浙江省浙南2023-2024学年高二年级下册返校联考数学试题（解析版）

绝密★考试结束前

2023学年第二学期浙南名校联盟返校联考

高二数学学科试题

考生须知：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符

合题目要求.）

1.已知抛物线三=2。＞的焦点在直线y=2x+l上，则「=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据标准方程可得焦点坐标，代入直线可得夕=2.

【详解】易知抛物线好=2〃v的焦点坐标为,

代入直线方程可得曰=2x0+1,解得夕=2.

故选：B

2.己知向量0=（1/,1）1=（一1,1,一2）,则a在6上的投影为（）

A.也B.正C一逅D.逅

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出向量,，匕夹角的余弦值，再由投影定义即可求得结果.

/j\a,b_1+1—2yf2

【详解】易知3《,%雨=石赤=-彳,

所以a在6上的投影为＞cos,,。）=退*

故选：C

3.已知点4（0,3）及直线/:工+丁—1=。上一点8,贝的值不可能是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】求出点A到直线/的距离d=J5，易知|A512d即可得出结论.

【详解】易知点4（0,3）到直线/:x+y—1=。的距离为d='美』=拒，

所以之夜，

因此|A目的值不可能是1.

故选：A

4.已知数列｛4｝是各项为正的等比数列，前〃项和为S”（〃eN）,且邑=万,S3=z，则％=（）

119

A.—B.—C.1D.一

424

【答案】C

【解析】

371

【分析】利用S2=万,S3=z构造方程组可解得公比q=万，代入计算得q=L

【详解】设数列｛4｝的公比为4,又｛4｝的各项为正，所以q＞0,4〉0；

3

+ac

37qii=~

则由S2=5，S3=a可得＜

27'

q+axq+axq"=—

两式相除整理可得6/—q—l=0,解得q=g或q=—g（舍）；

代入可得q=L

故选：C

5.若圆必―2以+丁=0与圆f+产―4x—2y—4=0只有一个交点，则实数。的值可以是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可.

1I-------------

【详解】易知圆好―2ax+V=o的圆心为(凡0),半径弓J(—2a)2=问，

圆x?+V-4x-2y-4=0的圆心为(2,1),半径zj=；J16+16+4=3,

由题意得圆x~—2ax+y~=0与圆x?+—4x—2y—4=0只有一■个父点,

可得两圆内切或外切，易得圆心距刀=J(a—2y+l，半径差与和分别为,1-3|或同+3,

当两圆内切时就。一2)2+1=|问—31解得。=2或。=—丁

当两圆外切时J(a—2)2+1=问+3，无解，结合选项

故选：D

6.已知一ABC的三个内角分别为A、B、C,贝iJlnA+lnS+lnC的值可能是()

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

【答案】D

【解析】

【分析】证明出InxWx—1,可得出lnA+lnB+lnCWA+5+C—3=7i—3,即可得出合适的选项.

1Y—1

【详解】令〃x)=x—Inx—1,其中x>0,则r(x)=l——=—,

XX

当0cx<1时，r(x)<。，即函数/(%)在(0,1)上单调递减，

当x〉l时，用x)>o,即函数在(1,内)上单调递增，

所以，/(x)=%-ln%-l>/(l)=0,贝iJlnxWx_1,

由已知可得A、B、Ce(0,7i),

所以，lnA+lnB+lnC<A+B+C-3=7i-3<0.2,

故选：D.

7.圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性

质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，(如图(D).

如图(2),已知可为椭圆C：二+三=1(。〉6〉0)的左焦点，。为坐标原点，直线/为椭圆。的任一条

a~b

【答案】A

【解析】

【分析】方法一：利用椭圆的切线方程的结论，进而得到直线片〃的方程，联立切线/的方程警+罂=1

a~b

和直线可〃的方程y=胃(％+。),化简即可确定点//的轨迹；

方法二：设/与椭圆C相切于点P,过右焦点工作马〃于延长M0与直线耳〃交于点N,则

有△耳NO,△月全等，所以设NF\PH=9,结合直角三角形边与交的关系可得

HM=PF^os0+PF,cos0=2〃cos6,HN=PEsin8+PKsine=2〃sin6,所以MN=2a,故

OH=a,即可求解；

【详解】解法一：设切线/与椭圆C相切于点p(%,%),则切线/的方程是3+*=1,

ab

切线/的斜率为-，则直线耳〃的方程是

"yL(X+C),

。为bX。

2222bXQ

y=/%(x+c)=c=勺%y-xn4-b=与。，十%——产孙，

"为先

Ia%a4为

=%(v-b)_-^02,y：%22%%①

n//-4”-评孙U

1，+岑=1=。+监+等孙，②

ab~baab

4")(22A

由①②可得,-+[>*卜”)

x；y：_iy；]y；_i[1J："-")

④

/b4a2[b2b4a2b4

vy\7

所以由③④可得，x2+y2=a2,故点”的轨迹是圆.

解法二：如图，设切线/与椭圆C相切于点尸,

过右焦点B作鸟〃于河，延长M0与直线耳〃交于点N,

则有心“〃耳N,所以△KNO,△g全等，所以F2M=F1N,

由椭圆光学性质知一片尸〃，

设/耳PH-0,贝i]HM=PFicosO+PF2COSO=2acos。，

HN-PF^inO+PF2sinO-2«sin6,,所以4W=2a,

故O〃=a,即点”的轨迹是圆;

故选：A.

]

12024

8.已知a==lnc=e2024-1,则(

20242023

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意构造函数q(%)=e*—x—1,判断出其单调性可得c>a,利用函数In(x+1)<x的单调性

可知…，再由尸(x)=e'-l+ln(l—x)可求得c<〃，即可得出结论.

]

12024

【详解】由。=c-e2024—1可知，

20242023

构造函数〃%)=x,g(x)=—ln(l—%),人(%)=e"-1;XG(0,0.001)

则"/［盘曰=g1

2024

由=可得^(x)=eT-1,

因此当无e(T»,0)时,q'(x)<0,即q(x)在(—8,0)上单调递减，

当xe(0,+8)时，q'(无)>0,即q(x)在(0,+a)上单调递增,

所以q(x)2q(O)=O,即e'-x-lNO恒成立，

所以e'^x+l(当且仅当x=0时取等号)恒成立，故

当xe(0,0.001)时，对e'Nx+l两边同时取对数可得ln(x+l)Vx(当且仅当x=0时取等号)恒成立,

故ln(-x+l)<-x(当且仅当x=0时取等号)

即—ln(—x+l)»x(当且仅当x=0时取等号)，故人。；

构造函数产(%)=为(%)-g(x)=e"—l+ln(l—x),xe(0,0.001)

5!iJF,(x)=ex--—,4m(x)=eT--—,则加OOMeX—y;~-y,

v71-x1-x(1-x)

[2

4^(x)=eT----y,贝州(x)=e"--y,

(1-x)(1—x)

当x£(0,0.001)时，°(x)<0,

所以9(x)=e-xe(0,0.001)上单调递减，可得0(力<0(0)=0,

L在x6(o,o.ooi)上单调递减，可得m(x)<m(O)=0,

即m(x)

即可得产(九)=/z(%)—g(九)=^-1+如(1—九)在(0,0.001)上单调递减,

即对VxG(0,0.001),F(x)=/z(x)-g(x)<F(0)=0,

:.c<b

综上b>c>a,

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据仇C中的数字特征构造函数，并利用导数求出函数单调性即可

比较得出它们的大小.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.已知则方程加之/+町？=i表示的曲线可能是（）

A.两条直线B.圆

c.焦点在x轴的椭圆D.焦点在y轴的双曲线

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据直线、圆、椭圆和双曲线的定义以及方程一一判断求解.

【详解】对A,因为所以可取m=0,〃=1,

则有y=l或y=-l,表示两条直线，A正确;

对B,因为m、”eR,所以可取m=1,〃=1,

则有必+丁2=1,表示圆，B正确；

对C,因为加、”wR,所以可取加=1,〃=1,

2

则有土+y2=l,表示焦点在X轴的椭圆，C正确;

4-

对D,因为机220,所以该曲线方程不可能为焦点在y轴的双曲线，D错误;

故选:ABC.

10.如图，已知四棱锥尸-A6CD中，平面ABCD,底面ABCD为正方形，PA=AB,Q为线段

上一点（含端点），则直线尸。与平面PCD所成角不可能是（）

717171

A.0B.—D.

64

【答案】CD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，由向量法求出线面角，再根据单调性求出范围，进而可得答案.

【详解】由44_L平面ABCD,底面ABCD为正方形得两两垂直，

以A为坐标原点，所在直线分别为x，%z轴建立空间直角坐标系，

设正方形的边长为2,则A（0,0,0）,3（2,0,0）,£＞（0,2,0）,尸（0,0,2）,C（2,2,0）,

所以PC=（2,2,-2）,PD=（O,2,-2）,BC=（0,2,0）,BP=（—2,0,2）,

设平面PCD的法向量为〃=（x,y,z）,

n-PD=2y-2z=0

则.,取y=l得

n-PC=2x+2y—2z-0

因为。为线段5c上一点（含端点）,

所以设3Q=ABC=（0,22,0）,（0<2<1）,

所以PQ=3Q—3P=（0,240）—（-2,0,2）=（2,2/1,-2）,

设直线尸。与平面PC。所成角为历

\n-Pd\_|22-2|

1-A

则sin0=

问|P0V2x242+22"+2万

明显sin8随着丸的增大而减小，当4=0时，sin6^=—,当4=1时，sin9=0,

2

jTT兀

即sinOw0,—,又0,—,

222’

JTjrjr

所以0,-,所以。不可能是一或

643

故选：CD.

11.己知数列｛。“｝为等差数列，％=1,a3=272+1,前〃项和为,数列｛2｝满足〃=工，

则下列结论正确的是（）

A.数列｛4+%｝为等比数列

B.数列｛为+%｝为等差数列

C.数列｛4｝中任意三项不能构成等比数列

D.数列｛〃｝中可能存在三项成等比数列

【答案】BC

【解析】

【分析】设数列｛4｝的公差为d,求出d的值，求出S,、bn,利用等差数列的定义可判断AB选项；利用

反证法结合等比数列的定义可判断CD选项.

【详解】设数列｛%｝的公差为d,则d=/幺=3,

所以，s=叫+"（"1）叱〃+缶（”1），

22

所以，=—=1+—（«-1）>则4+1-2==〃+1—

n22

所以，数列也｝为等差数列，

所以，（4+i+d+J—（4+4）=（4+1—4）+（a+「％）=拒+*=孚，

所以，数列｛4+2｝为等差数列，故B正确，A错误；

（反证法）假设数列｛%｝中存在三项ap（m.p,neN\m<p<n）能构成等比数列，

即=4n成立'由上可得%—（\+（”—1）。=1+J5（"—I）’

所以，［1+V2（n-1）］2=［l+A/2（m-l）］-［l+V2（p-l）］,

整理得：2/—4n+2垃n=母（m+/?）+2mp-2p-2m,

2n=m+p2n=m+p

所以，2，可得＜

2n-4n=2mp-2p-2mn2=mp，

可得（笠=mp,整理可得—p）2=0,可得加=夕，

与已知条件矛盾，所以，数列｛%｝中任意三项不能构成等比数列，

同理可知，数列｛%｝中任意三项不能构成等比数列，故C正确，D错误.

故选：BC

12.如图，己知棱长为2的正方体ABC。-A4G。，点尸是棱A3的中点，过点尸作正方体

ABC。-的截面，关于下列判断正确的是（）

A.截面的形状可能是正三角形

B.截面的形状可能是直角梯形

C.此截面可以将正方体体积分成1：3

D,若截面的形状是六边形，则其周长为定值

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：取相应棱8月,的中点分析判断；对于B：假设成立，结合面面平行的性质以及线面

垂直分析判断；对于C：。为所在棱44中点，结合棱柱的体积分析判断；对于D：设石为的中点,

ZIMA=/FNC=8,结合几何性质求周长，进而分析判断.

【详解】假设正方体棱长为2.

对于选项A：如图，M,N分别为所在棱中点，

可知PM=PN=MN,即截面的形状是正三角形，故A正确;

对于选项B：由面面平行的性质可知：PM//QN,

如果为直角梯形，例如对

由正方体的性质可知：PM1CQ,可知PA/_L平面5与。］(7,

又因为AB工平面8耳GC,则PM〃A3或PM,A3重合,

由图可知不成立，即截面形状不可能是直角梯形，故B错误;

对于选项C：。为所在棱中点，如图，

APB

则正方体的体积为8,三棱柱BPC一片。©的体积为gxlx2x2=2,

所以截面将正方体分成2:(8-2)=1:3,故C正确；

对于选项D：如图所示，假设E为的中点，ZIMA=ZFNC=O,

则AP=CE=A/A=CN=1,7A=CE=tan0,^1==2—tan。,

22

AH=C]G=-1,DH=DG=3-

tan。}Xtan。

可得PE=y[i,PI=EF=7tan20+l=GF=—...........—,HG=3及—，

cos。sin。cos。tan。

20

则六边形的周长为PE+2（/P+"/）+HG=40+4

sin。tan，

显然周长与。有关，即六边形的周长不是定值，故D错误；

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：对于选项D：取特殊位置，假设E为的中点，ZIMA=ZFNC=O,结合几何

形状求周长，进而分析判断.

非选择题部分

三、填空题（本大题共4小题，共20分.）

13.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，第一排21个座位，从第2排起后一排都比前一排多两个

位置，那么这个报告厅共有排座位.

【答案】20

【解析】

【分析】将各排的座位数依次排成一列，构成等差数列，再利用等差数列的前〃项和公式求项数.

【详解】设这个报告厅共有〃排座位，

报告厅的座位从第1排到第九排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前〃项和为

根据题意，数列是一个首项为21公差为2的等差数列，且5“=800.

71（72—1）

由S〃=2山+△——^x2=800,由“eN*，解得〃=20.

"2

所以这个报告厅共有20排座位.

故答案为：20

14.设曲线y=ea在点（0,1）处的切线与直线2x—y+a=0垂直，则实数。的值为.

【答案】—4##-0.5

2

【解析】

【分析】求出函数的导函数，即可表示出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为T求出参数的值.

【详解】因为y=e内，所以丁'=起'则y'l,=o=a,

因为直线2x—y+Q=。的斜率％=2,所以i=—

2

故答案为：—

2

15.已知正四面体ABC。，点M为棱CD的中点，则异面直线A"与5。所成角的余弦值为.

【答案】正

66

【解析】

【分析】先设正四面体的棱长，设定基底为｛AB,AC,A。｝,表示人加与8C,应用用空间向量的数量积求

解即可.

【详解】正四面体A3CD的棱长设为2,

TT

其中|A例=|AC|=|AD1=2,三个向量AB,AC,AD间的夹角都为,

则AM=；(AC+AD),3C=AC—AB,

AMBC=^(AC+AD)(AC-AB)

12

=-(AC-AC-ABAD-AC-AD-AB)

=g(4—2+2—2)

=1

-21/AC2+2AC-AD+AD2)=|(4+4+4)=3,得|AM|=6，且|BC|=2,

由AM=-

4\

AMBCI1IA/3

异面直线AM与BC所成角的余弦值为!一m一।=——尸=一.

\AM\\BC\2XV36

故答案是：6

6

16.已知点P是直线/：y=x+4上一点，点。是椭圆c：「+/=i上一点，设点M为线段尸。的中点,

a

0为坐标原点，若的最小值为¥,则椭圆c的离心率为.

【答案】2^1##-714

44

【解析】

【分析】根据题意先求出直线/关于原点的对称直线/'：y=x-4,然后利用几何知识得|OM|=

设。(acosasin。)，在利用点到直线的距离公式，从而可求解.

【详解】直线/：y=x+4关于原点的对称直线为/':y=x-4,记直线OP与直线/'的交点为尸，，连结

QP',OM,如图，

为-PQP的中位线，则10M=g|QP[,

设Q(acos6,sine),1mhi=亨,3[山=冬

J|acos"sin"4|]J—交,，…或24,

1LnI拒L02

当/=24时，/'：y=X—4与椭圆相交，|。。[最小值为0,与|QP/n=¥矛盾，舍去.

当标=8时，符合要求，此时，°2=7,椭圆离心率e=B=巫.

2V24

工…电位714

故答案为：--.

【点睛】关键点点睛：本题主要利用数型结合方法，并巧妙设点。(acosRsin。)，从而求出相应的a,c

的值，从而求解.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.)

17.设aeR,函数=+依2+%.

(1)若/(%)有且只有一个零点，求。的取值范围；

(2)若/(%)的一个极值点为1,求函数/(%)的极值.

【答案】17.-2<a<2

4

18./(x)极大=万"(力极小=0

【解析】

【分析】(1)由题意可知函数唯一零点一定是0,故可推出函数丁=必+。％+1无零点，结合判别式，即可

求得答案；

(2)根据函数的极值点求出a,结合导数判断函数的单调性，即可确定极值点，求得极值.

【小问1详解】

/(0)=0,若/(另有且只有一个零点，则这个唯一零点一定是0,

由于=+OX1+x=x(x2+ar+l),

故W0,即函数y=炉+ax+i无零点，

A=ci—4<0,—2<a<2；

【小问2详解】

/(x)=x3+a)C+x：.f(x)=3x2+lax+1,

/(%)的一个极值点为I,.'./(I)=0,.-.a=—2,

=3x2-4x+l=(3x-l)(x-l),

当时，/'(x)<0J(x)单调递减，

当xe+动时，/'(x)>0,/(x)单调递增，

则x=1为函数的极大值点，1=1为函数的极小值点，符合题意，

3

；./(%)极大=/[J=0/(x)极小=/⑴=°.

18.如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AC的中点，且5(0,0),。(3,0).

（2）设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E,当△A3。面积最大且A在第一象限时，求|AE|.

【答案】⑴（x-4）2+y2=4（y^0）

⑵|行

【解析】

【分析】（1）根据两点间距离公式利用|A曰=2|A0|化简整理可得点A的轨迹T的方程为

（1）2+/=4（尸0）；

（2）求出△A3。面积最大时点4（4,2）,可得AC的直线方程为2x—y-6=0,再由弦长公式可得结果.

【小问1详解】

易知|AB|=2|A£）|,

即7%2+/=27（x-3）2+/，

整理可得（x—4>+y2=4（yw0）,

即点A的轨迹T的方程为（X—4）2+/=4（yW0）

【小问2详解】

如下图所示：

由题意可得忸=3,当A到x距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时4（4,2）；

所以kAC=-=2,4。所在直线方程为2》一丁一6=。

/、2

圆心(4,0)到直线AC的距离d=[9

可得\AE\=24—储=：百.

19.如图，是边长为2的等边三角形，且百,NDR4=30°.

(1)若点A到平面5。石的距离为1,求DE;

(2)若且求直线与平面。CE所成角的正弦值.

2

【答案】(1)73

⑵叵

5

【解析】

【分析】(1)根据题意，由点到面的距离公式可证平面应出，再由勾股定理即可得到结果;

(2)根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.

.ABE是边长为2的等边三角形，=2,又NDBA=30°,BD=6,

•.ABD中，AD2=BD2+AB--2BD-ABcosZDBA=1,.\AD=1,

点A到平面BDE的距离为1,不妨设平面BDE的法向量为n,

\AD-n\

则^^二1，

\n\

\AD-n\,.

又AD=1,.1~7—~-=AD，§P|AD'n|=|AD||??|ADn,

同11

平面又DEu平面BDE,..AD±DE,

XD=1,AE=2,:.DE=C.

【小问2详解】

由(l)知AE>2+3£>2=.2,...9上BD

又3石，4),且瓦)cBEnB，

且BD,BEu平面3£>E，.,.AZ)_L平面,

又AD=1,AE=2,DE=y/3,BD=\/3,/.DE=DB,

设CE中点为“，则BC,又A。BC,且AD=13C,

2

:.OHAD,且O7/=AD=1,..OH，平面3£>E；

设3E中点为。，则BELO。，

因此，OD,OE,由两两垂直；

如图建系；则石(1,0,0),"(O,O,l),c(—l,0,2),。(0,应,0),

EC=(-2,0,2),DC=(-1,-A/2,2),BC=2AD=2,ADBC,

:.AD=^BC=OH,AD=OH=(0,0,1)；

设平面DCE的法向量为〃=(羽％z),直线AD与平面DCE所成角为凡

则山石。=0，n-DC=Q>

—2x+2z-0,—x—yp2y+2z=0,取％=1,则〃=

\)

n-ADVid

sin。=wM

20.记为数列｛4｝的前几项和(“eN*),已知％=a,且4,疯,4+]成等比数列.

(1)写出的，并求出数列｛为〃｝的通项公式;

(2)记7；为数列的前”项和，若对任意的〃eN*,7；恒成立，求.的取值范围.

【答案】20.%=1，O2"="("eN’)

21.[2,-H»)

【解析】

【分析】(1)根据题意得4•4+1=5,,再由%=S“—S,i(〃22),再验证的,从而可求解.

〃为奇数，〃为奇数

zxa+n

,从而得a=八，1

(2)求出a“=<即得勿HGN*,从

z

n〃为偶数W1\a+n，〃为偶数

,2

而可求解.

【小问1详解】

由4,底Hz成等比数列得=S“，且4〉0,

当”=1时6,%=%=>。2=1；

当〃之2时，a“_iq=S『i，又4y+i=S“，

，为=S“—S-i=an-an+l--an,:.an+l-a„-1=l(n>2),

经验证当〃=1,%=1符合，

a2"=/+(〃-1)x1=M”eN)

【小问2详解】

a+-~〃为奇数

2

由⑴易得a,={,

〃为偶数

，“为奇数

，〃为偶数

u-rri

m,neN*，

又因为1-1］<1，所以

所以(g］〈J，即。上？，

故。取值范围为［2,+8).

21.已知函数/(x)=e*-ln(x+7")+l.

(1)当“2=1时，求函数/(九)的单调区间;

(2)当机42时，求证：f(x)>1.

【答案】(1)单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+")

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用二次求导法进行求解即可；

(2)利用二次求导法，结合放缩法、构造函数法、函数零点存在原理进行求解即可.

【小问1详解】

当加