平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（能力提升）-2021年中考数学一轮基础知识复习和巩固提升训练

平面直角坐标系与一次函数、反比例函数一能力提升

【知识梳理】

考点一、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系

平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对

应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”(平面内的点)

和“数”(有序实数对)紧密结合起来.

2.各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点

点P(x,y)在第一象限。x>0,v>0；

点P(x,y)在第二象限=x<0,y〉0；

点P(x,y)在第三象限=x<0,y<0；

点P(x,y)在第四象限。x>0,v<0；

点P(x,y)在x轴上=y=0,x为任意实数；

点P(x,y)在y轴上Ox=0,y为任意实数；

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上Ox,y同时为零，即点P坐标为(0,0).

3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ox与y相等；

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上=x与y互为相反数.

4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.

5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p'关于x轴对称。横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点P与点P'关于y轴对称=纵坐标相等，横坐标互为相反数；

点P与点P'关于原点对称。横、纵坐标均互为相反数.

6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于加；

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于W；

(3)点P(x,y)到原点的距离等于Jx?+y2.

7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式

如果直角坐标平面内有两点Z(Xi，yJ、B(X2,y2),那么A、B两点的距离为：

2

4B=yj（xl-x2）"+（jj-J2）-

两种特殊情况：

（1）在直角坐标平面内，X轴或平行于X轴的直线上的两点/（匹/）、8々2，田的距离

为：Z8=J（X]_》2）2+（y_y）2=J（X]_/）2="一到

（2）在直角坐标平面内，y轴或平行于y轴的直线上的两点Z（x,%）、台卜,无）的距离

为:AB=小一班+（乃一％）2=-％）2=|%一V2|

方法指导：

（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；

（2）平面内点的坐标是有序实数对，当awb时，（a,b）和（b,a）是两个不同点的坐

标.

考点二、函数

1.函数的概念

设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.

2.自变量的取值范围

对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保

证数学式子有意义.

3.表示方法

⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.

4.画函数图象

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

方法指导：

（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；

（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.

考点三、几种基本函数（定义一图象一性质）

1.正比例函数及其图象性质

(1)正比例函数：如果y=kx(k是常数，kWO),那么y叫做x的正比例函数.

(2)正比例函数y=kx(kWO)的图象：

过(0,0),(1,K)两点的一条直线.

蝮经过一、三象3艮四象限

(3)正比例函数y=kx(kWO)的性质

①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.

2.一次函数及其图象性质

(1)一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，kWO),那么y叫做x的一次函数.

(2)—*次函数y=kx+b(kNO)的图象

系数特征图象特征不经过的图例

象限

b>0直线从左直线与y轴在X轴上

k>0到右取向的交点方四2,x

上方向Ux

0

b<0M(o,b)在X轴下

二|M

方

直线从左直线与y轴在X轴上1y

M

b>0到右取向的交点方三X

k<0下的方向-1*

——x

b<0M(o,b)在X轴下—

方

(3)一次函数丫=1«+6(kWO)的图象的性质

一次函数y=kx+b的图象是经过(0,⑹点和(--,0)点的一条直线.

k

①当k〉0时，y随x的增大而增大;

②当k<0时，y随x的增大而减小.

(4)用函数观点看方程(组)与不等式

①任何一元一次方程都可以转化为ax+6=0(a,6为常数，aWO)的形式，所以解一元

一次方程可以转化为：一次函数了=履+伏"，6为常数，20),当y=0时，求相应

的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线确定它与x轴交点的横坐

标.

y=k,x+b,

②二元一次方程组.对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”

y=k2x+b2

的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值

是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.

③任何一元一次不等式都可以转化ax+6>0或ax+6V0(a、6为常数，aWO)的形式，

解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值

范围.

方法指导：

(1)当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；

(2)确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式^=依(kWO)中的常数k.

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=依+6(kwo)中的常数k和b.

解这类问题的一般方法是待定系数法.

(3)直线禹x+瓦与直线丫2=k2x+b,2(k/0,k27^0)的位置关系.

①4Wk20yl与丫2相交；

k手k

②，20yl与丫2相交于y轴上同一点(0，h)或(0,b2)；

也=b2

③(7Oy1与丫2平行；

伍产b2

④40yl与丫2重合.

0\二人2

3.反比例函数及其图象性质

（1）定义：一般地，形如y="（左为常数，kWo）的函数称为反比例函数.

X

k

三种形式：y=—%片0）或^=t（kWO）或xy=k（kWO）.

x

（2）反比例函数解析式的特征：

①等号左边是函数y,等号右边是一个分式.分子是不为零的常数左（也叫做比例系数

k）,分母中含有自变量x,且指数为1；

②比例系数左wO；

③自变量x的取值为一切非零实数；

④函数y的取值是一切非零实数.

（3）反比例函数的图象

①图象的画法：描点法

列表（应以。为中心，沿。的两边分别取三对或以上互为相反的数）；

描点（由小到大的顺序）；

连线（从左到右光滑的曲线）.

②反比例函数的图象是双曲线，y=-（左为常数，k力0）中自变量xwO,函数

x

值ywO,所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴,

但是永远不与坐标轴相交.

③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是y=》和^=-x）和中心对称图形（对

称中心是坐标原点）.

④反比例函数y=幺（左片0）中比例系数左的几何意义是：过双曲线y=幺（左w0）

上任意点引X轴、y轴的垂线，所得矩形面积为闷.

（4）反比例函数性质：

函数y=-(/[^0)

X

k的符

k>0k<0

号

4

图像小

①x的取值范围是xW0,①X的取值范围是XW0,

y的取值范围是yw0；y的取值范围是yw0；

性质②当k>0时，函数图像的两个分支分别②当k<0时，函数图像的两个分支分

在第一、三象限.在每个象限内，y别在第二、四象限.在每个象限内，y

随X的增大而减小.随X的增大而增大.

（5）反比例函数解析式的确定:

利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出力）

（6）“反比例关系”与“反比例函数”：

成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数y=幺中的两个变量必成反

x

比例关系.

（7）反比例函数的应用

反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数y="（左片0）图像上

X

当左左2<0时，两函数图象无交点;

当左左2>0时，两函数图象有两个交点，

坐标分别为（j才，J左他），（一，『"，一J勺左2）•

由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称.

方法指导：

（1）用待定系数法求解析式（列方程［组］求解）；

（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.

【能力提升训练】

一、选择题

1.无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3,点A在直线y=x上，点A的横坐标为

1,正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴.若双曲线y=K与正方形ABCD有公共点，则k

的取值范围为()

A.l<k<9

B.2WkW34

C.lWkW16

D.4<k<16

3.设b>a,将一次函数丫4乂+0与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一

组a,b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）

(A)(B)(C)(D)

4.如图，过x轴正半轴任意一点尸作x轴的垂线，分别与反比例函数%=二和%=3的

XX

图像交于点/和点B若点。是y轴上任意一点，连结/C、BC,则△//7的面积为（)

A.1B.2C.3D.4

第4题图5题图

5.如图，已知双曲线了=上体<0）经过直角三角形。16斜边办的中点2,且与直角边

X

46相交于点C若点Z的坐标为（-6,4）,则的面积为（）

A.12B.9C.6D.4

6.已知abcWO,而且"2=㈠上=U2=p,那么直线y=px+p一定通过（）

cab

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限

二、填空题

7.如图，正比例函数y=x与反比例函数y=，图象相交于/、C两点，过点/做x轴

X

的垂线交x轴于点5,连接BC,若A45c的面积为S,则S=.

k

8.如图，已知梯形ABCO的底边A0在x轴上，BC〃AO,AB±AO,过点C的双曲线歹=—

x

交0B于D,且OD：DB=1：2,若aOBC的面积等于3,则k的值是.

9.若直线y=kx（k>0）与双曲线尸2的交点为（x°y）、（x2,y2）,则2xj2-5x2%的

x

值为.

10.函数y=-3x+2的图像上存在点P,使得P到x轴的距离等于3,则点P的坐标为

k

11.如图，已知函数y=2x和函数y=—的图象交于A、B两点，过点A作AE_Lx轴于点

x

E,若AAOE的面积为4,P是坐标平面上的点，且以点B、0、E、P为顶点的四边形是平行

四边形，则满足条件的P点坐标是

。E

第11题图

12.已知〃是正整数，《（X],必）,Q（乙,名），…，P”（x”,兄）,…是反比例函数y=勺图象

上的一列点，其中西=l,x2=2,…,=〃，….记4=%1v2,A2=x2y3,■■■,An=xnyn+1,---

若4=a（a是非零常数），则4•4....4的值是（用含a和

〃的代数式表示）.

13.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点。与坐标原点重合，A,C分别在坐标轴

上，点B的坐标为（4,2）,直线y=-L+3交AB,BC于点M,N,反比例函数y=K的图象经

2x

过点M,N.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在x轴上，且AOPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标.

14.如图，将直线歹=4x沿y轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点A（3,0）,与

双曲线y=2（x>0）交于点B.\

（1）求直线AB的解析式;

（2）若点B的纵坐标为m,求k的值（用含m的代数式表示）.

15.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系

的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进

油时的销售利润为5.5万元.（销售利润=（售价-成本价）X销售量）请你根据图象及加

油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）销售量x为多少时，销售利润为4万元？

（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在0/,AB,BC三段所表示的

销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

粉五月份销售记录D

1日：有库存6万升，成本价

4元/升，售价5元/升.

13日：售价调整为5.5元/升.

15日：进油4万升，成本价

4.5元/升.

一31日：本月共销售10万升.

16.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB=15,AD=20,NC=30°.点M、N同时以相同

速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动.

⑴设ND的长为x,用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围;

⑵当五边形BCDNM面积最小时，请判断AAMN的形状.

答案与解析

一、选择题

1.【答案】C；

【解析】直线y=-x+4经过第一，二，四象限，一定不经过第三象限，因而直线y=x+2m

与y=-x+4的交点不可能在第三象限.

2.【答案】C；

【解析】点A在直线产x上，其中A点的横坐标为1,则把x=l代入尸x解得尸1,

则A的坐标是(1,1),

VAB-BC=3,

・・・C点的坐标是(4,4),

.•.当双曲线y=X经过点(1,1)时，k=l；

X

当双曲线y=K经过点(4,4)时，k=16,

x

因而lWkW16.故选：C.

3.【答案】B；

y=bx+a

【解析】由方程组《的解知两直线的交点为(1,a+b),

y=ax+b

而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2W1,

故图C不对；图D中交点纵坐标是大于a,小于b的数，不等于a+b,

故图D不对；故选B.

4.【答案】A；

5.【答案】B；

【解析】由A(-6,4),可得AABO的面积为4-6・4=12,同

2

时由于D为物的中点，所以D(-3,2),可得反比例

—6—6

函数解析式为歹二——，设C(a,b),则人二——,

xa

—6,则B0XBC=6,△CBO的面积为3,所以的面积为12-3=9.

6.【答案】B；

【解析】2=把=竺巴=p,

ab

(a+6)+S+c)+(c+

:a)

「・①若a+b+cWO,则p---------------------------------------------------------二2；

a+b+c

—...,田।a+b-c

②£右a+b+c=0,贝Ip二-----二——二一1,

cc

・••当p=2时，y=px+q过第一、二、三象限;

当p=T时，y=px+p过第二、三、四象限,

综上所述，y=px+p一定过第二、三象限.

二、填空题

7.【答案】1；

【解析】•••无法直接求出A48C的面积

/.将NABC分害I]成AOBC和\OAB

由题意，得1,解得「一或『二一

y=_[y=ib=-i

I%

・・・4(1,1)、B(-l,-l)

AABC的面积=SNOB+^COS=1+1=1

3

8.【答案】k=--.

4

【解析】设B点坐标为(a,b),

VOD：DB=1：2,，D点坐标为(-a,-b),

33

“11

「D在反比例函数y=—的图象上，得一a・一b=k,ab=9k-----------------------①，

x33

•；BC〃AO,AB±AO,C在反比例函数y=4的图象上，C点的纵坐标是b,

X

•••C点坐标为c-,b)

b

将(幺,b)代入y=幺得，x=-,BC=a--,

bxbb

ik

又因为△OBC的IWJ为AB,所以S^OBC=](a—1)=3,cib—k=6②,

3

把①代入②得，9k-k=6,解得k=~.

4

9.【答案】6；

【解析】由题意知，直线y=ax(a>0)过原点和一、三象限，且与双曲线y=2交于两

X

点，则这两点关于原点对称，

・・X1=-X2,Y1=-丫2,

又•••点A点B在双曲线y=2上，

X

•・X]Xyi=2,x?义丫2=2,

.,.原式=-2乂2丫2+5乂2丫2=-2X2+5X2=6.故答案为：6.

10.【答案】,3)或(一，-3)；

33

【解析】•••点P到x轴的距离等于3,.•.点P的纵坐标为3或-3

当y=3时，x=-—；当y=-3时，x=*：.•.点P的坐标为,3)或(°,-3).

3333

“点P到x轴的距离等于3”就是点P的纵坐标的绝对值为3,故点P的纵坐标应有两

种情况.

11.【答案】(0,-4),(-4,-4),(4,4)；

【解析】先求出B、0、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P

点的坐标：

如图，:△AOE的面积为4,函数y=K的图象过一、三象限，；.k=8.

X

Q

•・•函数y=2x和函数y=—的图象交于A、B两点，

x

:・A、B两点的坐标是：(2,4)(-2,-4),

・・,以点B、0、E、P为顶点的平行四边形共有3个，

・•・满足条件的P点有3个，分别为：Pi(0,-4),P2(-4,-4),P3(4,4).

12.【答案】二^；

72+1

=xxxf

【解析】由题意可知:4•^2••・…•Ai•y2•2•^3................n•yn+i又y=3即

xy=k,

所以原式二再•左"T•yn+i.又4=xly2=a,k=x2y2,所以左=2〃，

所以原式国.左"T・%M=1X(2。)1X与=1X(2。)1X用-=2.

x〃+1n+\

三、解答题

13.【答案与解析】

解：(1)VB(4,2),四边形OABC是矩形，

.,.OA=BC=2,

将y=2代入y=-』x+3得：x=2,

2

AM(2,2),

把M的坐标代入y=X得：k=4,

X

...反比例函数的解析式是尸&

X

(2)把x=4代入y=9得：y=l,即CN=1,

X

VS四边形BMON=S矩形OABC-SAAOM-SACON

=4x2--1x2x2--1x4x1=4,

22

由题意得：l|OP|xAO=4,

2

VAO=2,

A|OP|=4,

直线AB的解析式为y=Ax-9.

(2)设点5的坐标为5,加，

•.•直线力8经过点6,

m+Q

・・・夕点的坐标为(一^,加，

4

k

•点8在双曲线y二一(x>0)上,

加’+9加

15.【答案与解析】

解法一：(1)由题意知，当销售利润为4万元时，销售量4+(5-4)=4万升.

答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元.

(2)点A的坐标为(4,4),从13日到15日利润为5.5-4=1.5,所以销售量为1.5・

(5.5-4)-1,

所以点B的坐标为(5,5.5).