9 微专题：平面向量线性运算的坐标运算 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：平面向量线性运算的坐标运算平面向量的坐标表示：选取直角坐标系的轴、轴上的单位向量，为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标表示；平面向量的坐标运算已知，，则（1）；（2）；【典例】例1、若，，则与共线的单位向量为【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例2、如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是()A．[－4，4]B．[－eq\r(21)，eq\r(21)]C．[－5，5] D．[－6，6]【提示】【答案】【解析】例3、在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，动点D满足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[4，6]B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)]D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]例4、如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则（

）【归纳】求解向量坐标运算问题的一般思路1、向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算；2、巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程（组）进行求解；3、妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数；【即时练习】1、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，则P点的坐标为（）A．(－8,1)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)2、如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．2B.eq\f(8,3)C.eq\f(6,5)D.eq\f(8,5)3、设向量＝(1，1)，＝(－1，3)，＝(2，1)，且(－λ)⊥，则实数λ＝4、设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.5、已知向量集合M＝{|＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{|＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N等于6、已知向量＝(x，y)和向量＝(y，2y－x)的对应关系用＝f()表示．（1）若＝(1，1)，＝(1，0)，试求向量f()及f()的坐标；（2）求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐标；（3）对任意向量，及常数λ，μ，证明f(λ＋μ)＝λf()＋μf()；【教师版】微专题：平面向量线性运算的坐标运算平面向量的坐标表示：选取直角坐标系的轴、轴上的单位向量，为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标表示；平面向量的坐标运算已知，，则（1）；（2）；【典例】例1、若，，则与共线的单位向量为【提示】注意：用好向量的线性运算与关键词“共线”、“单位向量”；【答案】和；【解析】由，与共线的单位向量为：；【说明】本题考查了向量减法的坐标表示与单位向量的坐标表示及其求法；例2、如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是()A．[－4，4]B．[－eq\r(21)，eq\r(21)]C．[－5，5] D．[－6，6]【提示】注意：图形的对称性建立与坐标的联系；当取得最大值时，点一定在顶点处取得，依次验证即可得解；【答案】C【解析】如图，建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则，，，，则，此时；同理当，此时；当，此时；当，此时；当，此时；所以的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，则的取值范围为；例3、在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，动点D满足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[4，6]B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)]D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]【提示】注意：向量的坐标表示与距离公式；【答案】D；【解析】方法1、：设出点D的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解；设D(x，y)，则由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，C(3,0)，得(x－3)2＋y2＝1.又因为，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(x－1，y＋eq\r(3))，所以，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y＋\r(3)2).所以，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的几何意义为点P(1，－eq\r(3))与圆(x－3)2＋y2＝1上点之间的距离，由|PC|＝eq\r(7)知，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是1＋eq\r(7)，最小值是eq\r(7)－1；故选D；方法2、根据向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解．如图，设M(－1，eq\r(3))，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，取N(1，－eq\r(3))，所以，eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(ON,\s\up6(→)).由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，可知点D在以C为圆心，半径r＝1的圆上，所以，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，所以，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(ND,\s\up6(→))|，∴|eq\o(ND,\s\up6(→))|max＝|eq\o(NC,\s\up6(→))|＋1＝eq\r(7)＋1，|eq\o(ND,\s\up6(→))|min＝eq\r(7)－1.例4、如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则（

）【提示】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的知识可求得坐标，由向量的坐标运算可构造方程组求得的值，进而得到结果；【答案】C【解析】以为坐标原点可建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为，，所以，，，又，，又与的夹角为，所以，，，又，，所以，，所以，，解得：，所以，，故选：C；【说明】本题考查平面向量基本定理的相关问题的求解，解题关键是能够建立起平面直角坐标系，将问题转化为平面向量的坐标运算来进行求解；【归纳】求解向量坐标运算问题的一般思路1、向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算；2、巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程（组）进行求解；3、妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数；【即时练习】1、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，则P点的坐标为（）A．(－8,1)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)【答案】B；【解析】设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))；2、如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．2B.eq\f(8,3)C.eq\f(6,5)D.eq\f(8,5)【答案】D；【解析】方法1、如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，eq\o(AM,\s\up6(→))＝，eq\o(BN,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)．因为，eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝λ＋μ＝，所以，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq\f(8,5).方法2、以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))作为基底，因为，M，N分别为BC，CD的中点，所以，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，因此eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(μ,2)＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得λ＝eq\f(6,5)且μ＝eq\f(2,5).所以λ＋μ＝eq\f(8,5)3、设向量＝(1，1)，＝(－1，3)，＝(2，1)，且(－λ)⊥，则实数λ＝【答案】3；【解析】易知－λ＝(1＋λ，1－3λ)，因为(－λ)⊥，＝(2，1)，所以(1＋λ，1－3λ)·(2,1)＝2＋2λ＋1－3λ＝0，解得λ＝3；4、设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.【答案】【解析】由相反向量为且模长为，∴.故答案为：5、已知向量集合M＝{|＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{|＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N等于【答案】{(－2，－2)}；【解析】令(1，2)＋λ1(3，4)＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，即(1＋3λ1，2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2).所以，eq\