2024届浙江省金华市重点中学高三适应性调研考试数学试题含解析

2024届浙江省金华市重点中学高三适应性调研考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．2．在直角中，，，，若，则（）A． B． C． D．3．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知复数，其中为虚数单位，则（）A． B． C．2 D．5．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（）A．170 B．10 C．172 D．126．已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件7．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（）A． B． C． D．8．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（）A． B． C． D．9．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．12．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．14．若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________．15．函数的图象在处的切线方程为__________．16．如图，的外接圆半径为，为边上一点，且，，则的面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：（），与轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，已知，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.18．（12分）在角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若的面积为，求的周长．19．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的平分线与交于点D，与的外接圆交于点E（异于点A），，求的值.20．（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数51515123（1）将竞赛成绩在内定义为“合格”，竞赛成绩在内定义为“不合格”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率．参考公式及数据：，其中．21．（12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.22．（10分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示.（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望；（3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份销售量（万辆）试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

作出约束条件的可行域，在可行域内求的最小值即为的最小值，作，平移直线即可求解.【详解】作出实数满足不等式组的可行域，如图（阴影部分）令，则，作出，平移直线，当直线经过点时，截距最小，故，即的最小值为.故选：B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.2、C【解析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角中，，，，，

，

若，则故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．3、C【解析】

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围.【详解】由题化简得，，作出的图象，又由易知．故选：C.【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.4、D【解析】

把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.【详解】解：，则.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.5、D【解析】

中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知，甲的中位数为，故；乙的平均数为，解得，所以.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.6、D【解析】

由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．7、D【解析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系，则，，，由，易得，则.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8、A【解析】

由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.9、A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.10、B【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．【详解】由题意原几何体是正三棱柱，．故选：B．【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．11、B【解析】

因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案.【详解】将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，又和的图象都关于对称，由，得，，即，又，.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.12、A【解析】

由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60【解析】分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理，可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有种方法.详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.14、4【解析】

由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为：4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的15、【解析】

利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可.【详解】,则切线的斜率为.又,所以函数的图象在处的切线方程为,即.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.16、【解析】

先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.【详解】依题意可得，由正弦定理得，即，由图可知是钝角，所以，，在三角形ABD中，，，在三角形ADC中，由正弦定理得即，所以，，故，，，故的面积为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析；定点坐标为【解析】

（1）由条件直接算出即可（2）由得，，，由可得，同理，然后由推出即可【详解】（1）由题有，.∴，∴.∴椭圆方程为.（2）由得，.又∴，同理又∴∴∴∴∴∴，此时满足∴∴直线恒过定点【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.18、（1）；（2）1.【解析】

（1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinBcosA，求得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A=．（2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得b+c=7，即可得解△ABC的周长的值．【详解】（1）由题意，在中，因为，由正弦定理，可得sinAsinB=sinBcosA，又因为，可得sinB≠0，所以sinA=cosA，即：tanA=，因为A∈（0，π），所以A=；（2）由（1）可知A=，且a=5，又由△ABC的面积2=bcsinA=bc，解得bc=8，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，整理得（b+c）2=49，解得：b+c=7，所以△ABC的周长a+b+c=5+7=1．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19、（1）；（2）【解析】

（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解.（2）根据，利用两角和的余弦得到，利用数形结合，设，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.【详解】（1）因为，所以，即，即，所以.（2）∵，.所以，从而.所以，.不妨设，O为外接圆圆心则AO=1，，.在中，由正弦定理知，有.即；在中，由，，从而.所以.【点睛】本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）补充完整的列联表如下：合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050则的观测值，所以有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有名学生，记为，竞赛成绩不合格的有名学生，记为，从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：，共10种，这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：，共3种，所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为．21、（1）0.024；（2）分布列见解析，；（3）【解析】

（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及数学期望；（3）由，且，可知若，则，或若，则，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.【详解】（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件，因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以.（2）由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意的可能取值为8，9，10，11