2023-2024学年上海市嘉定一中高一数学第二学期期末复习检测试题含解析

2023-2024学年上海市嘉定一中高一数学第二学期期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若正方体的棱长为，点，在上运动，，四面体的体积为，则（）A． B． C． D．2．若，则函数的最小值是（）A． B． C． D．3．已知数列的前n项和为，且满足，则（）A．1 B． C． D．20164．已知直线经过，两点，则直线的斜率为A． B． C． D．5．设直线与直线的交点为,则到直线的距离最大值为()A． B． C． D．6．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．18 B．13 C．9 D．77．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则D．若a2>b2且ab>0，则8．在中，，则是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形9．命题“”的否定是（）A．, B．,C．, D．,10．执行如下的程序框图，则输出的是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得△ADC面积最大即可.则当△ADC面积最大时建立索道AD的长为______公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.13．已知为第二象限角，且，则_________.14．设,则的值是____.15．已知向量，，若，则实数__________.16．若，则_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．18．已知以点为圆心的圆C被直线截得的弦长为．（1）求圆C的标准方程：（2）求过与圆C相切的直线方程：（3）若Q是直线上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标：若不是，说明理由．19．（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.（2）求证：.20．如图,在直三棱柱中,,二面角为直角,为的中点.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成的角.21．为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得：，，，，.（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由题意得，到平面的距离不变＝，且，即可得三棱锥的体积，利用等体积法得．【详解】正方体的棱长为，点，在上运动，，如图所示：点到平面的距离＝，且，所以.所以三棱锥的体积＝．利用等体积法得.故选：C．【点睛】本题考查了正方体的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于基础题．2、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【详解】当且仅当,即时，取等号.故选：B【点睛】本题考查利用均值不等式求函数最小值,属于基础题.3、C【解析】

利用和关系得到数列通项公式，代入数据得到答案.【详解】已知数列的前n项和为，且满足，相减：取答案选C【点睛】本题考查了和关系，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力.4、C【解析】

由两点法求斜率的公式可直接计算斜率值．【详解】直线经过，两点，直线的斜率为.【点睛】本题考查用两点法求直线斜率，属于基础题．5、A【解析】

先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.【详解】由可以得到，故，直线的方程可整理为：，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，故，故选A.【点睛】一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.6、B【解析】

利用等差数列通项公式、前项和列方程组，求出，．由此能求出．【详解】解：等差数列的前项和为，，，，解得，．．故选：．【点睛】本题考查等差数列第7项的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、C【解析】

根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．【详解】A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．故选：C．【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.8、D【解析】

先由可得，然后利用与三角函数的和差公式可推出，从而得到是直角三角形【详解】因为，所以所以因为所以即所以所以因为，所以因为，所以，即是直角三角形故选：D【点睛】要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：①角化边：把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.9、B【解析】

含有一个量词的命题的否定，注意“改量词，否结论”.【详解】改为，改成，则有：.故选：B.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.10、A【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【详解】满足，执行第一次循环，，；成立，执行第二次循环，，；成立，执行第三次循环，，；成立，执行第四次循环，，；成立，执行第五次循环，，；成立，执行第六次循环，，；成立，执行第七次循环，，；成立，执行第八次循环，，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据题意画出草图，根据余弦定理求出的值，设点到的距离为，可得，分析可知取最大时，取最大值，然后再对为中点和不是中点两种情况分析，可得的最大值为，然后再根据圆的有关性质和正弦定理，即可求出结果．【详解】根据题意可作出及其外接圆，连接，交于点，连接，如下图：在中，由余弦定理,由为的内角，可知，所以.设的半径为，点到的距离为，点到的距离为，则,故取最大时，取最大值.①当为中点时，由垂径定理知，即，此时，故；②当不是中点时，不与垂直，设此时与所成角为，则，故；由垂线段最短知，此时;综上，当为中点时，到的距离最大，最大值为；由圆周角定理可知，,由垂径定理知，此时点为优弧的中点，故，则，在中，由正弦定理得所以.所以当△ADC面积最大时建立索道AD的长为公里.故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题．12、.【解析】

根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.13、.【解析】

先由求出的值，再利用同角三角函数的基本关系式求出、即可.【详解】因为为第二象限角，且，所以，解得，再由及为第二象限角可得、，此时.故答案为：.【点睛】本题主要考查两角差的正切公式及同角三角函数的基本关系式的应用，属常规考题.14、【解析】

根据二倍角公式得出，再根据诱导公式即可得解．【详解】解：由题意知：故，即．故答案为.【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题．15、【解析】

根据平面向量时，列方程求出的值．【详解】解：向量，，若，则，即，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，属于基础题．16、【解析】

利用诱导公式求解即可【详解】，故答案为：【点睛】本题考查诱导公式，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见证明；(2)【解析】

（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而，得证线面平行；（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．【详解】（1）证明：取PD中点G，连结为的中位线，且，又且，且，∴EFGA是平行四边形，则，又面，面，面；（2）解：取AD中点O，连结PO，∵面面，为正三角形，面，且，连交于，可得，，则，即．连，又，可得平面，则，即是二面角的平面角，在中，∴，即二面角的正切值为．【点睛】本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．18、（1）（2）或（3）直线RS恒过定点【解析】

（1）由弦长可得,进而求解即可；（2）分别讨论直线的斜率存在与不存在的情况,再利用圆心到直线距离等于半径求解即可；（3）由QR,QS分别切圆C于R,S两点,可知,在以为直径的圆上,设为,则可得到以为直径的圆的方程,与圆联立可得,由求解即可【详解】（1）由题,设点到直线的距离为,则,则弦长,解得,所以圆的标准方程为:（2）当切线斜率不存在时,直线方程为,圆心到直线距离为2,故此时相切；当切线斜率存在时,设切线方程为,即,则,解得,则直线方程为,即,综上,切线方程为或（3）直线RS恒过定点,由题,,则,在以为直径的圆上,设为,则以为直径的圆的方程为:,整理可得,与圆:联立可得:,即,令,解得,故无论取何值时,直线恒过定点【点睛】本题考查圆的方程,考查已知圆外一点求切线方程,考查直线恒过定点问题19、（1）；（2）见解析【解析】

（1）利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得cosα，sinβ，再利用两角差的正弦、余弦与正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．（2）利用切化弦结合二倍角公式化简即可证明【详解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象限的角，∴cosα，sinβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）得证【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦与正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．20、(1)证明见详解；(2).【解析】

（1）先证明平面，再推出面面垂直；（2）由（1）可知即为所求，在三角形中求角即可.【详解】（1）证明：因为，所以；又为的中点，所以.在直三棱柱中，平面.又因为平面中，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知为在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角，设，则，在中，，在中，，又，得，因此