专题6-2等差数列的通项及前n项和8大考点

专题62等差数列的通项及前n项和8大考点知识点一等差数列的有关概念1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：(，为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．知识点二等差数列的通项公式与前n项和公式1、通项公式：．2、前项和公式：．3、等差数列与函数的关系（1）通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．（2）前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.知识点三等差数列的性质及常用结论已知数列是等差数列，是其前项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：．（2）若，则．（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．（4）若是等差数列，则也是等差数列．2、等差数列前项和的性质（1）；（2）；（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.（4）数列，，，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为，则，；（2）若项数为，则，，，.一、等差数列的基本运算的解题策略1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．二、等差数列的判定与证明的方法：1、定义法：或是等差数列；2、定义变形法：验证是否满足；3、等差中项法：为等差数列；4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；5、前n项和公式法：为常数为等差数列．注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．三、求数列前n项和的最值的方法1、通项法：（1）若a1＞0，d＜0，则必有最大值，其n可用不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))来确定；（2）若a1＜0，d＞0，则必有最小值，其n可用不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来确定．2、二次函数法：等差数列中，由于Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，故可用二次函数求最值的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值．3、不等式组法：借助最大时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn≥Sn－1，,Sn≥Sn＋1))(n≥2，n∈N*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应的值(即的最值)．考点一等差数列基本量的计算【例1】（2023·江西鹰潭·统考一模）公差不为0的等差数列满足：，为数列的前n项和，则下列各选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】公差不为0的等差数列满足：，则，整理得:，则，，A错误；，B错误；，C正确.，D错误.故选：C.【变式11】（2023秋·江西·高三校考开学考试）设等差数列的前n项和为，且，，则（）A．B．10C．11D．【答案】C【解析】由，得，所以，又，，所以．故选：C．【变式12】（2023秋·北京·高三统考开学考试）等差数列的其前n项和为，若，则的公差为（）A．2或B．2或C．或D．或2【答案】B【解析】设公差为，又，，故，即，解得或.故选：B【变式13】（2024秋·浙江·高三校联考开学考试）已知等差数列，记为数列的前项和，若，，则数列的公差（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在等差数列中，为数列的前项和，，由可得，即，解得.故选：D.【变式14】（2023秋·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知正项等差数列的前项和为，若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】设等差数列的公差为，则．又，所以是等差数列，（其中），即，所以，则，所以．故选：D．考点二等差数列的判断与证明【例2】（2023春·山东菏泽·高三校考开学考试）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C【变式21】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且向量，共线.求证：数列是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】证明：∵，共线，∴，∴.∴，当时，，又满足此式，∴.∴为常数，∴数列是首项为1，公差为的等差数列.【变式22】（2023·全国·高三专题练习）设函数，记，，，.证明：数列为等差数列.【答案】证明见解析【解析】由题，，，，，两边取倒数得，，即，，所以数列为首项是，公差是的等差数列.【变式23】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.【答案】证明见解析，【解析】证明：在等式两边同时除以，可得，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，因此，，故.【变式24】（2023秋·江苏南通·高三校考阶段练习）已知数列中，，.（1）求的值，并猜想数列的通项公式；（2）证明数列是等差数列.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）在数列中，，，令，得；令，得；令，得；所以，猜想数列的通项公式为.（2）由，，得，，即，所以数列是以为首项，为公差的是等差数列.考点三等差数列项性质的应用【例3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）公差不为零的等差数列的前为项和为，若，则（）A．8B．12C．16D．9【答案】C【解析】由等差数列的性质，，又，，，，.故选：C.【变式31】（2024秋·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列，其前n项和满足，则（）A．4B．C．D．3【答案】A【解析】是等差数列，其前n项为，，，.故选：A.【变式32】（2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在等差数列中，由得，因为为定值，所以，即，所以.故选：A.【变式33】（2023春·河南开封·高三校考阶段练习）已知等差数列为递增数列，为其前项和，，则（）A．516B．440C．258D．220【答案】D【解析】等差数列为递增数列，则，由，得，而，解得，所以.故选：D【变式34】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是公差为的等差数列，所以，因为成等差数列，所以，所以，即，所以，又因为，所以，则，故选：C.【变式35】（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，首项，若，则使得的n的最大值为（）A．2020B．2022C．2024D．2025【答案】C【解析】因为数列为等差数列，，所以与异号，又首项,则公差，所以.则，即.由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得，，所以使得的n的最大值为2024.故选：C.考点四等差数列前n项和性质的应用【例4】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为等差数列的前项和为，则、、为等差数列，其公差为，因此，.故答案为：.【变式41】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则.【答案】【解析】设等差数列的公差为，，则，所以，数列为等差数列，且公差为，所以，，故，所以，.故答案为：.【变式42】（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．2023B．2023C．2024D．2024【答案】C【解析】由是等差数列，设公差为，则所以，（常数），则也为等差数列.由，则数列的公差为1.所以所以，所以，故选：C【变式43】（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则.【答案】【解析】由等差数列的前项和公式，得，又由等差数列的性质，得，而，所以.故答案为：【变式44】（2023秋·广东广州·高三校考开学考试）设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则【答案】【解析】数列和都为等差数列，且，则令，，为常数，因此等差数列的首项，等差数列的首项，所以.故答案为：考点五等差数列前n项和的最值【例5】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（）A．4045B．4044C．2023D．2022【答案】D【解析】等差数列的前项和为，且，，，，，，，公差，则当时最小．故选：D【变式51】（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是D．的最大值是【答案】C【解析】由得，即，∴数列为递减的等差数列，∵，∴，，∴当且时，；当且时，；∴有最大值，最大值为.故选：C【变式52】（2023秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（）A．12B．22C．37D．55【答案】B【解析】由题意，且是公差为的等差数列，可知的首项为，则，故，则数列为，公差为的等差数列，且为递减数列，令，即等差数列的前4项为正项，从第5项开始为负，故的最大值为，故选：B【变式53】（2023秋·湖南常德·高三校考阶段练习）设等差数列的前n项的和为，满足，，则的最大值为（）A．14B．16C．18D．20【答案】B【解析】设的首项为，公差为，所以等差数列的通项公式为，前n项的和公式为，则由题意有，由以上两式解得，，因此，令，解得，从而数列得前4项为正，其余项为负，故的最大值为.故选:B.【变式54】（2023·全国·高三专题练习）记公差不为零的等差数列的前项和为,,,若,当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则的取值范围为【答案】【解析】由，即，所以，即，所以，所以,则公差,故,所以,因为,所以数列是等差数列且为递减数列,又当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则，解得29＜m＜32.故答案为:.考点六等差数列在实际中的应用【例6】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考期中）某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为，则满盘时卫生纸的总长度大约（）（，精确到1m）A．65mB．85mC．100mD．120m【答案】B【解析】因为空盘时盘芯直径为60mm，则半径为30mm，周长为，又满盘时直径为120mm，则半径为60mm，周长为，又因为卫生纸的厚度为，则，即每一圈周长成等差数列，项数为，于是根据等差数列的求和公式，得：，又，即满盘时卫生纸的总长度大约为，故选：B.【变式61】（2023·全国·高三专题练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A．戊戌年B．辛丑年C．己亥年D．庚子年【答案】D【解析】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为庚，由于，余数为4，故100年后地支为子，综上：100年后的2080年为庚子年.故选：D.【变式62】（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（）A．20B．25C．D．40【答案】B【解析】被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，则∴当且仅当，即时，等号成立，故选：B.【变式63】（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（）A．八层B．十层C．十一层D．十二层【答案】D【解析】设该塔共有层，则，即，解得或（舍），即该塔共有层，故选：D【变式64】（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】A【解析】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为，依题意有：，，，公差，则，所以谷雨这一天的日影长度为尺，故选：A考点七等差数列的奇偶项问题【例7】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，首项为，则，所以，因为，即，则，等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，所以.故选：B【变式71】（2022·全国·高三专题练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大，则该数列的项数是（）A．4B．8C．12D．20【答案】B【解析】根据等差数列的性质得：，，解得：，故该数列的项数为.故选：B【变式72】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（）．A．30B．29C．28D．27【答案】B【解析】奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．【变式73】（2022·全国·高三专题练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，，所以，所有奇数项的和为，于是可得.故选：A.【变式74】（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝.【答案】2【解析】由,得,所以＝5d＝10，所以d＝2.故答案为：2.【变式75】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.（1）记，求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）353【解析】（1）因为，令n取，则，即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以（2）令n取2n，则，所以，由（1）可知，；；所以【变式76】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n