山西省024届高考冲刺数学模拟试题含解析

山西省临汾一中、翼城中学2024届高考冲刺数学模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为（）

2.设i是虚数单位，awR,立丝=3-2，，则。=（）

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

3.记递增数列｛4｝的前〃项和为S〃.若4=1,%=9,且对｛%｝中的任意两项%与%（1＜，＜j＜9）,其和4.+%,

a.

或其积生勺，或其商」仍是该数列中的项，则（）

%

A.a5>3,59<36B.a5>3,59>36

C.>3,59>36D.a6>3,59<36

4.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.271B.28乃C.29乃D.30兀

5.已知某口袋中有3个白球和。个黑球（aeN*），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是

白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是3若EJ=3,则。J=

（）

13

A.—B.1C.—D.2

22

6.如图，平面四边形ACBD中，AB±BC,AB=6BC=2,AABD为等边三角形,现将人钻。沿A5翻

折，使点。移动至点P,且则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

P

A.8万B.6兀C.4万D.-------Ji

3

22

7.已知双曲线C：二一与=1（。＞0力＞0）的左右焦点分别为耳，F2,P为双曲线。上一点，。为双曲线C渐近

a~b~

线上一点，P,。均位于第一象限，且2QP=PF2，QF^QF^O,则双曲线C的离心率为（）

A.V3-1B.V3+1C.V13+2D.V13-2

8.若x＞0,y＞。，贝！）“兀+2丁=2而＞的一个充分不必要条件是

A.x=yB.x=2y

C.无=2且y=lD.x=y或y=l

9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）为（）

2022

C.—D.

33T

10.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的

面积为()

*!-K

A.2B.5C.V13D.V22

n,已知函数/⑺二卜一2)卜一口+3，(^2)

当xe[人+8)时，/(尤)的取值范围为(-8,e+2],则实数m

3-2x,(x<In2)

的取值范围是()

A.卜8,(B.(-8,1]C./,1D.[In2,1]

12.已知复数z满足：zi=3+4i(i为虚数单位)，则1=()

A.4+3zB.4—3zC.—4+3zD.—4—3z

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.对任意正整数〃，函数/(n)=2n3-In1cosn7r-An-1,若/(2)2。，则2的取值范围是;若不等式

/5)20恒成立，则彳的最大值为

14.若函数c52,+盘/用一+&(_1)”2"-1+，+其中〃eN+且”22,则

广(1)=______________

15.已知/(%)=x+1一。("R),若存在石,々,电，…，Ze[(,2],使得/(%)+/(々)+…+/CV1)=/(%,)成立

x2

的最大正整数”为6,则。的取值范围为.

16.已知数列｛。"｝的前几项满足q+242+34++na”=Ze"(neN*),则a“=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知C(x)=|av+2|.

(1)当。=2时，求不等式/(x)>3x的解集;

2

(2)若/⑴,,/(2)„M,证明：

18.(12分)设尸("，=Q(n,7陶=%，其中帆“eN*.

k=om+K,

（1）当m=1时，求尸5，D-Q5，1）的值;

（2）对VmeN+,证明：PQ［，m）-Q（n,%）恒为定值.

22i

19.（12分）已知椭圆。：.+/=1（。＞万＞0）的焦距为26，斜率为万的直线与椭圆交于A,8两点，若线段A3

的中点为。，且直线C©的斜率为-

2

（1）求椭圆C的方程；

11

（2）若过左焦点/斜率为左的直线/与椭圆交于点M,N,P为椭圆上一点，且满足。问：瓯是

否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.

20.（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出

的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:摄氏度七）

有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为500瓶；如果最高气温低

于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数414362763

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为“（单位：瓶）时，y的

数学期望的取值范围？

x=2+cos0

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线/的参数方程为＜6+cos2g（。为参数）'以原点。为极点，

X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4s加a

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求曲线/和曲线C的公共点的极坐标.

22.（10分）已知函数/（x）=lnx+ax2-3x（aeR）

(1)函数/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为y=-2,求函数y(x)的极值；

(2)当“=1时，对于任意七,/41[0]，当迎〉为时，不等式/(X1)—/(%)>一(：；芯)恒成立,求出实数机的

取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

试题分析：根据题意，当时，令f―「3,得％=±2；当九>2时，令叫21=3,得

x=9,故输入的实数值的个数为1.

考点：程序框图.

2、C

【解析】

由亍詈=3-2,，可得5+切=(a+z)(3-2z)=3a+2+(3-2a)z,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出«的

值.

【详解】

5+ai

解：------:=3-2,，5+ai=（a+z）（3-2z）=3«+2+（3-2a）i

a+i

5=3a+2

，解得：a=l.

3—2a—a

故选:C.

【点睛】

本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把i2当成1进行运算.

3、D

【解析】

由题意可得生=，，从而得到%=3,再由。5=3就可以得出其它各项的值，进而判断出S9的范围.

【详解】

a.

解：6+%,或其积七%,或其商工仍是该数列中的项，

+%或者42a9或者，■是该数列中的项，

又数列｛4｝是递增数列，

••Va?^^3V•••,

a、

••^^2I^^9>,只有u9是该数列中的项，

同理可以得到发，—,",血也是该数列中的项，且有4

a

a3。4%。8%2

a

〃5=丁9，「.。5=3或%=-3（舍），,〃6>3,

根据=1,〃5=3,Cig=9,

9

同理易得出=3八a3=V%=3小。6=3八%=3万，4=3”，

9

1一3疝

Sg=%+%+—+%=--j-<36,

1-3，

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题.

4、C

【解析】

作出三棱锥的实物图尸-ACD,然后补成直四棱锥尸-A5C。，且底面为矩形，可得知三棱锥尸-ACD的外接球和

直四棱锥尸-A3CD的外接球为同一个球，然后计算出矩形A3CD的外接圆直径AC,利用公式2尺=，尸口+4?2

可计算出外接球的直径2R,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.

【详解】

三棱锥P-ACD的实物图如下图所示：

D

将其补成直四棱锥尸-A5cD,PB,底面ABC。，

可知四边形ABC。为矩形，且AB=3,BC=4.

矩形ABCD的夕卜接圆直径AC={AB?+BC?=5,且依=2.

所以，三棱锥尸—ACD外接球的直径为2R7PB'AC?=回,

因此，该三棱锥的外接球的表面积为4不氏2=»x(2R)2=29万.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型

进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

5、B

【解析】

由题意4=2或4,则。J=?(2—3)?+(4—3力=1,故选B.

6、A

【解析】

将三棱锥P-A5C补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角

形的外心连线上，在RtOBE中,计算半径08即可.

【详解】

由AB_LBC,PB±BC,可知3CJ_平面

将三棱锥P-ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.

B

由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记ZkABP的外心为E，由人钻。为等边三角形，

可得BE=L又0E='=故在OBE中,OB=应,

此即为外接球半径，从而外接球表面积为8〃.

故选：A

【点睛】

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

7、D

【解析】

22

由双曲线的方程谷=1的左右焦点分别为耳,巴，尸为双曲线C上的一点，。为双曲线C的渐近线上的一点，

a~1/一

且P,Q都位于第一象限，且2QP=PF2,QF1QF2=Q,

可知P为QB的三等分点，且。尸i，Q区,

点。在直线法-殴=0上，并且|OQ|=c,则。（a,A）,F,（c,0）,

设PC%%）,则2a—a,%—/?）=（c-无i，—%）,

2a+c2b~2a+c2b、

解得，乂=§，即an%二-三）'

代入双曲线的方程可得（2"+：/—Ll,解得e=2=屈-2,故选D.

4a24a

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重

要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出。，。，代入公式e=£；②只需要

a

根据一个条件得到关于”,仇c的齐次式，转化为。的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得e（e的取值范围）.

8、C

【解析】

,:x>0,y>0,

：.x+2y>2^2^,当且仅当％=2y时取等号.

故"x=2,且y=1”是“1+2y=2J语”的充分不必要条件.选C.

9、D

【解析】

根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.

【详解】

如图，该几何体为正方体去掉三棱锥4-AGE,

所以该几何体的体积为：

V=VABCD.ABCDI-VBI.CE=2X2X2--X-X2X2X1=—,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.

10、D

【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P-ABC.S^AC==A/13,S“AC=J五，5AABC=2,故最大面的面积为痉.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

11、C

【解析】

求导分析函数在尤Nln2时的单调性、极值，可得％Nln2时，“尤)满足题意，再在x<ln2时，求解〃x)We+2的

X的范围，综合可得结果.

【详解】

当x21n2时,尸(x)=—(x—1)(/—2),

令小⑺>0,则ln2<x<l；/'(x)<0,则x>l,

二函数/(x)在(ln2,l)单调递增，在(1,+8)单调递减.

二函数“X)在％=1处取得极大值为/(l)=e+2,

.\x21n2时,“力的取值范围为(―<»,e+2],

：•ln2<m<l

又当尤<ln2时，令/(x)=3—2xWe+2,则即yVx<ln2,

1-e7与

:.-----<m<ln2

2

综上所述，M的取值范围为9，1.

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.

12、A

【解析】

利用复数的乘法、除法运算求出z,再根据共轨复数的概念即可求解.

【详解】

,.3+4，3z—4.

由zz=3+4z,则z=------=-------=4-3z,

i-1

所以入4+3z.

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的四则运算、共朝复数的概念，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分。

1313

13、—co,--------

22

【解析】

将〃=2代入求解即可；当〃为奇数时,cosn兀=-1，则转化/⑺=2丁+-加-120为XW2"+7〃-匕设

n

g⑺=+7〃-工,由单调性求得g(n)的最小值；同理，当n为偶数时,cos府=1,则转化

n

/(")=2/—7"一一1N0为XW一7〃一工,设/z(x)=2/—7x—工(x22),利用导函数求得h(x)的最小值,

〃X

进而比较得到丸的最大值.

【详解】

13

由题,/(2)=16-28-2/1-1，0,解得4忘—三.

当n为奇数时,cos〃〃=—1,由于(n)=2n3+7«22n2+7n--,

n

,1

而函数g(〃)=2"+7〃-一为单调递增函数，所以gSMn=g⑴=8,所以4<8；

n

当”为偶数时,cos町=1,由f(n)=2"3一7”2-4”一120,得XW2n'—In—,

n

设/z(x)=2x2-lx--(x22),

x

,x22,h'(x)=4%-7+—>0,h(x)单调递增，

x

1313

■■Kx)mn=丸(2)=—万斯以

13

综上可知，若不等式f(n)20恒成立，则2的最大值为-彳.

“公心生[13]13

故答案为:⑴|-°°,一工;(2)--

I2J2

【点睛】

本题考查利用导函数求最值，考查分类讨论思想和转化思想.

14、0

【解析】

先化简函数/(耳的解析式，在求出r(x),从而求得了'(1)的值.

【详解】

由题意，函数/(X)=C；/T—C%2〃+C；/+1—+c,：(-l)rx2n-1+r+...C：(-l)nx3^1

可化简为/(x)=/t—c%+戏炉—…+c;(-iyy+...+qx]=d-<,

所以/'(x)=(2n-1)%2,,-2(1-%)"-炉"-)(1—x)a=x2n-2(l-XT][2〃—1—(3〃-l)x],

所以广⑴=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解

导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

1519、1321

15、r)5一，一

81058

【解析】

由题意得分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.

【详解】

"5/(x)min</(x)max

原问题等价于

，

6/(x)min>/(x)max

当。＜2时，函数图象如图

此时“力向一？一

5

5(2-a)<—a

21519

则<,解得：—<a<---\

5810

6(2-a)>——a

2

9

当时’函数图象如图

此时/(x).=0,=--a,

J\/nun1f7(\x\/max[

5x0<-a

2

则5，解得：«e0；

6x0>—a

2

95

当一4。（一时，函数图象如图

5xO<tz-2

则/cc，解得：a

6x0>a-2

u—2,

5m1321

，解得：—<a<—；

58

15IQ1321

综上，满足条件。的取值范围为［E，二）u（w，不

81058

田协小.J519、4321

故答案为：

o1U3o

【点睛】

本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思

想.

16、n+1

【解析】

由已知写出用代替〃的等式，两式相减后可得结论，同时要注意％的求解方法.

【详解】

*.*q+2a,+3cI3++=2c：+?①，

”22时，a1+2a2+3a3++(n—V)an_x=2c"②，

①一②得na„=2c+2—%=2C；+1=+D,

/.an=n+\,

又q=2C；=2,

an-n+l(neN*).

故答案为：〃+l.

【点睛】

本题考查求数列通项公式，由已知条件.类比已知S“求4的解题方法求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(-oo,2)⑵见证明

【解析】

(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；

(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.

【详解】

(1)解：当a=2时，不等式/(x)<x可化为|2x+2|>3x.

2

当xW-l时，-2x-2>3x,x<--,所以xW-l；

当x〉一l时，2x+2>3x,-1<x<2.

所以不等式f(%)>3x的解集是(-*2).

(2)证明:由/⑴WM,/(2)<M,^M>\a+2\,M>\2a+2\,

3M=2M+M>2\a+2\+\2a+2\,

X2|a+2|+|2a+2|>|4-2|=2,

所以3M22,即M2：.

【点睛】

本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.

18、（1）1（2）1

【解析】

分析:⑴当m=1时可得。（",1）=3,2（〃,1）=〃+1,可得尸5，1＞。（九,1）=1.（2）先得到关系式

n\m\c/八、1/、/、

Pin,m）=--—P（n-l,m],累乘可得。（"，"?）=——P（O,m）=—,从而可得P（〃,m）.Qe，w）=l,即为

m+nyn-vmy.5+帆

定值.

详解：（1）当机=1时，尸（〃，i）=£（—球七,：占=4Y£（T『C解=々，

k=01+K〃+1k=0〃+1

又Q（八，l）=G：+i=n+l,

⑵尸…2y

n—i

…生即3+璃）口+（可匕

=I+£（T）七3白+:£（力喟言

k=[fit।K卜=1।K

”T沙洛TP气

=—1,——

n

即=-----—l,m）,

由累乘可得尸（凡加）=（

i）！I）

C；：+m

又。（八,m）=C：+,“,

所以P[n,m）Q（n,m）=l.

即P（〃，相）一。（"，加）恒为定值1.

点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的和。（〃,帆）的定义，并结合组合数公式求解.由

于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误.

x2,

19、（1）—+y2=1.

4-

115

⑵的土所为定值“过程见解析.

【解析】

分析：（1）焦距说明c=6,用点差法可得"晨自0=-B=—!•这样可解得。力，得椭圆方程；

a4

11「

（2）若k=0,这种特殊情形可直接求得再川+西T,在左wO时，直线MN方程为＞=左（》+若），设

M（xl,yI）,N（x2,y2）,把直线方程代入椭圆方程，后可得再+%2，%%2,然后由纺长公式计算出弦长

\MN\=y/l+k2同时直线OP方程为y=-Jx,代入椭圆方程可得P点坐标，从而计算出最后计算

11

师+所即可.

详解：（1）由题意可知c=6,设4（%,%）,5（%2，%），代入椭圆可得：

毛+K=1,与+与=1,两式相减并整理可得,

a2b2a2b2

22

%—%2X+%bb

丁^kAB-kOD=--

%一X]西+尤2

22

又因为左油=g,kOD=­,代入上式可得，a=4b.

又,/=3,所以/=4,〃=[,

2

故椭圆的方程为r上+V=1.

4-

（2）由题意可知，F（-A/3,0）,当MN为长轴时，OP为短半轴，此时

111,5

\MN\\0P\244；

[J4

否则，可设直线/的方程为y=k（x+6）,联立4',消y可得,

y=左卜+若）

（1+4左2）为2+86左2^+12左2—4=0,

4+4左2

1+4左2

2k2

不妨得1一正工’7?工『

卜+442

所以口町=

111+4左211+4左242+45

--------1---------=---------+——----=---------+---------=—

2

故2VlIOPI4+4左2%+4左2,4+4左24+4尸4

115

综上所述，府土所为定值"

r2v2h~

点睛：设直线与椭圆二+与=1相交于两点Al%,%),3(%,%)，A5的中点为。(%,先)，则有左加•左。》=—二

a"b"a~

2222

证明方法是点差法：即把点AB坐标代入椭圆方程得号+普=1,4+4=1,两式相减，结合斜率公式可得.

aba2b2

20、(1)见解析；⑵[600,800)

【解析】

(1)X的可能取值为300,500,600,结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；

(2)由题意得300W〃W600,分〃目500,600],及〃目300,500),分别得到y与n的函数关系式，得到对应的分

布列，分析即得解.

【详解】

(1)由题意：X的可能取值为300,500,600

4+141

P(X=300)=--------=-

905

P(X=500)=—=—

905

P(X=500)=27+6+3;

905

故：六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列为

X300500600

122

p

555

(2)由题意得300W〃W600.

1。.当n£[500,600]时，

7n—5n=2n,t>25℃.

利润y=<500x7+2(n-500)-5n=2500-3n,tG[20,25)

300x7+2x(〃—300)—5〃=1500—3〃，te[10,20)

此时利润的分布列为

yIn2500-3n1500—3〃

221

p

~555

221

^Ey=2zix-+(2500-3H)x-+(1500-3n)x-=1300-H

=>E(y)e[700,800].

2.ne[300,500)

1n—5n=2n,t>20