第4讲 函数的概念-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

第四讲函数的第四讲函数的概念 教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.函数的概念数学抽象水平1水平21.理解函数的概念和函数的三要素，尤其是对应关系的实质。2.掌握函数定义域、值域的求法，并能根据其意义解决一些逆向问题。3.理解复合函数的概念，能求一些复合函数的定义域、值域。【考查内容】函数的定义域、值域的求法。【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.函数的三要素数学抽象水平2水平23.区间的概念与应用数学运算水平1水平14.复合函数与抽象函数数学抽象水平1水平2知识通关知识通关知识点1函数的概念（1）函数的概念概念设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数三要素对应关系]定义域的取值范围值域与对应的的值的集合（2）函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．知识点2区间及有关概念(1)一般区间的表示．设，且，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)题型一函数关系的判定规律方法1.根据图形判断对应是否为函数的方法1.根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．2．判断一个对应是否是函数的方法例1、(1)下列图形中，不能确定是的函数的是()解析：任作一条垂直于x轴的直线，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．答案D在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定是的函数是（）①对应法则②对应法则③对应法则④对应法则⑤对应法则⑥对应法则A.①⑤⑥B.②④⑤C.②③④D.①②③⑤解析：①在对应法则下，A中不能被3整除的数在B中没有象，所以不能确定是的函数。②在对应法则下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定是的函数。③在对应法则下，A中的数（除5与外）在B中有两个数或没有数与之对应，所以不能确定是的函数。④显然满足函数的特征，故能确定确定是的函数。⑤A不是数集，所以不能确定是的函数。⑥显然满足函数的特征，故能确定确定是的函数。答案D【变式训练1】设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的有()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析:①错，时，在中无元素与之对应，不满足任意性．②对，同时满足任意性与唯一性．③错，时，对应元素，不满足任意性．④错，时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．答案B题型二函数求值规律方法求函数值的方法及关注点（（1）方法：①已知的解析式时，只需用替换解析式中的即得的值；②求的值应遵循由里往外的原则．（2）关注点：用来替换解析式中的数必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．例2、已知（1）求的值；（2）求的值．（3）若求。解析：（1）；（2），；（3）解得答案（1）6（2）（3）【变式训练2】已知函数.(1)求；(2)求．解析：（1）∵.∴.（2）∵，∴答案（1）（2）题型三求函数的定义域方向1已知函数的解析式求函数的定义域规律方法求函数定义域的求函数定义域的一般原则是：①若为整式，只要没有对作特别补充说明，则其定义域为实数集R；②若为分式，则其定义域为使分母不等于零的实数的集合；③若为偶次根式，则其定义域为使根号内的式子大于等于零的实数的集合；④若为零指数幂或负整数指数幂，则其定义域为底数不等于零的实数的集合；⑤若为对数函数，则其定义域为真数大于零的实数的集合（复习课专用）；⑥若，则定义域为⑦若是由几个部分的数学式子构成的，则其定义域为使各部分都有意义的实数的集合，即交集例3-1、求下列函数的定义域：（1）y＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)（2）y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3).（3）（4）（5）（6）解析：（1）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0.))解得x≤1，且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．（2）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．（3）由题意有∴∴函数定义域为(4)∴函数定义域为(5)∴∴函数定义域为(6)∴∴函数定义域为方向2求抽象函数的定义域规律方法抽象函数的定义域的求法主要涉及三种类型（（1）已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；（2）已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域；（3）已知的定义域，求的定义域解题原理：①函数①函数的定义域是指自变量的取值范②在同一对应关系下，括号里的式子的取值范围相同。例3-2、(1)设函数，则等于什么？的定义域是什么？(2)若函数的定义域是[0，＋∞)，那么函数的定义域是什么？解析：(1).令，∴，∴的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数的定义域是[0，＋∞)，∴令，解得，∴的定义域是[－1，＋∞)．答案（1）（2）例3-3、(1)已知函数的定义域为[－2,3]，求函数的定义域．(2)已知函数的定义域是[－2,3]，求函数的定义域．解析：(1)∵的定义域为[－2,3]，即x∈[－2,3]，函数中的范围与函数中的范围相同，∴，解得，∴函数的定义域为(2)∵，∴，即函数的定义域为，令，解得，∴的定义域为．答案（1）（2）【变式训练3-3】已知的定义域为，求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）解析：（1）∵的定义域为∴即的定义域为（2）∵的定义域为∴∴即的定义域为（3）∵的定义域为∴∴即的定义域为答案（1）（2）（3）题型四相等函数（1（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数．（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．（3）在化简解析式时，必须是等价变形．例4、(1)下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．解析：①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是同一函数．答案⑤(2)试判断函数与函数是否相等，并说明理由解析：不相等．对于函数，由解得，∴定义域为，对于函数，由解得，∴定义域为，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数．答案不相等，因为定义域不同。【变式训练4】判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)；.(2)；.解析：（1）由于函数的定义域为，而的定义域为，∵它们的定义域不同，∴它们不表示同一函数．（2）两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．答案（1）不是（2）是题型五求函数的值域规律方法常用的方法有：观察法、分离常数法、换元法常用的方法有：观察法、分离常数法、换元法、配方法、判别式法、图像法、反表示法、中间变量值域法等。（1）观察法：有的函数的结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域形如：（2）分离常数法：形如的函数，经常采用分离常数法，将变形为再结合再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域（3）换元法：运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如：（4）配方法：若函数是二次函数形式，即可化为型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法。（5）判别式法：形如的值域，常利用去分母的形式，把函数转化成关于的一元二次方程，通过方程有实根，判别式求出的取值范围。注意：一个函数能用判别式求值域，必须满足三个条件：①函数解析式必须是一个分式，分子分母最高次为2次；②分子分母无法约分③定义域为R。（6）图像法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域。（7）反表示法：如求函数的值域，由解出，得而∴即∴∴故所求函数的值域为（8）中间变量值域法：如求函数的值域，由得而∴∴故所求函数的值域为例5、.求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）（5）解析：（1）∵∴∴的值域为（2）∵∴∴函数的值域为（3）∵又∵当时，原式∴函数的值域为（4）已知函数可变形为：即当时，显然不成立；当时，上式即为关于的一元二次方程由于∴即∴由于∴（5）设∴由知∴∴函数的值域为【变式训练5】求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解析：（1）解法一：（先配方，再观察）对分母配方得，∵，∴，∴故所求函数的值域为解法二：由得又∵，∴∴，∴故所求函数的值域为（2）令则∴由二次函数的图像可知，所求函数的值域为（3）由题意，分离常数得∵∴故所求函数的值域为（4）由题意，配方得∵∴∴∴故所求函数的值域为（5）由可得当时，则显然不成立当时，则解得又∵∴故所求函数的值域为（6）由可求得∵即整理得，∴故所求函数的值域为（7）由可得，∵∴∴∴故所求函数的值域为思维拓展思维拓展考向一函数定义域的逆向问题已知函数的定义域，求函数中字母取值范围的问题，解法与求函数的定义域类似。规律方法已知函数的定义域，求函数中字母取值范围的问题，解法与求函数的定义域类似。例6、已知函数的定义域为，求的值解析：由题意得不等式的解集为，因此，是方程的两个根，且∴解得∴的值为的值为3答案【变式训练6】已知函数的定义域为R，则的取值范围是？解析：∵函数的定义域为R，即要求对任意实数恒成立∴①当时，其定义域为R；②当时，要使恒成立只需综上所述，的取值范围是答案考向二抽象函数问题规律方法探究抽象函数取值之间的关系问题，往往采探究抽象函数取值之间的关系问题，往往采用赋值法。赋值法是解决抽象函数的一种常用策略，就是将满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量。例7已则解析：由令得∴再令得∴由此猜测下面证明此结论：令则∴∴答案4038【变式训练7】已知函数对任意实数都有成立。（1）求的值；（2）若的值。解析：（1）令解得令解得（2）令令令考向三函数值域的逆向问题规律方法求函数值域的逆向问题，主要是利用已知函数的值域，求满足条件的参数的值。求函数值域的逆向问题，主要是利用已知函数的值域，求满足条件的参数的值。例8、求使函数的值域为的的取值范围解析：令∵∴即此不等式对恒成立∴解得故所求函数的的取值范围为答案【变式训练8】（1）若函数的最大值为4，最小值为，求实数的值（2）设函数当时，的值域也是A，试求的值。解析：（1）设去分母得显然在函数值域内；当∴即因而方程由韦达定理知，∴(2)∵∴又上是增函数，∴当时，函数为最小值当时，为最大值∴整理可得解得∵∴答案综合训练综合训练A组基础演练A组基础演练一、选择题1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是()A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6 D．x＝eq\r(y)解析：对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6⇒y＝eq\f(1,2)x－3是一次函数；对于D，由x＝eq\r(y)得y＝x2(x≥0)是二次函数．答案A2．下列各组中的两个函数为相等函数的是()A．f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，g(x)＝B．f(x)＝(eq\r(2x－5))2，g(x)＝2x－5C．f(x)＝eq\f(1－x,x2＋1)与g(x)＝eq\f(1＋x,x2＋1)D．f(x)＝与g(t)＝(eq\f(t,\r(t)))2解析：A中，f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝(eq\r(2x－5))2的定义域为{x|x≥eq\f(5,2)}，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝eq\f(1－x,x2＋1)与g(x)＝eq\f(1＋x,x2＋1)的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝(eq\f(t,\r(t)))2＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．答案D3．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．答案B4．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的个数是()．①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．A．1B．2C．3D．4解析：显然①③正确；在②中，对于不同的x，只需有唯一的y与之对应，y的值可以相同也可以不同；在④中，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如心电图．答案B5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝eq\f(1,\r(x))C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x2＋1解析：y＝eq\r(x)的值域为[0，＋∞)，y＝eq\f(1,x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．答案B6．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为()．A．RB．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜5}D．解析：由题意可知0＜y＜10，即0＜10－2x＜10，解得0＜x＜5，又底边长y与腰长x应满足2x＞y，即2x＞10－2x，.综上可知＜x＜5.答案D7．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()．A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}解析：∵函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，∴自变量x取0,1,2,3四个实数，将x的值依次代入函数解析式，得因变量的值依次为0，－1,0,3，故其值域为{－1,0,3}．答案A8．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图像的只可能是()．解析：函数图像对应可以是“一对一”，“多对一”，不能是“一对多”，而A、B、C都存在“一对多”的情况，即一个对应多个的情况，故选D答案D9．点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素为()．A．(0,2)B．(2,0)C．(，－1)D．(，1)解析：x＝2，y＝0时，，，∴(2,0)在f作用下对应元素为(，－1)．答案C10．函数的定义域是（）A．（–1，+∞） B．（–1，1）∪（1，+∞）C．[–1，+∞） D．[–1，1）∪（1，+∞）解析：要使函数有意义，必须满足，解得，且，所以函数的定义域是。答案D11．函数的值域是（）A．(－∞，1 B．(－∞，－1 C．RD．［1，+∞解析：令，则，所以，当时，此时函数取得最大值1，所以函数的值域为.答案A12．函数y＝f(x)，x∈[a，b]，A＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}，B＝{(x，y)|x＝1}，则A∩B中所含元素的个数是()．A．0B．1C．0或1D．0,1或2解析：集合A是函数y＝f(x)，x∈[a，b]图像上的所有点组成的集合，集合B是直角坐标系内横坐标为1的点组成的集合．若1[a，b]，则A∩B＝；若1∈[a，b]，则由函数的定义可知，在函数y＝f(x)中，当x＝1时，有唯一的y值与之对应，此时A∩B中只含有1个元素．答案C二、填空题13．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．解析：由题意3a－1>a，则a>eq\f(1,2).答案(eq\f(1,2)，＋∞)14．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．解析：由图像可以看出，函数y＝f(x)的自变量x的取值范围是－5≤x≤5，因变量y的取值范围是－2≤y≤3，∴f(x)的定义域为[－5,5]，值域为[－2,3]．答案[－5,5][－2,3]三、解答题15．试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；(2)f(x)＝(x－1)2＋1；(3)f(x)＝eq\f(5x＋4,x－1)；(4)f(x)＝x－eq\r(x＋1).解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝eq\f(5x＋4,x－1)＝5＋eq\f(9,x－1)，所以函数的值域为{y|y≠5}．(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝eq\r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝(t－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4).又t≥0，故f(t)≥－eq\f(5,4).所以函数的值域是{y|y≥－eq\f(5,4)}．答案（1）（2）（3）（4）16．已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)＋f(eq\f(1,2))，f(3)＋f(eq\f(1,3))的值；(2)求证：f(x)＋f(eq\f(1,x))是定值；(3)求f(2)＋f(eq\f(1,2))＋f(3)＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(2020)＋f()的值．解析：(1)∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＋f(eq\f(1,2))＝eq\f(22,1＋22)＋＝1，f(3)＋f(eq\f(1,3))＝eq\f(32,1＋32)＋＝1.(2)证明：f(x)＋f(eq\f(1,x))＝eq\f(x2,1＋x2)＋＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,x2＋1)＝eq\f(x2＋1,x2＋1)＝1.(3)由(2)知f(x)＋f(eq\f(1,x))＝1，∴f(2)＋f(eq\f(1,2))＝1，f(3)＋f(eq\f(1,3))＝1，f(4)＋f(eq\f(1,4))＝1，…，f(2020)＋f()＝1.∴f(2)＋f(eq\f(1,2))＋f(3)＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(2020)＋f()＝2019。答案（1）1,1（2）略（3）2019B组提升突破B组提升突破一、选择题1．设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是()．A．f(x)＝x，g(x)＝B．f(x)＝，g(x)＝C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0D．f(x)＝，g(x)＝x－3解析：判断两个函数是否为同一函数，只需看两个函数的定义域和对应关系是否分别相同．选项A中，g(x)＝＝|x|，它与f(x)＝x的对应关系不同；选项B中，两个函数的定义域都为{x|x＞0}，且f(x)＝＝1，g(x)＝＝1对应关系也相同；选项C中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不同；选项D中，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域也不同．答案B2．函数f(x)＝的定义域是()．A．[－1,2]B．[－1,0)∪(0,2]C．[－2,0)D．(0,2]解析：要使函数f(x)＝有意义，需满足即∴－2≤x＜0.∴此函数的定义域是[－2,0)．答案C3．已知函数f(x)＝ax＋－2，若f(2013)＝10，则f(－2013)的值为()．A．－14B．－10C．10D．无法确定解析：∵f(x)＝ax＋－2，∴f(2013)＝2013a＋－2＝