湖北省黄石市2021年中考数学试卷（解析版）

2021年湖北省黄石市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.—工的倒数是（）

2

A.-2D.±-

2

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用倒数的定义得出答案.

【详解】解：—工的倒数是：-2.

2

故选：A.

【点睛】本题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键.

2.下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.梯形B.等边三角形C.平行四边形D.矩形

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可.

【详解】A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；

B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；

C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；

D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质

是解题的关键.

3.如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（）

正面/

A.B.

c出

【答案】D

【解析】

【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可.

【详解】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2,1.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置.

4.计算（—5dy）2的结果是（）

A.25好丫2B.25/y2C.—5x3y2D.-10x6,2

【答案】B

【解析】

【详解】解：（一5dy），25x6y2.故选B.

5.函数丁=71十+（1一2）°自变量x的取值范围是（）

VX+1

A.x>—1B.%>2C.x>-l且％工2D.%。一1且xw2

【答案】C

【解析】

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不为0以及零次幕的底数不为0,列式计算即可得解.

【详解】解：函数y=方二+（苫—2）°的自变量x的取值范围是：

A/X+1

x+l>0且％-2w0,

解得：%>-1且xw2,

故选：C.

【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑:

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

6.为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集

活动，从八年级5个班收集到的作品数量(单位：件)分别为50、45、42、46、50,则这组数据的众数是

()

A.46B.45C.50D.42

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数.

【详解】解：这组数据中出现次数最多的是50,

所以众数为50,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了众数，解题的关键是掌握众数的定义.

7.如图，ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是(-1,0),现将,A6c绕A点按逆

时针方向旋转90。，则旋转后点。的坐标是()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-3,2)

【答案】B

【解析】

【分析】在网格中绘制出CA旋转后的图形，得到点C旋转后对应点.

【详解】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90°图形，

由图可得：点C对应点C的坐标为(-2,3).

故选B.

【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转.

8.如图，A、3是。上的两点，ZAOB=60°,0/，人3交，。于点尸，则NSA厂等于()

B.22.5°C.15°D.12.5°

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得AAO3是等边三角形，结合OPLAB可得N&4尸=30°,再根据“同弧所对的圆周角等

于它所对圆心角的一半”即可得出/84尸.

【详解】解：'：OA=OB,ZAOB=60°

...△AOB是等边三角形，

•/OFA.AB

：.ZBOF=-AAOB=3Q°

2

ZBAF=-NBOF=-x300=15°

22

故选：C

【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系，掌握“同

弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”是解题的关键.

9.如图，在及.-A5C中，NACB=90°,按以下步骤作图：①以3为圆心，任意长为半径作弧，分别交B4、

于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作

2

射线BP，交边AC于。点.若A3=10,BC=6,则线段CD的长为()

【答案】A

【解析】

【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是NABC的角平分线，过。点作DH±AB于H点,设DC=DH=x则

AD=AC-DC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,在R3AD8中，由勾股定理得到(8-x)2+42,由此

即可求出x的值.

【详解】解：由尺规作图痕迹可知，2。是NA2C的角平分线，

过。点作。HLAB于H点，

"：ZC=ZDHB=9Q°,

:.DC=DH,

AC=^AB2-BC2=y/102-62=8，

iSDC=DH=x,贝UAD=AC-OC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,

在RtAA。/中，由勾股定理：AD2=AH2+DH2>

代入数据：（8—x）2=必+4?,解得尤=3,故CD=3,

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等

相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键.

10,二次函数>=。必+6%+。3b、c是常数，且awO）的自变量x与函数值V的部分对应值如下表:

X・・・-1012・・・

y・・・m22n・・・

3

且当％=—时，对应的函数值y<0.有以下结论：®abc>Q；②m+a<—5；③关于x的方程

改2+"+°=0的负实数根在—1■和0之间；④4（/—l，x）和在该二次函数的图象上，则当

实数/〉；时，％〉为•其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.③④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】①将点（0,2）与点（1,2）代入解析式可得到以6互为相反数，c=2,即可判断；

3

②将x=-l与代入解析式得到必和”的表达式，再结合当％=5时，对应的函数值y<0,即可表示出

m+n的取值范围；

3

③根据点（1,2）与当x=—时，对应的函数值丁<0可知方程依2+法+C=0的正实数根在1和2之间，

2

结合抛物线的对称性即可求出方程依2+法+C=o的负实数根的取值范围；

④分类讨论，当:在抛物线的右侧时，［的横坐标恒大于等于对称轴对应的X的值时必有X>%，求出

对应的/即可；当P［与g在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当6的横坐标到对称轴的距离小于£到

对称轴的距离时满足%>内，求出对应的t即可.

c=2

【详解】①将点（0,2）与点（1,2）代入解析式得：\,",贝"b互为相反数，••.。儿<0,

a+b+c=2

故①错误；

②•：a、6互为相反数，

...将尸-1与尸2代入解析式得：m=n=2a+2,

则：m+n—4a+4,

3

•・•当％=5时，对应的函数值y<0,

Q

得：3。+8<0,即：aV—,

3

“一20

m+n=4a+4<.

3

故②正确；

3

③：函数过点（1,2）且当x=—时，对应的函数值y<0,

2

3

...方程or?+Zzr+c=0的正实数根在1和一之间，

2

:抛物线过点（0,2）与点（1,2）,

结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=~,

2

.♦.结合抛物线的对称性可得关于X的方程依2+以+c=o的负实数根在-工和0之间.

2

故③正确；

3

④：函数过点（1,2）且当x=—时，对应的函数值y<0,

2

可以判断抛物线开口向下，

VR在抛物线的右侧时，心恒在抛物线的右侧，此时%>为恒成立，

13

耳的横坐标大于等于对称轴对应的x,gpz-i>-,解得/2万时％〉为；

..•当耳与£在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当耳的横坐标到对称轴的距离小于P2到对称轴的距离

t-i<-

911

时满足%>%，即当<1时，满足%>%，

t+l>-22

[2

17113

上当一5<'<]时，解得即4与乙在抛物线的异侧时满足为〉为，-<?<->

...综上当f>5时，％〉％•

故④错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛

物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.

二、填空题（11一14小题，每小题3分，15—18小题，每小题3分，共28分）

【答案】73

【解析】

【分析】先分别化简负整数指数哥和绝对值，然后再计算.

【详解】U—2一2卜2+(6—2)=2+6—2=收

故填：百.

【点睛】本题考查负整数指数幕及实数的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键.

12.分解因式：tz3—2tz2+a—.

【答案】a(a-l)2.

【解析】

【分析】观察所给多项式有公因式。，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解.

【详解】解：原式=a(/—2a+l),

=a(a-l)",

故答案为：a(a-l)2.

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一

般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止.

13.2021年5月21日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为14.12

亿人用科学记数法表示14.12亿人，可以表示为人.

【答案】1.412x109

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中上同＜10,“为整数.确定”的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：14.12亿人=1412000000人.用科学记数法表示，可以表示成为1.412x109,

故答案为：1412x109.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中上同＜10,“为整

数，表示时关键要正确确定。的值以及w的值.

11—x

14.分式方程」+三=3的解是___.

尤一22-x

【答案】x=3

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

去分母得:l-（l-x）=3（x-2）,

去括号化简得：2x=6,

解得：x=3>

经检验x=3是分式方程根，

故填：x=3.

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

15.如图，直立于地面上的电线杆A3,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是8C、CD,测得

BC=5米，CD=4米，ZBCD=150°,在。处测得电线杆顶端A的仰角为45。，则电线杆A5的高度约

为米.（参考数据：&=1.414,6。1.732,结果按四舍五入保留一位小数）

【答案】10.5

【解析】

【分析】延长AD交2C的延长线于E,作。ELBE于R根据直角三角形的性质和勾股定理求出。/、CF

的长，根据正切的定义求出EF,得到8E的长，根据正切的定义解答即可.

【详解】解：延长交的延长线于E,作。于R

ZBCD=150°,

.•.ZDCF=30°,又CD=4,

:-DF=2,CF={CD2-DF2=2折

由题意得NE=45。，

：.EF=DF=2,

：.BE=BC+CF+EF=5+2.+273=7+2石,

:.AB=BExtcmE=(7+26)xl，0.5米，

故答案为：10.5.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

16.将直线丁=一％+1向左平移〃z(机＞0)个单位后，经过点(1,-3),则冽的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为y=-(%+帆)+1,然后把点(1,-3)的坐标代入求值即可.

【详解】解：将一次函数y=-x+l的图象沿尤轴向左平移机(m＞0)个单位后得到y=—(x+w)+l,

把(1,-3)代入，得到：-3=-(l+m)+l,

解得m=3.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律”左加右减，上加下减”直接代入函数解

析式求得平移后的函数解析式是解题的关键.

3

17.如图，A、3两点在反比例函数丁=——(尤＜0)的图象上，A5的延长线交X轴于点。，且A3=23。,

则△AOC的面积是

【解析】

3

【分析】过A、B两点作X轴的垂线，交X轴分别于E、尸两点，得到△CBFs△CAE,设A(a,--),其中(a<0),

a

进而得到=,。。=-4。即可求出△AOC的面积.

3a

【详解】解：过A、2两点作无轴的垂线，交无轴分别于从尸两点，如下图所示：

•：AB=2BC,

.CB_1

••=一,

CA3

,:EF〃BF,

△CBFs公CAE,

•_C_B__C_F___B_F___1

'*C4-CE-AE-3

设—33],其中(a<0),则AE=-9,

aa

1

BF=-AE=-

3a

B(3a,—

a

OF=-3a,OE=-a,EF=-la,CF=—EF=-a,OC=-4a,

2

：.5=-OC^iM=-(-4a)?(-=6,

mco22a

故答案为：6.

【点睛】本题考查了反比例函数的图形及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各图形的性质及判定

方法是解决本题的关键.

18.如图，在正方形ABCD中，点E、尸分别在边BC、CD上，且ZE4F=45。，AE交BD于4点,

AF交BD于N点.

(1)若正方形的边长为2,则△CEF的周长是

(2)下列结论：①5M2+DN?=儿皿2；②若尸是CD的中点，则tanNAE『=2；③连接加广，则_41"

为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是(把你认为所有正确的都填上).

D

【答案】①.4②.①③

【解析】

【分析】⑴将AF绕点A顺时针旋转90°,F点落在G点处，证明DEA/也DEAG(S4S),

DR4D名EGAB(SAS),进而得到EF=DF+5E1,即可求出△CEF的周长;

⑵对于①：将AM绕点A逆时针旋转90°,M点落在H点处，证明DB409:DDAH(S4S),

EMAN^UJAN(SAS)即可判断;

对于②：设正方形边长为2,BE=x,贝CE=2-x,在RtAEFC中使用勾股定理求出x,在利用

ZAEF=ZAEB即可求解；

对于③：证明A、M、F、。四点共圆，得到/AFA仁/AOM=45。进而求解.

【详解】解：（1）将AF绕点A顺时针旋转90。，尸点落在G点处，如下图所示：

VZEAF=45°,且？FAG90

ZEAG=45，

AF=AG

在AE4F和AE4G中：＜NE4R=NE4G=45,

AE=AE

：.DEAb也DEAG(SAS),

EF=GE,

又/l+/2=45°,Z3+Z2=45°,

.\Z1=Z3,

：ABC。为正方形，

：.AD=AB,

AD=AB

在此4£)和AG43中：＜N1=N3,

AF=AG

：.LFAD^IJGAB(SAS),

•••?ABG?ADF=90

；•很BG+ABE=90+90=180，

G、B、E三点共线,

:.EF=GE=GB+BE=DF+BE,

：."F=EF+EC+CF=(DF+BE)+EC+CF=(DF+CF)+(BE+EC)=CD+BC=4,

故答案为：4；

⑵对于①：将4M绕点A逆时针旋转90°,M点落在”点处，如下图所示：

BE

/1+N2=45°,Z1+Z4=ZEA//-ZEAF=45°,

；./2=/4,

BA=DA

在和AZMF/中：JN2=N4,

AM=AH

：.LBAM^IDAH(SAS),

?ADH2ABM45，BM=DH,

/.?NDH1ADH2ADN45+45=90，

.,.在RtTHND中，由勾股定理得：NH2=DH2+DN2=BM2+DN2，

'AN=AN

在AM42V和EH47V中：\AMAN=ZHAN=45,

AM=AH

：.LMAN^rHAN(SAS),

:.MN=NH,

AMN~=NH~=BM~+DN2-故①正确；

对于②：由⑴中可知：EF=BE+DF,设正方形边长为2,当下为C。中点时,

GB=DF=1,CF=1,设2£=尤，贝!|EF=X+1,CE=2-X,

在RtAEEC中，由勾股定理：EF2=CF2+CE2，

27

(x+1)'=I2+(2-x)2,解得x=—,即BE=—,

AB3

/.tan?AEFtan?AEB——=2?-3,故②错误;

BE2

对于③：如下图所示：

•/ZEAF=ZBDC=45°,

AA,M、F、。四点共圆，

ZAFM=ZADM=45°,

：.△AMF为等腰直角三角形，故③正确；

故答案为：①③.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的证明，四点共圆的判定方法等，属于综合

题，具有一定难度，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）

19.先化简，再求值：f11+----，其中

Va）a

16

【答案】

a+13

【解析】

【分析】先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，代入求值，再将结果化为最

简二次根式即可.

【详解】解：原式=(2--)?--1)

aaa

a-1a

------g-----------

a(a+l)(a-1)

1

a+1

将。=百-1代入，原式=/-1----=-^==^-.

V3-1+1V33

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关

键.

20.如图，D是ABC的边AB上一点，CF//AB,DF交AC于E点、,DE=EF.

（1）求证：ADE=CFE-,

(2)若A3=5,CF=4,求的长.

【答案】（1）证明见详解；（2）1.

【解析】

【分析】（1）根据ASA证明即可；

（2）根据（1）可得AAD石三ACFE,即由AO=CE根据AD=AB-CF求解即可.

【详解】（1）证明：AB!/FC,

:.ZADE=NF，

在△ADE和ACEE中，

i?ADE?F

1DE=EF

\1AED?CEF

\DADE@DCFE（ASA）.

（2）由（1）得AADE三ACFE

：.AD=CF

：,BD=AB-AD=AB-CF=5-4=1.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键.

21.己知关于工的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根.

（1）求冽的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为尤-々，且x；+x；=12,求加的值.

【答案】（1）m<0；（2）m=-2

【解析】

【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即A20求解即可；

（2）由韦达定理把占+々和%也分别用含机的式子表示出来，然后根据完全平方公式将入；+考=12变形

为（％+尤2）2-2%々=12,再代入计算即可解出答案.

【详解】（1）由题意可得：A=（2/n）2-4（m2+/n）>0

解得：m<0

即实数机的取值范围是mVO.

（2）由x；+x；=12可得：（玉+%2）2-2%%2=12

<玉+々=-2m；再％2=/+m

:.（—2m）2—2^m2+mj=12

解得：加=3或加=—2

*.*m<0

m=-2

即m的值为-2.

【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当A»0时，方程有实数根；（2）

掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键.

22.黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名.区域内矿冶文化旅游点有：A.铜绿

山古铜矿遗址，B.黄石国家矿山公园，C.湖北水泥遗址博物馆，D.黄石园博园、矿博园.我市八年级

某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的

统计图.

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是；

（2）补全条形统计图；

（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求

【答案】（1）50,108；（2）见解析；（3）-.

2

【解析】

【分析】（1）根据B的人数和所占的百分比可以求得本次活动的总人数，根据扇形统计图中A组所占的百

分比可以求得A部分的扇形的圆心角的度数；

（2）根据（1）中的结果可以求得C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两位老师在同一个小组的结果数除以总的结果数即

可.

【详解】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20+40%=50,

扇形统计图中，表示A部分的扇形的圆心角是：360°x—=108°,

50

故答案为:50,108；

（2）C组人数为：50-15-20-5=10,

补全的条形统计图，如图所示；

（3）根据题意画树状图如下：

开始

/X

语AB

A/\

数ABAB

共有4种等可能的结果，其中两位老师在同一个小组的结果有2种，

两人恰好选中同一个的概率为2=工.

42

【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”

译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？

根据以上译文，回答以下问题：

（1）笼中鸡、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.鸡每只值80元，兔每只值

60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？

【答案】（1）鸡有23只，兔有12只；（2）这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元.

【解析】

【分析】（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于小y的二元一次方

程组，解之即可得出结论；

（2）设笼中有机只鸡，〃只兔，总价值为w,根据“笼中鸡兔至少30只且不超过40只”列出不等式，再

根据“鸡每只值80元，兔每只值60元”得到一元一次函数，利用函数的性质解答即可.

【详解】（1）解：设笼中有了只鸡，y只兔,

x+y=35

根据题意得:

2x+4y=94

x=23

解得：<

y=12

答：鸡有23只，兔有12只;

（2）设笼中有机只鸡，”只兔，总价值为w元,

根据题意得：2帆+4〃=94,即加=47-2〃,

30<m+n<40,即30W47—,

解得：7W/1W17,

w=80m+60〃=80（47—2”）+60〃,

整理得：•=—100〃+3760,

•/-100<0,

W随〃的增大而减少，

.•.当〃=7时，w有最大值，最大值为3060,

当〃=17时，w有最小值，最小值为2060,

答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，理清题中的数量关系并掌

握一次函数的性质是解题的关键.

24.如图，PA>PB是;.。的切线，A、B是切点，AC是；。的直径，连接0尸，交（。于点。，交AB

于点£.

（1）求证：BC//OP；

(2)若E恰好是0。的中点，且四边形Q4P6的面积是16君，求阴影部分的面积;

(3)若sin/BACu；,且短＞=2岔，求切线Q4的长.

【答案】(1)见解析；(2)—^—4^/3；(3)6^/2

【解析】

【分析】(1)证明乙P0B=/CB。，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论;

(2)证明"0。是等边三角形得乙4。。=60。，设。4=R,求出AB=^R，PO=2R,根据四边

2

形Q4P5的面积是■求出R，再利用S阴影=S扇形A。"-5AAOB求解即可；

(3)利用sin/BAC=g设出8C=m,则AC=3机，分别求出AE=J%，DE=m,在放AAED中运用勾股

定理列方程，求出机的值，再证明NAP0=/8AC,利用sinNB4C=!求出B4的长.

3

【详解】解：(1)证明：PB是I。的切线

PO1AB,即NO£B=90。

ZEOB+ZOBE=90°

：AC是。的直径

ZABC=90°

ZEBO+ZCBO^90°

:.ZEOB=NCBO

：.BC//OP

(2)是。。的中点，5.ABL0D,

：.AO=AD,

又A0=0D

.♦.△AO。是等边三角形

ZAOD=60°

:朋是：0切线，0A是:.。的半径,

ZOAP=90°

ZAPO=30°

：.P0=2A0

在mAAO£中，ZAOE=60°

：.ZOAE=30°

D

设。4=R,则0E二—

2

/.AE^—R

2

：.AB=2AE=也R,PO=2AO=2R

1/四边形OAPB的面积是16百，

•••1ABPO=1673,即^43R.2R=16G

解得，R4?(负值舍去)

/.AB=4y/3,OE=2

VZAOD^60°

：.ZAOB=120°

2

.120^-x(4)1r16r

"S阴影=S扇形A。"-SMOB=---------x4V3x2=—^-4V3

JOU23

(3)vZABC=90°

1

・・・sinZBAC=——=—

AC3

故设BC=m,贝UAC=3m,

3

AO=—m

2

9：OE//BC

：.OE=-BC=]-m

22

31

DE=OD—OE=—m—m—m

22

在RdAE。中，AE=y/AO2-OE2=V2m

在放中，AE2+DE2=AD2

(\/2m)2+m2=(28)2

：.m=2(负值舍去)

AE=2A/2

NOAE+ZAOE=90°,ZAPO+ZAOE=90°

ZOAE^ZAPO

sinZAPO=sinABAC=—

3

.AE_1

"PA-3

PA=3AE=6A/2

【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算、勾股定理以及解直角三角形等知识，灵活运

用切线的性质：圆的切线垂直于过