2024年新高考地区数学地市选填压轴题好题汇编（八）（解析版）

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(A)

一、单选题

1.(2023•广东佛山•高三统考阶段练习)已知函数“X)的定义域为R,且〃x+l)-〃3-x)=0,〃x+l)-2

为奇函数，则“2023)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】由〃龙+1)-2为奇函数得：/(x+l)+/(-x+l)=4,即〃x)+〃2-x)=4,

又因为/(x+l)=/(3r),所以〃x+2)=〃2—x),所以〃x)+〃x+2)=4,

所以〃尤+2)+〃％+4)=4,两式相减得:/(x)=/(x+4),所以函数的周期7=4,所以

/(2023)=/(3),

因为了(尤+1)-2为奇函数，所以/(0+1)—2=0,即/(1)=2,

在+3r)=0中,令元=0得：/(3)=/(1)=2,所以“2023)="3)=2,

故选：D.

2.(2023•广东珠海•高三校考阶段练习)已知函数〃尤)对任意xeR都有〃x+2)=-"x),且当x«0,2)

时，/(x)=log2(x+l),贝叶(2023)-/(—2023)=()

A.2B.1C.-ID.-2

【答案】D

【解析】因对任意xeR,/(%+2)=-/(%),贝厅(x+4)=-/(x+2)=〃x),即函数周期为4.

因2023=505x4+3,-2023=-506x4+1,则f(2023)=/(3),/(-2023)=/(1).

又由〃x+2)=-〃x),令x=l,可得〃3)=-”1),贝1」/(2023)-/(—2023)=

/(3)-/(1)=-2/(1)=-2log22=-2.

故选：D

3.(2023•广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习)已知函数/(%)=sin(%-l)+e1-e-T+1,则满

足/(%)+/(3-2%)<0的x的取值范围是()

A.(—8,3)B.(3,+co)C.(—8,1)D.(l,+°o)

【答案】D

【解析】由已知可得，/(2—%)=sin(l—x)+e!A—eA

=-sin(x-l)-ex-1+e1-x+x-1=-f^x),

所以，/(2-x)+/(x)=0.

所以,/[2-(3-2x)]+/(3-2x)=0,

即f（2x_l）+J（3-2x）=0,所以f（3—2x）=-/（2x-l）.

则由不等式/«+/（3-2x）＜0可得，

/（x）＜-/（3-2x）=/（2^-l）.

又r（x）=cos（x-l）+ex-1+e1-T-1＞2Vex-1-e1-x+cos（x-1）-1=cos（xT）+120恒成立，

当且仅当e*T=e-,即x=l时等号成立，

所以，，（无）在R上单调递增.

则由〃x）＜/（2x—1）可得，x＜2x-l,解得x＞l.

所以，满足/«+f（3-2x）＜0的x的取值范围是（1,-+W）.

故选：D.

4.（2023•广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习）已知公比为正数的等比数列｛4｝的前"项积为I，

且满足。＜4＜1,（«50-1）（«49-1）＜0,若对任意的〃eN*,恒成立，贝琳的值为（）

A.50B.49C.100D.99

【答案】B

【解析】设等比数列｛%｝的公比为4（4＞。），

若0＜q41,由0＜弓＜1,则0＜。“＜1恒成立，

由4W1,得。4应4/9，即«50V%9＜1，

这与（。5（）_1）（。49_1）＜0矛盾，所以4＞1.

由4＞1,又。＜4＜1,则%＞。恒成立，

得4M即。用＞%.

则等比数列｛q｝为递增数列，

则。50＞。49，又（“50—1）（“49—1）＜。，

所以0＜%＜。2＜＜。48＜。49＜1＜。50＜。51V㈠

则4＞《＞4＞＞n9,且式9＜G）＜。＜

所以矗是/的最小值，即对任意的〃£N*,七4（恒成立，

所以人的值为49.

故选:B.

5.（2023•广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数/（x）=，sin2x+灰2s2x（〃bw0）的图象关

于直线X=看对称，若存在用,入2,,%，满足/（々）+|八々）—/5）|++/5.1）一"七）|=|2的，

其中心2,〃N+，则〃的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

［解析］由/(x)=6/sin2x+bcos2x(abw0)可得

/(%)=J/+万sin(2x+0),其中tan0=—；

又因为了(无)的图象关于直线X=$对称，所以需满足2x=+e=W+E,%eZ,

662

解得夕=«+E,左EZ,EPtancp-tan(―+kn\=,Z:eZ；

616；3

可得tan°=2=走，即。=技，所以/(x)=|2@sin(2x+g+fai]/eZ

a3I6J

由正弦函数值域可得〃x)=|2,sin(2x+£+kt[e[-|2&|,\2b\]

若要求满足/仁)一/伉)|++|/(V1)-/k)|=|2叫的n的最小值，

只需满足/(1)-/(%)|取最大值即可，而|"%一)-〈区-(-24=阳，

所以当且仅当|〃XJ-/(X2)H/(X2)-〃X3)|==|〃X)T(x")|=|初时满足题意，

即|〃西)-/(%)|+|/(/)-〃/)|++|〃X,T)-〃X")|=|246|=6X|4小

所以〃—1=6,得〃=7,即〃的最小值为7.

故选：B

6.(2023•广东东莞•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=cos(m-协图像关于原点对称，其中。>0,

7T7T

夕£(-兀,0),而且在区间-了1上有且只有一个最大值和一个最小值，则①的取值范围是()

399399

A.—<a)<—B.2<co<—C.—WgW—D.2WgW一

222222

【答案】B

【解析】因为函数/(x)=cos(Ox-0)图像关于原点对称，且xeR,0e(-7t,0),

即函数为奇函数，所以/(0)=0ncos(—协=0=0=-不

故/(x)=cos(0x+3=_sinox,

IT7T7171

当工£时，①xw--co,-co,有且只有一个最大值和一个最小值,

37r兀/兀「o八

---<——co<——3/9I-八

242-<a><—9

由正弦函数的图象与性质可得久=22now2,-

7171371c,-2

故选：B.

7.(2023•广东汕尾•高三校联考阶段练习)已知抛物线C:无2=4y的焦点为BC的准线与，轴交于点AP

是C上的动点，则花■的取值范围为()

「/?

A.[1,2]B.[1,+8)C.D.-^-,1

【答案】C

设抛物线C的准线为/,作PN_U(如图)，

PNPB

贝"PN=BP,sin^PAN=——=——,

PAPA

PA

当再■取最大值时，sin/R4N取得最小值，

当且仅当R4与抛物线相切于点尸时，等号成立，

当上4与抛物线相切时，设直线Q4的方程为、=辰-1,代入d=4y,可得--4履+4=0,

由A=16/-16=0,解得后=±1,

不妨设点尸在第一象限，即笈=1,则42,1),

|PN|=2,|PA|=^PN2+AN2=2A/2,即sin/PAN=*,

PA

所以方的最大值为亚，

PA

又当点尸在坐标原点时，止匕时|酬=户同，即领■的最小值为1,

故署的取值范围为[1,拒].

故选：C.

8.(2023•广东汕尾•高三校联考阶段练习)已知函数外”的定义域为(-e,0)U(0,y),且

#(x)=(y+l)/(y+l),则()

A.B./(1)=1C./(x)是偶函数D.f(x)没有极值点

【答案】D

【解析】令g(x)=#(x),则g(y+i)=(y+i)/(y+i),

所以g(x)=g(y+i),且x,y+i为定义域内任意值，故g(x)为常函数.

令g(x)=k,则〃尤)=：,为奇函数且没有极值点，c错，D对;

所以〃力2。不恒成立，，⑴=1不一定成立，A、B错.

故选：D

9.(2023•广东广州•高三中山大学附属中学校考期中)已知函数〃月=2而(3+夕)］。＞0,-1＜夕＜］］图

象的相邻两条对称轴之间的距离为3且关于点对称，则夕的值为()

O

兀71兀71

A.B.C.D.

12673

【答案】D

7T

【解析】由函数/(x)=2sin®x+9)g>0,一图象的相邻两条对称轴之间的距离为二，则

6

JT

T=—,/.^y=6,/(x)=2sin(6x+^>),

痴,。)对称,=2sin6x+=0

又因为其关于点B)[if^

即sin仁+a]=0,则|5兀57c

+(p=kn(keZ),解得(p=----Fkn,keZ,

33

且一］＜9＜］,所以上=2,°=；.D正确.

故选：D

10.(2023•广东广州•高三中山大学附属中学校考期中)给定函数〃x)=(x+l)e，-a(aeR),若函数

恰有两个零点，贝的取值范围是()

A.a＜——B.

e

1八1

C.——＜iZ＜0D.ci＞—y

ee

【答案】C

【解析】若函数f(尤)恰有两个零点，即方程(x+l)e*=a有两个不相等的实数根,

即函数g(x)=(x+l)e'与函数'图象有两个交点，

易知g'(x)=4+(x+1)e*=(x+2)e"

令g'(x)=O,解得x=-2,

所以当尤武-也,-2)时，g'(x)<0,函数g(无)在(-oo,-2)上单调递减,

当X4-2,+00)时，g'(x)>0,函数g(无)在上单调递增，

所以g⑴在x=-2取得最小值g(-2)=-5，

易知当x=-l时，g(x)=0,且无<-1时g(x)<0,

在同一坐标系下分别画出两函数图象，如下图所示：

故选：C

11.(2023•广东深圳•高三深圳中学校考阶段练习)已知cos[a+联]=|,ae[o,1^,则cos1a+|•卜()

LL-(717171

所以cosa-\■—=cosa-\----+—

I3JI12)4

(兀、71.(71.71

=cosa+——cos——sina+——sin—

12J4]⑵4

3040e

=—X---------------X---------=------------.

525210

故选：C

12.(2023•广东深圳•高三深圳中学校考阶段练习)已知函数/("=把\g(x)=^x2-lnx+a,若骂,

%目1,2],使得/(占)=8(々)，则实数a的取值范围是()

A.f^--，4-ln2+2^B.f1--,4-ln2+2

^2ee2J\_2ee2_

(2,-ell)「2,"-1厂

C.-+ln2-2,——D.—+In2—2,——

旧e2)Lee2j

【答案】D

【解析】”x)=p,f(无)=[,当xe[l,2]时，r(x)<0,

~21-

函数f(x)单调递减，函数的值域是,

g(^)=—x2—\nx+a,=x—————-,当xw[l,2]时，g>0,

2xx

函数g(x)单调递增，函数的值域是g+",2-ln2+〃,

因为瑞，x2G[1,2],使得〃%）=且（%2），

11

—+a<—

所以『e解得：马+ln2-

2-ln2+«>4e'e2

,e-

'9i「

所以实数a的取值范围是-+ln2-2,--.

_e~e2_

故选：D

13.（2023•广东江门•高三统考阶段练习）北宋著名文学家苏轼的诗词"日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南

人"，描述的是我国岭南地区著名的水果荔枝.为了利用数学模型预测估计某果园的荔枝产量，现根据在果实

成熟期，荔枝的日产量呈现"先递增后递减”的规律和该果园的历史观测数据，对该果园的荔枝日产量给出模

型假设：前10天的每日产量可以看作是前一日产量的2倍还多1个单位；第n到15天，日产量与前日持

平；从第16天起，日产量刚好是前一天的一半，直到第25天，若第1天的日产量为1个单位，请问该果

园在不计损耗的情况下，估计这25天一共可以收获荔枝单位个数为（精确到整数位，参考数据：，°=1024）

（）

A.8173B.9195C.7150D.7151

【答案】A

【解析】根据题意，设日产题为〃表示第〃天，则

当2W〃W10时，a,=2a,i+l,化为a“+l=2（qi+l）,

：.{%+1}是以q+1=2为首项，公比为2的等比数列,

.•“"+1=2",即%=2"-1,同时，%=1满足上式,

q+2++〃io=21-1+2之一1++21°—1

2（1-210）

—10=2x2i°—12=2036,

1-2

当11W〃<15时，％5=〃14=〃13=〃12=二21°一1,

"1]+42+■+45=（21°-1）x5=5115,

当164“425时，｛%｝是以;为公比的等比数歹U,

2/

a\6+a\l+'-+a25=*1022,

2

可得q+4++%=2036+5115+1022=8173.

故选：A.

14.（2023•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）已知等比数列｛4｝单调递增，且“，电，/1成等

差数列，则当对取最小值时，集合A=｛qJa“eN*｝中的元素之和为（）

A.36B.42C.54D.61

【答案】D

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4力1,

2

由a”的,%-1成等差数列得2%=%+“3-1，即2%q=%+atq-1,

整理得6=/^,故｛%｝为正项数列，

又因为等比数列｛风｝单调递增，说明其公比4>1,

q

于是知=

"i）2.

设〃q）=工（q>i），贝4'（4）=5q4（q-1）-1，/（初-5）

2

q—i"I）"If'

所以当皆时，「⑷<0,/⑷单调递减；当"停,+力时，-（4）>0"⑷单调递增,

故当q时，勺=尸（4）取最小值;

%=%q'i=16义图n—1

于是可求得％=16,

所以可得%=20,%=25,%eN*（〃N4,〃£N*）

所以集合4=｛。/4£N*｝中的元素之和为16+20+25=61,

故选：D.

15.（2023•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为尸的抛物线C:y2=2p尤（p＞（））的对称轴与

准线交于点A,点8在抛物线C上且在第一象限，在△ABb中，3sin/AFB=4sin/E4B,则直线期的斜率

为（）

A/W

Ar4a

232

【答案】A

【解析】过B作准线的垂线，垂足为"，作无轴的垂线，垂足为E,

则由抛物线的定义可得IBF|=|BH\,由3sinZAFB=4sinNE4B,

在△ABF中由正弦定理可知：|AB|=：|BF|=g|2//|,|,

设班1的倾斜角为a,贝1Jsina=tana=也4,

BFBH32

故选:A.

16.（2023•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，已知正四棱台A8CD-4BC］。的上、下

底面边长分别为2和4,侧棱长为石，点E为棱AD的中点，点尸在侧面BCG与内运动（包含边界），且叱

与平面片所成角的正切值为2百，则（）

D

A.CP长度的最小值为20-1

B.存在点P,使得EPLPC

C.存在点尸，使得AP//EG

D.棱长为1.5的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动

【答案】ABC

【解析】对于A,分别取BC,耳G，A2的中点为£G,",连接EF,FG,GH,HE,EG,如下图所示:

由题意得，BGHG,BCJGF,又HGcGF=G,HG,GFu平面EFGH,

所以可得用G，平面瓦G〃，

又EGu平面EFGH,所以用GLEG；

又因为正四棱台的上、下底面边长分别为2和4,侧棱长为君，

即可得"G=2,EF=4,84=石，易得GF=2,

所以在梯形瓦GH中，GF=HG=HE=2,EF=4,可得EG=26,

满足EG?+G尸2=£/2,所以EGLGF；

又B£iCGF=G,耳G，GBU平面3CC内，所以EG,平面3CC由；

又因为£P与平面BCQBI所成角的正切值为26，

FGr~

可得一^=2石，即PG=1,

PG

所以点尸的轨迹是G为圆心，即以BC为直径在平面BCGB、内的半圆，

故CP长度的最小值为CG-1=20-1，故A正确；

对于B,由选项A可知，EG,平面BCGA，CPu平面BCGA，所以EGLCP；

若CPLGP（即CP与以4G为直径的半圆相切时），CP,平面EPG,

又EPu平面EPG,所以砂，PC,

即存在点P,使得EPLPC,故B正确；

对于C,当点尸与点与重合时，AE//BG，且AE=8|G=2,

此时四边形以片G为平行四边形，所以A4〃EG，gpAP//EC,,故C正确；

对于D,若正方体在此容器内部可以任意转动，则正方体的外接球可以放进容器,

棱长为1.5的正方体的外接球直径为主8,

2

由等腰梯形EFG”可知，其高GG'=百，如下图所示：

可知此棱台可放入的最大球的直径为。，小于正方体外接球直径,

故不可以在此空心棱台容器内部任意转动，所以D不正确.

故选：ABC

17.（2023•湖南长沙•高三长郡中学校考阶段练习）设正实数x、y、z满足41-3肛+/-z=0,则空的

Z

最大值为（）

A.0B.2C.1D.3

【答案】C

【解析】因为正实数无、＞、z满足4x?-3孙+y2-z=。，贝l]z=4Y-3孙+y:

孙=盯=]＜]=1

22

贝IJz4%-3xy+y4%+2_3_2_2_3，当且仅当＞=2尤＞0时取等号.

故的最大值为1.

Z

故选：C.

3InY

18.（2023•湖南长沙•高三长郡中学校考阶段练习）已知函数+a-2以，若存在唯一的整数%,

X

使则实数。的取值范围是（）

ln3In2、In3In2

A-『r丁B.)

In2In3、

C.(—,—)D.(In2,In3)

23

【答案】A

31nx

【解析】/（x）的定义域为（。,+s）,由“x）＞0有唯一整数解,得吧！＞2依一。有唯一整数解,

X

令g(x)=独空，定义域为(。,+8),h｛x)=2ax-a,定义域为(0,”)，

x

则g，(x)=型二臂,令g'(x)=0,解得尤=e,

则g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,y)上单调递减，g(x)在X=e处取极大值也是最大值,

易知成x)的图象是恒过点(1,0)的直线,

若aWO,则显然不符合题意，

31n2,

---->4a-a

…4，即2ln3ln2

若a>0,贝!J]oio，角牛付<a<——，

g⑶⑶31n52

----<oa-a

[3

故选：A.

19.(2023•湖南•学校联考阶段练习)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学

的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区

间［0』均分为三段，去掉中间的区间段\彳)，记为第1次操作；再将剩下的两个区间0,g,1,1分别均

分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的

各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康

2

托三分集".设第〃次操作去掉的区间长度为巴,数列也“｝满足：b„=nan,则数列也｝中的取值最大的项为

()

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

【答案】C

【解析】由题可知4=：,a2=2xgxg,a3=22xgxgxg,a4=23x；xgxgxg,

由止匕可知%=2“一,所以4,

因为%i=3"+l呜一#（|）4（1]加+1）2-斗照（-/+4〃+2）,

令—/+4附+2=0,解得多=2+后,%=2-#（舍），

由此可知"W4时力+1-2>0；〃25时&]-bt<0,故4的取值最大，

故选：C.

20.（2023•湖北省直辖县级单位•高三校考阶段练习）在平面内，四边形A8CQ的—3与，。互补,

DC=tBC=A/3,ADAC=30°,则四边形A8C£）面积的最大值=（）

A.6B.走+1C.变+1D.2

22

【答案】B

【解析】因为与“互补，sinZB=sinZD,且四点共圆.

ACDC

所以NCBO=ZDAC=30°,在△ADC中，由正弦定理得

sinZDsinADAC

ACBCBCDC

在一ABC中，由正弦定理得，所以

sinZBsinZBACsinZBACsinZDAC

得sin/3AC=且，所以N3AC=60°或NBAC=120°.

2

r)c

设四边形ABC。的外接圆半径为R,则一二…=2R,解得尺=1.

sinZDAC

(1)设A5=a,AD=b.

当NR4c=60°,则NBAD=90°,故ZBC£>=90°,止匕时S叱。=gxlxgxsin90°,且BD=2,在RtA4B£)

中，4=〃+"..2",所以即SAM=；x她，1.

所以四边形钻8面积5=5.8+54如，@+1，当且仅当。=6时，四边形ABCD面积取得最大值为3+1

（2）当/BAC=120°,则/A4£>=150°,故N8CZ）=30°,所以S"四=gxlxV^xsin30°=乎.因为

.”n=2R,所以m=1,则在△ABD中由余弦定理得1=〃+62一2"侬150°,

sinABAD

2

所以也"=1-（"+Z?）<1,即〃/?<^^.所以5ABD=—x^Z?sinl50°=—ab<^~，

V73ABD2412

此时，四边形ABC。面积S=SBCD+SABD<立<3+1,

综上，四边形A3CD面积的最大值等于走+1,

2

故选：B.

21.（2023•湖北武汉•高三武汉二中校考阶段练习）函数Ax）是定义在R上的偶函数，且当xNO时，

/（%）=优（°>1）.若对任意的％目02+1］,均有〃x+f）z"（x）y,则实数/的最大值是（）

411

A.——B.——C.0D.-

936

【答案】A

【解析】•••/（元）是定义在7?上的偶函数，且当xNO时，f（x）=ar（a>l）,

：.f{x）=（a>1）,当xNO时为增函数，

二［/⑴丫=（朋）=°网=/（3x）,

则/（x+f）2"（尤）了等价于/（龙+。之〃3无）,

gp|x+f|>|3x|,即8尤2一2a-产40对任意xe[02+f|恒成立,

设g(x)=8九2-2tx—t2,

则有愕，产⑵+丁一9+1）一产皿24

解得一]Wf"a'

14

又21+1>0,**.—<，W—.

29

故选：A.

_2

22.（2023•湖北武汉•高三武汉二中校考阶段练习）已知函数〃x）=sin8+=r（O>0）在［0,2］上恰有4

个不同的零点，则实数。的取值范围为（）

A.竽兀B「3兀，2)J

.［万兀C.I271,-71D.

【答案】B

【解析】因为函数〃x)=sinox+*3>0)在［0,2］上恰有4个不同的零点，

—2r-I

则方程sins+*X=0在［0,2］上恰有4个不同的解，

即方程sinox=占在［0,2］上恰有4个不同的解，

所以函数g(x)=sin<ax(0>0)与函数/z(x)=在［0,2］上恰有4个不同的交点，

7_44

因为函数飘了)=—^r=-1+—且了=」\在［0,2］上单调递减，

人"I乙J\/十乙%十乙

所以函数函数飘了)=三|在［0,2］上单调递减，且/?(0)=1,飘2)=0,

函数g(无)=sin8(0>O)是由，=sinx函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的,倍,

CD

作出两个函数图象，如图：

要使函数g(x)=sin0x(0>O)与函数/z(x)="|^在［0,2］上恰有4个不同的交点，

由图知：g(x)=sins3>0)的周期T满足=3TW2<2T,所以3三兀〈2〈4把Ji，

2coco

所以音Vo<2兀，即实数。的取值范围为g，2兀］

故选：B

23.(2023•湖北•高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习)函数/(x)=2sin(x+5)+cos2x的最大值为(

A.1+72B."C.2忘D.3

【答案】B

【解析】利用诱导公式及二倍角公式可得/(x)=2sinI+j+sin2(x+£|,令人》+二,将函数转化为

，(e)=2sine+sin2。，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；因为

/(%)=2sinIx+—I+cos2x

所以/(%)=2sinlx+—l+sin2l%+—I=2sinlx+—l+2sinlx+—IcosIx+—

令e=x+工

4

贝ij/(，)=2sin，+2sin，cos，=2sin8+sin2，

则f(°)=2cos0+2cos20=2(2cos26—1)+2cos9=4cos28+2cos6-2

令/'(8)=。，得cos<9=-l或cos6=；

当—l<cos夕<5时，/'(夕)<0；/<cos6<l时/(。)>0

所以当cosO=g时，取得最大值，此时sinO=]

所以小)=2x立+2x£L辿

\'max2222

故选：B

二、多选题

24.(2023•广东佛山•高三统考阶段练习)如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=3,△BCD是边长为

2的正三角形，平面ABC1平面3co，点尸满足BP=4BC+〃BA,2e[0,l],^G[0,1],贝IJ()

A.当时，尸CD的面积为定值

B.当〃=。时，|。尸|的长度的取值范围为[6,2]

C.当〃=g时，存在点尸，使得BPLDP

D.当22+〃=1时，存在点尸，使得。P_L平面ABC

【答案】BD

【解析】取3C中点。，连接A。,。。，由题意可知AOLBCDOLBC,

又平面ABC」平面BCD,平面ABCc平面3CD=3C,所以AO_LDO,

建立如图所示的空间直角坐标系，则&（0,0,20）、3（1,0,0）、C（-l,0,0）,D（0,V3,0）,

因为BP=/IBC+〃BA,所以尸卜22-〃+1,0,2®）.

当2=g时，网-〃,0,2a）为动点，PCD的面积不是定值，故A错误；

当〃=0时，「（1—240,0）,|£>尸|=422-1）2+3,又因为ow/Wl,

所以|DP|e［若,2］,故B正确；

当〃=；时，P〔g_22,0,后）

所以8P=］；_2尢0,应［,。尸=］；-22,一百,0）,BPDP=0,

所以122-g：+2=0无解，所以不存在这样的点，故C错误；

当22+〃=1时，尸（0,0,20〃），则尸在y轴上，只有尸与原点重合时，。尸，平面ABC,故D正确.

故选：BD

25.（2023•广东佛山•高三统考阶段练习）已知log?尤=log3y=logsz,则下列不等式可能成立的是（）

A.0<z<y<x<lB.l<z<y<x

C.0<Z<X2<^<1D.\<y<z<x2

【答案】AC

【解析】在同一坐标系中作出函数S=log2f,=log3f,S=log5/的图象，

从图中可以看出，当X,y,Z均在区间（0,1）时，有0<z<y<x<l,

当x,>,z均在区间（l,+oo）时，有l<x<y<z,故A正确，B错误；

由于logzX=log/?,所以有log3y=1。8/2=log5z,

作出函数s=log/，=log3?,s=logs/的图象，类似地可以得出C正确，D不正确.

故选：AC.

26.(2023•广东珠海•高三校考阶段练习)已知函数y=/(x),尸(x)是其导函数，恒有

则（）

sinxcosx

C./图<2cosl"⑴D.„>2/(l)cosl

【答案】AD

【解析】因为所以sin尤>0,cosx>0,又』⑴>21^1,

所以f'(x)cosx>f(x)sinx,

构造函数g(x)=/(x)cosx,则g'(x)=7'(x)cosx--(x)sinx>0,

所以g(x)在(0，[上为增函数，

因为所以g3]>gC即后卜^>/£|崂，即/国>后田，故A正确;

因为气，所以《小丹即舟啧故佃>由口故B错误;

因为2<1，所以g[)<g⑴，即小吟</⑴COS1,故/])<W)cosl,故C错误；

因为巳>1，所以即/[f卜s]>"l）cosl,故了\）>2/⑴cosl,故D正确.

故选：AD

27.（2023•广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习）已知ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，

b,c,且,=而，bcosC+ccosB=2,若点P是边BC上一点，。是AC的中点，点。是ABC所在平面内

一点，OA+2OB+3OC=0,则下列说法正确的是（）

A.若（AB+AC>3C=0,贝1]刖+相=6

B.若CA在C5方向上的投影向量为CB，则|尸。|的最小值为典

114

C.若点P为BC的中点，则2OP+OQ=。

（_、

4R

D.若।~|+|~।BC=0,则APAB+AC为定值18

〔网lACU

【答案】ACD

【解析】如图，设BC的中点为E,连接。E,：反osC+ccos3=2,由余弦定理可得：

]a2+b2-c2a2+c2-b2.2a2

b,----------Fc----------------=2,••-----=2,..。=2,

lablac2a

又。A+2O3+3OC=0，OA+OC=-2（O8+OC）,：.2OQ=-2x（2OE^,；.OQ=-2OE,

对A选项，•.,（A8+ACbBC=0,.••2AE-BC=0，又E为中点，

・・BE=-BC=—ci=l,又AB=c=V10'・・AE=AB2—BE2=J10-1=3,

：.\AB+AC\=\2AE\=6,故A选项正确；

对B选项，在CB方向上的投影向量为CB，；•AS13C，又。是AC的中点，尸在8c上，.•.当尸。，3c

时，P。最小,此时产。=345=半，故B选项错误；

对C选项，若点尸为2C的中点，即尸与E点重合，：OQ=-2OE,。。=-2。尸,

/.2OP+OQ=Q,故C选项正确；

（\

对D选项，：[।~网r+|~网।BC=0,.•./A4c的平分线与BC垂直，

...一ABC是以3C为底边的等腰三角形，又由A选项分析知AE=3,

/.根据向量数量积的几何意义知AP-AE=|AE|2=9,

AP-^AB+AC）=AP-（2AE）=2AP-AE=2x9=1S,故D选项正确.

故选：ACD.

28.(2023•广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习)已知数列｛。"｝满足％=1,。卢限=e%-1,则()

A.｛4｝为单调递减数列B.«„+1>1a„

(2俨

C.”2〃+1+“2〃-1<2a2nD.%024I~I

【答案】ABD

【解析】由题意可得e%"=£^,

an

对于A,令g(x)=e「xT,则g")=e*-l,所以g(x)在(0,+e)单调递增,在(-力,0)单调递减,所以

g(x)>g(0)=0,当且仅当x=0时等号成立，

若。”+i=。，又a"e""'=e""-1,则%=e"”-l得，则4+i=a“=a._i==4=。与题设矛盾，所以4产。，

设/z(x)=e*-l-xe”,则”(无)=-xe*,当x>0时,//(x)单调递减，当尤<0时，/zf(x)>0,h[x)

单调递增,

所以〃(x)V/z(0)=。，即/一1W屁*,当且仅当x=0时等号成立，所以。“e“”>e"”-1,

I—[e"i—1e—]

由8(％)=/-X-120可知当％>0时，---->1,则％=1,e^2=---------=------->1,即。2〉。,

xax1