高中数学必修二 立体几何单元 教学案

立体几何初步

考纲导读

1.理解平面的根本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、

直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系.

2.了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系.

3.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的

判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理.

4.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判

定定理和性质定理.

5.了解多面体、凸多面体、正多面体的概念.

6.了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图.

7.r解球的概念；掌握球的性质；掌握球的外表积、体枳公式.

知识网络

平面三个公理、三个推论I

平行直I—公理4及等角定理

异面直线所成褊

―I空间两条直I

异面直线间的距离

直|-1直线在平面百

线空间直概念、判定与性质

、直线与平而平'

线—I

平-三垂线定理

U宜线与平面福：

面门一I斜I—直线与平面所施前

、

简

单两个平面平行距离

几-0两个平面平行的判定与性质

一|空间两|

|个平面|一

I—两个平面相二面角

交两个平面垂直的判定与性质I

定义及有关概念

性质I--------

棱柱

棱锥面积公式—综合应用

球

一।体积公式上

1-口多面标"1----1多面体

高考导航

本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化.首先，归纳总结，理线串点，

可分为四块：A、平面的三个根本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线

面，面面的平行与垂直.C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两

线距、线面距、面面距.

其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线

面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙.

再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决,

化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果.

第1课时平面的根本性质

根底过关

公理1如果一条直线上的在同一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内（证明直

线在平面内的依据）.

公理2如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是（证

明多点共线的依据）.

公理3经过不在的三点，有且只有一个平面（确定平面的依据）.

推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.

推论2经过两条_____直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条_____直线，有且只有一个平面.

典型例题

例1.正方体ABCD-AiBiGDi中，对角线AC与平面BDG交于O,AC、BD交于点M.

求证：点Ci、0、M共线.

证明：

A1A/7CC]n确定平面AC]

A|Cu面AC»=>0e面AiC=

OeAiC

面BCiDCl直线AiC=OnO©面BGD

O在面A]C与平面BCiD的交线CiM上

0、M共线

变式训练1：空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证。直线AB和不相交也不平行.

提示：反证法.

例2.直线/与三条平行线a、b、c都相交.求证：/与a、b、c共面.

证明：设aCll=AbCll=Bcni=C

a//b=>a、b确定平面a]nlu0

Aea,BebJ

b〃cnb、c确定平面P同理可证lu「

所以a、。均过相交直线b、Ina、。重合=>cua=>a>b、c、1共面

变式训练2：如图，AABC在平面a外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面a于P、Q、

R点.求证：P、Q、R共线./A

证明：设平面ABCna=L由于P=ABna,即P=平面ABCDa=LAy

即点P在直线1上.同理可证点Q、R在直线1上.去《

，P、Q、R共线，共线于直线1.

例3.假设aABC所在的平面和△AiBCi所在平面相交，并且直线AAi、BB「CG相交于一点0,求

证：（1）AB和AIBI、BC和BICI分别在同一个平面内；

（2）如果AB和AiB”BC和BICI分别相交，那么交点在同一条直线上.

证明ASNAmBB|=O,；.AAi与BBi确定平面a,又；AGa,BGa,A|Ga,B,Ga,；.ABua,

AIBI/钦土苑、AiBi在同一个平面内

同蚣C、磷Ci》£、AiG分别在同一个平面内

色）屐咫？iXigZx,BCCBiG=Y,ACnA,Ci=Z,那么只需证明X、Y、Z三点都是平面AiBiJ与

R

ABC的公共点即可.

变式训练3：如图，在正方体ABCD-AIBICIDI中，E为AB中点，F为AAi中点,

求证：(1)E、C.DisF四点共面；]>___________C)

⑵CE、DF、DA三线共点./I

证明(1)连结AiB那么EF〃A|BA|B〃DCA'j\；fe,

，EF〃DiC，E、F、Di、C四点共面!''、'、、、

(2)面DiACl面CA=DAFLi'卜J

C

，EF〃D|C且EF=»iC\7

...D|F与CE相交又DFu面D|A,CEu面ACA匕B

ADiF与CE的交点必在DA上

ACE.DF、DA三线共点.

例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内.

证明：(1)假设a、b、c三线共点P,但点p^d,由d和其外一点可确定一个平面a

又aDd=A.,.点ACa.,.直线aua

同理可证：b、cua.,.a、b、c、d共面

(2)假设a、b、c、d两两相交但不过同一点

Vanb=Q；.a与b可确定一个平面0

又cflb=EAEGp

同理cCla=FAFCp

二直线c上有两点E、F在p上.♦.cup

同理可证：du。故a、b、c>d共面

由(1)(2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面

变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么？

解:假设AC、BD不异面，那么它们都在某个平面a内，那么A、B、C、Dea.由公理1知或a.

这与AB与fD异面矛盾,所以假设不成立，即AC、BD一定是异面直线。

小结归纳

1.证明假设千点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面.

2.证明点、线共面问题有两种根本方法：①先假定局部点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此

平面内；②分别用局部点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合.

3.证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点.

第2课时空间直线

根底过关

1.空间两条直线的位置关系为、、.

2.相交直线一个公共点，平行直线没有公共点，

异面直线：不同在任平面，没有公共点.

3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相.

4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角.

5.异面直线的判定定理

过平面外一点与平面内一点的直线和平面内—的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)

6.异面直线的距离：和两条异面直线____的直线称为异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在.

的长度，叫两号面直线的距离.

典型例题

例1.如图，在空间四边形ABCD中，AD=AC=BC=BD=a,AB=CD=b,E、F分别是AB、CD的

中点.

(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；

(2)求AB和CD间的距离.

证明：(1)连结CE、DE

AC=BC\

A£>=fiD=>AB，CE]NAB_L面CDE

AE=BE

AAB1EF同理CD_LEF

，EF是AB和CD的公垂线

⑵AECD中，EC=.L2--=ED

变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别为AB、CD的中点，EF=石，求AD、

BC所成角的大小.

解：设BD的中点G,连接FG,EG。在4EFG中EF=6FG=EG=1

/.ZEGF=120°；.AD与BC成60。的角。

例2.S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA=SB=SC,

且NASB=NBSC=NCSA=X,M、N分别是AB和SC的中点.

2

求异面直线SM与BN所成的角.

证明：连结CM,设Q为CM的中点，连结QN那么QN〃SM

ZQNB是SM与BN所成的角或其补角

连结BQ,设SC=a,在△BQN中

BN=£NQ="M=&BQ=®,

2244

BN2+NQ2-BQ2V10

ACOSZQNB=

2BN-NQ

/.ZQNB=arccos

变式训练2：正△ABC的边长为a,S为AABC所在平面外的一点，SA=SB=SC=a,E,F分别是SC

和AB的中点.

(1)求异面直线SC和AB的距离;

(2)求异面直线SA和EF所成角.

答案：(1)今a(2)45°

例3.如图，棱长为1的正方体ABCD-AIBICIDI中，M、N、

分别为AiBi、BBi、CG的中点.

(1)求异面直线DiP与AM,CN与AM所成角；

(2)判断DF与AM是否为异面直线？假设是，求其距离.

解：(1)D|P与AM成90。的角

AB

CN与AM所成角为arccos|.

(2)是.NP是其公垂线段,D.P与AN的距离为1.

变式训练3：如图，在直三棱柱ABC—AiBCi中,

ZBCA=90°,M、N分别是AIBI和AiG的中点，

假设BC=CA=CC”求NM与AN所成的角.

解：连接MN,作NG〃BM交BC于G,连接AG,

易证NGNA就是BM与AN所成的角.

设：BC=CA=CG=2,那么AG=AN=K,GN=BIM=K,

6+5-5反

cosZGNA=

2x76x7510

例4.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PAL底

面ABCD,AE±PD,EF〃CD,AM=EF.

(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

⑵假设PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.

(1)证明：；EF〃CDAM〃CD

二AM〃EF,又AM=EFAMFE为平行四边形

VAB±PA,AB±ADAPAD

/.ABXAE,又AE〃MF,AABIMF

又•.•AE_LPDCD±AE人£，面PCD

，AE1PCMF±PCMF为AB与PC的公垂线.

⑵设AB=1,那么PA=3,建立如下图坐标系.由得通=(。,X,Q

A8=(l,0,0)

cos<AC,%>=3.AC与面EAM所成的

面MFEA的法向量为％=(0,1,—3),AC=(1,1,0),

10

角为5-arccos6,其正弦值为它.

21010

变式训练4：如图，在正方体—中，

E、F分别是881、CD的中点.

(1)证明AD_L。/；

(2)求AE与。F所成的角。

(1)证明：因为AG是正方体，所以ADL面DG

又DBuDCi,所以AD_LDF.

(2)取AB中点G,连结AiG,FG,

因为F是CD的中点，所以GF4sAD,

又AIDI〃AD,所以G%A|Di，

故四边放GFD1A1是平彳踵边形，AQ〃DF。

设AiG与AE相交于H,那么/AiHA是AE与D】F所成的角。

因为E是BBi的中点，所以RtAAiAG^AABE,NGA|A=NGAH,从而NA|HA=90。,

即直线AE与DF所成的角为直角。

小结归纳

1.求两条异面直线所成角的步骤：（1）找出或作出有关角的图形；（2）证明它符合定义;

（3）求角.

2.证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法（排除相交或平行）、定理法.

3.求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法.

第3课时直线和平面平行

根底过关

1.直线和平面的位置关系、、.

直线在平面内，有___________公共点.

直线和平面相交，有____―公共点

直线和平面平行，有____一公共点

直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外.

2.直线和平面平行的判定定理

如果平面外和这个平面内平行，那么这条直线和这个平面平行.

（记忆口诀：线线平行线面平行）

3.直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面，经过平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（记忆

口诀：线面平行线线平行）

典型例题

例1.如图，P是△ABC所在平面外一点，MePB,

试过AM作一平面平行于BC,并说明画法的理论依据.

解：在平面PBC内过M点作MN〃BC,交PC于N点，

连AN那么平面AMN为所求

根据线面平行的性质定理及判定定理

变式训练1：在正方体ABCD—AIBICIDI中，M、N分别是AiB和AC上的点，且AiM=AN.

求证：MN〃平面BBiCiC.

证明：在面BAi内作MMi〃AB交BBi于Mi

在面AC内作NNi〃AB交BC于Ni

易证MMi可

例2.设直线a〃a,P为。内任意一点,求证：过P且平行a的直线2必在平面。内.

证明：设a与p确定平面p,且anp=a，,那么a'〃a

又.aH\lCla'=p

.'.a与a'重合.".lea

变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.

解：aD|3=la〃aa〃0求证：a〃l

证明：过a作平面丫交平面a于b,交平面0于C,

Va/7a>；.a〃b

同理，；a〃p，a〃c；.b〃c

又；buR且cu。；.b〃B

又平面a经过b交B于1

，b〃l且a〃b：.a//l

例3.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PDJ_底面ABCD,PD=DC,E是PC

的中点.

(1)证明：PA〃平面EDB；p

(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值.

(1)证明：提示，连结AC交BD于点0,连结E0.

(2)解：作EF_LDC交DC于F,连结BF.

设正方形的边长为；底面

ABCDa.PD_LABCD,APD1DC.B

EF〃PD,F为DC的中点.，EF_L底面ABCD,

BF为BE在底面ABCD内的射影，D

ZEBF为直线EB与底面ABCD所成的角.

在RSCF中，BF=yll3C2+CF2=—a

2

EF=-!-PD=-,在RtAEFB中，

22

tanZEBF=—=.所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

BF5

变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱

AB和CD,试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？

解：易证截面EFGH是平行四边形

设AB=aCD=bZFGH=a(a>b为定值，a为异面直线AB与CD所成的角)

又设FG=xGH=y由平几得：磊誉嘿

•*.—+—=1.\y=—(a-x)

aba

SEFGH=FGGHsina=x・-(a—x)sina

Da

=^inax(a_x)

a

Vx>0a—x>0且x+(a—x)=a为定值

・•・当且仅当x=a—x

即x=］时(SoEFGH)max=W^

例4.：zXABC中，NACB=90。，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将△ADE折起使A到A'的位

置，假设平面BCDE,M是AB的中点，求证：ME〃面A'CD.

证明：取AC的中点N,连MN、DN,

那么MN=1BC,D后1BC

22

AMN=DE；.ME〃ND

又ME<z面A'CDNDu面ACD

，ME〃面A'CD

变式训练4：(2005年北京)如图，在直三棱柱ABC—AIBICI中，AC=3,BC=4,AB=5,AA|=4,

点D是AB的中点.

(1)求证：AC1BCI；

⑵求证：AG〃平面CDBi；

（3）求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值.

解：（1）直三棱柱ABC-AIBICI，底面三边长AC=3,BC=4,AB=5.

AACIBC,且BG在平面ABC内的射影为BC,AACIBC,；

（2）设CBi与CiB的交点为E,连结DE,是AB的中点,E是BQ

的中点，；.DE〃AG

.♦.DEu平面CDBi，ACi<z平面CDBi，ACi〃平面CDB|；

⑶...DE//AG，...CED为AG与BiC所成的角,在4CED中，ED="C产?CD杉AB=?，

CE=*B尸2板,/.cosZCED=——-~~力巫

2x2-72x-5

2

.•.异面直线AC.与B）C所成角的余弦值为半.

小结归纳

1.证明直线和平面平行的方法有：（1）依定义采用反证法；（2）判定定理；（3）面面平行性质；（4）向量法.

2.辅助线（面）是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用.

第4课时直线和平面垂直

根底过关

1.直线和平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面的__________直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直.

2.直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

3.直线和平面垂直性质

假设aJ_a,bua那么

假设aJ_a,bJ_a那么

假设a_La,a,/那么

过一点和平面垂直的直线有且只有一条.

4.点到平面距离

过一点作平面的垂线叫做点到平面的距离.

5.直线到平面的距离

--条直线与一?平面平行时,这条直线上到这个平面的距离叫做直线到平面距离.

典型例题

例l.OA、OB、0C两两互相垂直，G为AABC的垂心.求证：OGJ•平面ABC.

证明：VOA.OB、0C两两互相垂直

：OA_L平面OBC.,.OA±BC

又G为4ABC的垂心

二AGJ_BC,，BCJ^OAG

ABC1OG

同理可证：ACXOG又BC("IAC=C

，OG_L平面ABC

变式训练1：如图SA_L面ABC,ZABC=90°,AE1SB,且SBClAE=E,AFXSC,且AFDSC=F,求

证：(1)BC_L面SAB；(2)AElffiSBC；(3)SC±EF.

证明：⑴BC，叫nBCJ_面SAB

BC1SA]

⑵由⑴有nAEJ_面SBC

AE1SB\

(3)由⑵有",sc]=sc，面AEFnSC_LEF

AF±SC

例2如图，PAL矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点.

(1)求证：MN1CD；

(2)假设/PDA=45。，求证：MN_L面PCD.

证明：(1)连AC取中点O,连NO、MO,并且MO交CD于R

为PC中点，NO为aPAC的中位线NO/7PA

而PA_L平面ABCD...NO,平面ABCD

，MN在平面ABCD的射影为MO,又ABCD是矩形

M为AB中点，O为AC中点AMO±CD

ACD±MN

(2)连NR,那么NNRM=45o=NPDA

又O为MR的中点，且NOLMR

.♦.△MNR为等腰三角形且NNRM=NNMR=45。

AZMNR=90°AMN±NR又MN_LCD

，.MN_L平面PCD

变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB1AC,PA±AB.

求证：①ABCD是正方形；②PC_LBC.

证明：略

例3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD_L底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、

PB的中点.^Zlp

(1)求证：EF,平面PAB；/

⑵设AB=V5BC,求AC与平面AEF所成的角的大小./

(1)证明：连结EP.：PDJ_底面ABCD,DE在/

平面ABCD中，APD±DE,又CE=ED,PD=AD=BC,ET/

ARtABCE^RtAPDE,；.PE=BED___A/

DA

为PB中点，.*.EF±PB.

由垂线定理得PA_LAB,.•.在RtZ!\PAB中，PF=AF,又PE=BE=EA,AEFP^AEFA,

AEF1FA.

,/PB、FA为平面PAB内的相交直线，；.EF_L平面PAB.

(2)解：不防设BC=1,那么AD=PD=1,AB=6,PA=6,AC=6，Z\PAB为等腰直角三角

形.且PB=2,F是其斜边中点，BF=1,且AFJ_PB.：PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂

直.；.PB_L平面AEF.连结BE交AC于G,作GH〃BP交EF于H,那么GH_L平面AEF.

ZGAH为AC与平面AEF所成的角.

由△EGCs^BGA可知EG=，GB,EG=-EB,AG=-AC=—.

2333

由△EGHs^BGF可知GH=-BF=-

33

.,.sinZGAH=—=

AG6

AAC与面AEF所成的角为arcsin理.

6

变式训练3：如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD_L平面BCD,NBAD=NBDC=90。，AB=AD

=3拒，BC=2CD.求：

(1)求AC的长；

⑵求证：平面ABC_L平面ACD；

(3)求D点到平面ABC的距离d.

解：⑴V30⑵略.

⑶因VA—DBC=—(—DCxBD)xOA—6Vs>

又VD-ABC=g(JABxAC)xd—^\5d>

VA-BCD=VD-ABC,那么Vi^d=66,解得d=6f.

例4：如图，棱长为4的正方体AG，0是正方形A1B1GD1的中心，点P在棱CG上，且CG=4CP.

(1)求直线AP与平面BCGBi所成角的大小；

(2)设O点在平面DiAP上的射影是H,求证：DiHlAP；

(3)求点P到平面ABDi的距离.

答案：(1)NAPB=arctan

17

(2)AP在面AC上的射影为AC又ACJ_BD

.*.PA±BD而BD〃BD.IBiDjAP

而B1D1在平面DiAP上的射影为DiH.\D|H±AP

(3)面ABDi_1_面BCi过P作PM_LBCi于M

那么PM=±®

2

变式训练4：三棱锥v—ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直,顶点V在底面内的射影是H.

(1)求证H是AABC的垂心；

⑵^IABV=SAAKHS^ABC■

(1)证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点,

VVA1VB,VA1VC,VBDVC=V,

.♦.VA1.VBC面，又BCuVBC面，；.BC_LVA.

：VHJ_ABC面，BCuABC面，

.".BC1VH,又VACVH=A,.,.BC±VHAffi.

又ADuVHA面，AAD1BC,同理可得CE_LAB,

，H是4ABC的垂心.

(2)连接VE,在RtZWEC中,VE2=EHXEC

-AB2XVE2=-AB2XEHXEC,

44

即^MBV=SgBH^MBC■

小结归纳

线面垂直的判定方法：(1)线面垂直的定义；(2)判定定理;

(3)面面垂直的性质；(4)面面平行的性质：假设a〃户，a_L，那么aJ_a

第5课时三垂线定理

根底过关

1.和一个平面相交，但不和这个平面

的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做.

2.射影(1)平面外一点向平面引垂线的叫做点在平面内的射影;

(2)过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的.

斜线上任意一点在平面上的射影一定在.

垂线在平面上的射影只是.

直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线一的一条直线.

3.如图，A0是平面a斜线，A为斜足，OBJ.a，B

为垂足，ACua,NOAB=q,ZBAC=6»,>

ZOAC=0,那么cos。=

4.直线和平面所成的角

平面的斜线和它在这个平面内的所成

的.叫做这条直线和平面所成角.

斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中

5.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的,垂直，那么它也和

垂直.

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条____垂直，那么它也和这条—垂直.

典型例题

例1.RtAABC的斜边BC在平面。内，A到。的距离2,两条直角边和平面«所成角分别是45。和30。.求:

(1)斜边上的高AD和平面。所成的角；

(2)点A在a内的射影到BC的距离.

答案：(1)60。(2),后

变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB,塔顶A到道路距离为AC,且测得NBCA=30。,

在道路上取一点D,又测得CD=30m,ZCDB=45°.求电塔AB的高度.

解：BC=30,AB=BCtan30°=10V3

例2.如图，矩形纸片AiA2A3A4,B、C、Bi、Ci

分别为A1A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿

BB”CG折成三棱柱，假设面对角线A|B|_LBG；

求证:A2C-LA|B|.

解：取A2B1中点Di•.•A2G=BCIACiDilA.Bi

又A1A2-L面A2B1C1.'.CiD|,LA1A2

，GD」面A1A2B1BABDi是BG在面A2B上的射影

由ABJ_BCiABDIIAIBI

取AiB中点D同理可证A2D是A2c在面A2B上的射影

VA2D^BD!...A2DBD1是平行四边形

,

由BD|_LAH..AIBI±A2D

A2C_LA1B1

变式训练2：如图，在正三棱柱ABC-AiBiG中，AB=3,AA|=4,M为AAi中点，P是BC上一点,

且由P沿棱柱侧面经过棱CG到M的最短路线长病，设这条最短路线与CG交点N,求：

(1)PC和NC的长；Ai

(2)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小.

解：将侧面BBCC绕棱CG旋转120。使其与侧面M

AACC在同一平面上，点P运动到点Pi的位置，

连接MP”那么MPi就是由点P沿棱柱侧面经过棱CG到点M的最短路线

A

设PC=x,那么PiC=x,在Rt/XMAPi中，由勾股定理得x=2

，PC=PiC=2•.*=空=2ANC=-

MAPtA55

(2)连接PP1,那么PP1就是平面NMP与平面ABC的交线,作NH_LPPi于H,又CC」平面ABC,连

结CH,由三垂线定理得CHJ_PP|

IZNHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)

在RtAPHC中,//PCH=-NPCPi=60。

2

.•.CH=/=1

2

在RtAPHC中tanNHC=1

故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan1

例3.如图在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，

点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.

(1)试确定点F的位置，使得DiE，面ABF；

(2)当DiE，面ABF时，求二面角Ci—EF—A大小.

解：(1)连结AiB,那么AiB是DiE在面ABBiAi内的射影

VABilAiB.,.DiELABi

于是D|E_L平面ABiF<=>D,E±AF

连结DE,那么DE是DiE在底面ABCD内的射影

ADiElAFoDE±AF

：ABCD是正方形，E是BC的中点

.•.当且仅当F是CD的中点时，DEJ_AF

即当点F是CD的中点时，DiE上面ABF

(2)当DiE，平面ABF时，由(1)知点F是CD的中点，又点E是BC的中点，连结EF,那么EF〃BD

连AC,设AC与EF交点H,那么CH_LEF,连C|H,那么CH是CiH在底面ABCD内的射影

ACiHlEF

即/CiHC是二面角Ci—EF-C的平面角

在RtaGHC中：CiC=lCH=，AC=①

44

，tan/CiHC=^=2痣

ZCiHC=arctan2拒

ZAHC।=7C—arctan241

变式训练3：正方体ABCD-AIBIGDI中棱长a,点P在AC上，Q在BG上，AP=BQ=a,

(1)求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；

(2)求证：PQ1AD

(1)解：过Q作QM〃CCi交BC于M那么QM_L面ABCDNQPM就是所求角

.・.BQ=BMntxrJiBM=―=a—♦*♦CM=42a=—a

BCiBCBCJiaBC6a

CP=而-〃・CM__CP

・・・PM〃AB

AC-Jia••~BC~~AC

在RtZ\PQM中PM=^1«QM=0〃

V2V2

■Jia

tanZQPM=翌-=—=2——=啦+1

PMV2-1

-T~a

-J2

(2)由(1)可知PMJ_BCPQ在面ABCD内的射影是PM.

APQ1BC又AD〃BCAPQ1AD

例4.如图，在长方体ABCD—AIBIGDI中，AD=AA|=1,AB=2,点E在棱AB上移动.

(1)证明：D|E_LA|D：

(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD,的距离；

(3)AE等于何值时，二面角Di-EC—D的大小为

4

(1)证明:・「AE_L平面AAiDDi，A)D±ADi，AAiDlDiE.

⑵设点E到面ACDi的距离为h,在aACD]中，AC=CDj=VF,AD[=拒，S皿1c=；•亚・卜

^-ABC=]SAABCDD1=-S^ch

/--xl=-xh,・・.h=-

223

(3)过D作DH_LCE于H,连D】H、DE,那么D|H_LCE,，NDHDi为二面角D1一EC—D的平面角.设

AE=x,那么BE=2—x

在Rtz^DiDH中，VZDHDi=-,ADH=1

・・,在RtAADE中，DE=71+x2，，在RtADHE中，EH=x,在RtADHC中，CH=6,CE=7x2-4x+5,

那么x+V3=ylx2-4x+5,解得X=2—V3.

即当x=2—V3时，二面角为Di—EC—D的大小为二.

4

变式训练4：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a,PA=PC=拒a.

(1)求证：PDlffiABCD；

(2)求直线PB与AC所成角；於、

(3)求二面角A-PB-D大小./;

证明：(1)；PC=&aPD=DC=a

/.PD2+DC2=PC2j/\/C

...△PDC是直角三角形.*.PD±DCAB

同理PD_LDAXVDACIDC=D

，PD_L平面ABCD

(2)连BD：ABCD是正方形AAC±BD

又PD_L平面ABCDAC_LPB(三垂线定理)

.♦.PB与AC所成角为90。

(3)设ACflBD=0作AE_LPB于E,连OE

VAC1BDPDJ_平面ABCDACu面ABCD

；.PD_LAC，AC_L平面PDB

又VOE是AE在平面PDB内的射影

.*.OE±PB

ZAEO就是二面角A-PB-0的平面角

又♦.,AB=aPA=^2(iPB=Qa

：PD_L面ABCDDA±ABAPA±AB

在RtAPAB中AEPB=PAAB

.\AE=^«AO=旦

AsinZAEO=旦：.ZAEO=60°

------------------2

小结归纳

1.求直线和平面所成的角的一般步骤是一找（作），二证，三算.寻找直线在平面内的射影是关键，根本

原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决.

2.三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一

抓住斜线，二作出垂线，三确定射影.

3.证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线，面=线，线；向量法.

第6课时平面与平面平行

根底过关

1.两个平面的位置关系：

2.两个平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条____直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

（记忆口诀：线面平行，那么面面平行）

3、两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行.

(记忆口诀：面面平行，那么线线平行)

4.两个平行平面距离

和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的局部叫做两个

平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离.

典型例题

例1.如图，正方体ABCD-AIBIGDI中，M、N、E、F分别是棱A|B|、AiD,.BiG、CQi中点.

(1)求证：平面AMN〃平面EFDB；

(2)求异面直线AM、BD所成角的余弦值.

解：(1)易证EF〃BiD|MN〃BQi；.EF〃MN

AN〃BE又MNCAN=NEFClBE=E

.,.面AMN〃面EFDB

(2)易证MN〃BD二ZAMN为AM与BD所成角

易求得cosNAMN=®"

10

变式训练I:如图，a//P,AB交。于A、B,

CD交夕于C、D,ABCCD=O,O在两平面.

AO=5,BO=8,CO=6.求CD.

解：依题意有AC〃DB丝=丝即\

OBOD8OD

：.OD=48・••CD=9+6V

T

例2.平面。〃平面夕，AB、CD是夹在平面a和平面月间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上,

且空=空=上求证：EF〃a〃夕.

EBFDn

证明：1°假设AB与CD共面，设AB与CD确定平面Y，那么any=ACpny=BD

Va//B，AC〃BD又丫生=竺

rEBFD

：.EF〃AC〃BD・•・EF〃a〃p

2。假设AB与CD异面，过A作AA以CD

在AA，截点O,使空=空=又=乂

OA,tEBFDn

...EO〃BA'OF〃A'D

平面EOF〃a〃p；.EF与a、0无公共点

.•.EF〃a〃p

变式训练2：在正方体ABCD-AIBIGDI中，M、N、P分别是CG、BCi、GDi的中点.

求证：(1)AP_LMN；

⑵平面MNP〃平面AiBD.

证明：⑴连BG易知AP在BCCB内射影是BG

BC」MN；.AP_LMN

⑵•，瑞卜面MNP〃面ABD

例3.a和b是两条异面直线.

(1)求证：过a和b分别存在平面a和［3,使a〃B；

(2)求证：a、b间的距离等于平面a与p的距离.

(1)在直线a上任取一点P,过P作b，〃b,在直线b上取一点Q

过Q作a，〃a设a,b'确定一个平面a

a',b确定平面Ba'//aaua/.a!//a

同理b〃a又a'、bep.*.a//p

因此，过a和b分别存在两个平面a、P

(2)设AB是a和b的公垂线，那么AB_Lb,AB±a.,.AB±a,

或和b是。内的相交直线，同理ABLa

因此，a,b间的距离等于a与p间的距离.

变式训练3：如图，平面a〃平面仇线段PQ、PF、QC分别交平面a于A、B、C、点，交平面于D、

F、E点，PA=9,AD=12,DQ=16,AABC的面积是72,试^△DEF

的面积.

解：平面a〃平面0,；.AB〃DF,AC〃DE,

，NCAB=NEDF.在4PDF中，AB〃DF,DF=—AB

PA+AD

同理