的距离处处相等

.­.C到地面的距离为2.15-0.3=1.85.

••-1.85>1.8

没有危险.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关

键.

22.(1乂型编程机器人模型单价是500元，8型编程机器人模型单价是300元

(2)购买/型机器人模型10台和3型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元

【分析】

(1)设N型编程机器人模型单价是x元，3型编程机器人模型单价是(x-200)元，根据：

用2000元购买N型机器人模型和用1200元购买3型机器人模型的数量相同即可列出关于x

的分式方程，解方程并检验后即可求解；

答案第13页，共20页

（2）设购买/型编程机器人模型小台，购买/型和8型编程机器人模型共花费川元，根据

题意可求出m的范围和少关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值

【详解】（1）

解:设/型编程机器人模型单价是尤元，8型编程机器人模型单价是（x-200）元.

解这个方程，得x=500

经检验，x=500是原方程的根.

x-200=300

答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元.

（2）

设购买N型编程机器人模型加台，购买3型编程机器人模型（40-加）台，购买/型和3型

编程机器人模型共花费卬元，

由题意得：40-w<3m,解得帆上10.

w=500x0.8•7〃+300x0.8-（40-m）

即w=160m+9600,

•••160>0,

.•・卬随加的增大而增大.

当加=10时，w取得最小值11200,止匕时40-加=30；

答：购买/型机器人模型10台和8型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200

元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解

题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键.

23.（1）AE与。0相切，理由见详解；（2）S阴影=6百-2万.

【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出4E=NACE=NOCA=NOAC=30。，

ZEAC=12O°,进而得出4EAO=90。，即可得出答案；

（2）连接AD,利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据$阴影=S^OE-S扇q，即可求出

阴影部分的面积.

【详解】（1）AE与OO相切，理由如下：

答案第14页，共20页

连接AO,

,.,z.B=60°,

.-.ZAOC=120°,

vAO=CO,AE=AC,

.-.zE=zACE,zOCA=z.OAC=30°,

.-.ZE=ZACE=ZOCA=ZOAC=30°,

.-.ZEAC=12O°,

.-.ZEAO=90°,

••.AE是OO的切线；

(2)连接AD,则N/OC=N2=60。,

••.ZDAC=9O°,

■•■CD为OO的直径，

在Rt^ACD中，AC=6,ZOCA=30°,

,anoACV3

CD2

CD=473,

OA=OD^OC=273,ZAOD=60°,

•••S阴影=5根。£一S扇Q=；X6X26一6。工产）2

S阴昌,=6"^3,2万.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判

定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题.

24.（1）见解析；（2）见解析；（3）/XCGD是直角三角形，证明见解析.

【分析】

（1）根据中位线定理即可求出PM=PN,利用等腰三角形的性质即可证明ZPMN=ZPNM；

答案第15页，共20页

(2)根据中位线定理即可求出=和=通过第(1)问的结果进

行等量代换即可证明NAEM=ZF；

(3)根据中位线定理推出〃/。和PN〃BC仄而求出

ZPNM=ZPMN=ZANM=ZCGN=ZGNC=60°,证明ACGN是等边三角形，利用中点求

出/NGO=30。，从而求出NDGC度数，即可求证△CG。的形状.

【详解】证明：(1)•.•尸的中点，M是的中点，

同理，PN=-BC.

2

•1-AD=BC,

PM=PN.

ZPMN=ZPNM.

(2)的中点，M是4B的中点,

PN//BC,

ZPNM=ZF.

同理，NPMN=NAEM.

由(1)可知APMN=NPNM,

AAEM=ZF.

(3)△CGD是直角三角形，证明如下：

如图，取的中点尸，连接PM,PN,

答案第16页，共20页

G

〃是的中点，

PM//AD,PM=-AD.

2

同理，PN//BC,PN=-BC.

2

•/AD=BC,

:.PM=PN.

/PMN=/PNM.

•・•PM//AD,

ZPMN=ZANM=60°,

ZPNM=/PMN=60°.

•・•PN//BC,

ZCGN=ZPNM=60°.

又丁ZCNG=ZANM=60°,

.•.△CGN是等边三角形，

:.CN=GN.

又♦:CN=DN,

DN=GN.

ZNDG=ANGD=30°,

ZCGD=ZCGN+ZNGD=60°+30°=90°.

是直角三角形.

故答案为：△CGD是直角三角形.

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角

三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.

25.(\}y-x2-5x+4

答案第17页，共20页

、

‘5+717"5-V173或0(3,一2)或。停与

⑶。-2~,2或。2­

7\

【分析】

(1)待定系数法求函数解析式即可；

(2)根据△尸/C的周长等于尸/+PC+/C,以及NC为定长，得至I]当尸4+PC的值最小时,

△尸/C的周长最小，根据抛物线的对称性