山西省西安中学2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

山西省西安中学2023-2024学年高三第一次模拟考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

〜恒有皿9^8,

1.已知函数/'（力=（2«+2）111支+20代+5.设"-1,若对任意不相等的正数为，

X]—x2

则实数〃的取值范围是（）

A.(-3,-1)B.(-2,-1)

C.(-00,-3]D.(-oo,-2]

<11V0

2.一炉-〒的展开式中有理项有（）

（2盯

A.3项B.4项C.5项D.7项

3.在长方体ABC。—51Goi中，AB=LAD=y/2,A4=6,则直线DD｛与平面ABQ所成角的余弦值为（）

B叵

"-TD.当

22

4.已知双曲线C：二―==1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为月,B，过耳的直线/与双曲线C的左支交于A、

ab

5两点.若|AB|=|M|,NBM=120,则双曲线。的渐近线方程为（）

A.y=±—xB.y=±^-xC.y=±(6一行)XD・y=±(百一l)x

32

5.在复平面内，复数，(2+i)对应的点的坐标为()

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)

x—2y—240

6.若x、y满足约束条件(x—y+120，则z=3x+2y的最大值为()

y<0

A.5B.9C.6D.12

7.已知命题人任意x1,都有log2xN2；命题q：a>b,贝!］有/>/.则下列命题为真命题的是（)

A.P^QB.pA(-><7)c.(r?)A(w)D.(「P)vq

8.设S“为等差数列｛%,｝的前〃项和，若2（%+。5+%）+3（<28+q2）=66,贝!!几=

A.56B.66

C.77D.78

x+y-l>0

9.已知实数九,V满足不等式组2x—y+420,则|3x+4y|的最小值为（）

4x+y—4W0

A.2B.3C.4D.5

10.已知函数/（x）=asinx-Qcosx的图像的一条对称轴为直线％=二，且/0）"（电）=7,则上+刃的最小

6

值为（）

71八一兀2兀

A4.--B.0C.—D.—

333

11.已知曲线y=a*T+l（a>0且awl）过定点化与，若加+”=匕且m>0,〃>0,则巧+』的最小值为（）.

mn

95

A.-B.9C.5D.-

22

12.如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）,则该几何体的表面积为（）

A.15兀cm~B.217rcm2

C.24Kcm2D.33TTcm2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在直四棱柱ABC。-Age；。中，底面ABC。是平行四边形，点E是棱8月的中点，点厂是棱CG靠近

G的三等分点，且三棱锥4-AEF的体积为2,则四棱柱ABCD-A4GR的体积为

14.在矩形A3CZ>中，AB=2,AD=1,点E,尸分别为3C,。边上动点，且满足跖=1,则的最大

值为.

15.在ABC中，AB=6,BC=1,ZC=—,则AC=.

22

16.已知椭圆C：「+1=1(a>fe>0)的左、右焦点分别为Fi,Fi,椭圆的焦距为2c,过C外一点P(c,2c)作线段

ab

PF1,尸尸2分别交椭圆C于点A、B,若I四|=|AE|,则解=

陷I

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在平面直角坐标系X0V中，已知抛物线石：丁=254d>0)的焦点为产，准线为/,P是抛物线上E上

一点，且点尸的横坐标为2,|母1=3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过点尸的直线机与抛物线E交于4、B两点,过点歹且与直线机垂直的直线〃与准线/交于点"，设A3的

中点为N,若。、MN、E四点共圆，求直线加的方程.

18.(12分)已知函数/(x)=e*-ln(x+〃2)+7",加eR.

(1)若x=0是函数/(尤)的极值点，求〃元)的单调区间;

(2)当mW2时，证明：/(%)>m

已知椭圆离心率为工，过点P且与x轴

19.(12分)设椭圆C：=1(。〉6〉0)的右焦点为F,右顶点为A

“b22

垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设过点A的直线/与椭圆C交于点3(3不在X轴上)，垂直于/的直线与/交于点与y轴交于点若

BF±HF,且NMQ4WNM4O,求直线/斜率的取值范围.

20.(12分)已知A是抛物线&)2=2Q；。>0)上的一点，以点A和点5(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=l于

N两点.

(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程；

(2)若0<p<l,抛物线E与圆(x-5)2+V=9在x轴上方的交点为尸，Q,点G为尸。的中点，。为坐标原点，求直

线OG斜率的取值范围.

21.(12分)在三棱锥S-ABC中，AABC是边长为的正三角形，平面S4C，平面ABC,SA=SC^2,M.

(2)求三棱锥3-的体积.

22.(10分)已知等差数列｛4｝满足q=1,公差d>0,等比数列也｝满足伪=%，&=4，4=%•

(1)求数列&｝,也｝的通项公式;

(2)若数列｛q｝满足~r+~r+~r+'"+~r^%,求｛%｝的前。项和s“.

”1"2"3"n

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

求解/（龙）的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数%,构造新函数，讨论其单调性即可求解.

【详解】

“X）的定义域为（0,+8）,rW=2a+2+4ax=2（W+a+l）j

XX

当时，r（x）＜o,故/（%）在（0,+。）单调递减；

不妨设为＜々，而"-1，知/（九）在（0,+°0）单调递减，

从而对任意再、羽e（0,+oo），恒有＞8,

玉一%2

即|/（再）-/（%2）|28'-司,

〃玉）-〃工2）28（巧-王），/■（下）+8玉2〃%）+8叫，

令g（*）=/（x）+8%，贝!Jg'（x）=加上工+4依+8,原不等式等价于g（x）在（0,+。）单调递减，即

JC

6Z+1

-----b26ix+4＜0,

从而a＜4x]=（2xT）2因为。XT）?

2X2+12X2+12X2+1

所以实数a的取值范围是（-8,-2]

故选：D.

【点睛】

此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.

2、B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出x的指数为整数时厂的个数，即可求解.

【详解】

&i=（-1）2T°』/不，0＜厂＜10,

当厂=0,3,6,9时，（+1为有理项，共4项.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

3、C

【解析】

在长方体中43//G2，得。A与平面ABG交于2,过。做DO,叫于。，可证平面ABC］。］,可得

ND2A为所求解的角，解MAADDj,即可求出结论.

【详解】

在长方体中AB//G。，平面ABC1即为平面ABC,DX,

过。做。。，绚于。，QAB_L平面A4,。。，

。0匚平面明。1。,二48_1。0,43AR=D，

：.DO，平面ABCXDX,/DRA为DDl与平面ABC,所成角,

在WAAZ*,£>〃="=亚AD="做=迅,

DDXV3V15

/.cosZDDjA二~AD^~45~~T

•••直线DDX与平面ABC,所成角的余弦值为半.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.

4、D

【解析】

设|A与|=加，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.

【详解】

设|AB|=|A^|=根,.•.忸用=与「—2|AB"A局.COS120=岛I,由双曲线的定义可知：卜用=加—2a,

因此忸周=2a,再由双曲线的定义可知：忸闾-忸周=2。=>m=¥。，在三角形A耳耳中，由余弦定理可知：

闺阊2=|前『+|AJ；|2-2|A^|-|A^|-cosl20°^c2=（5-273）«2+〃=（5—2石）4

n/=（4—26）/n匕=（4—2百）^-=^3-1,因此双曲线的渐近线方程为：

aa

y=±（百-l）x.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.

5、C

【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

【详解】

解：复数i（2+i）=2i-1对应的点的坐标为（-1,2）,

故选：C

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

6、C

【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=3x+2y,找出直线在y轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数

计算即可.

【详解】

x—2y—2W0

作出满足约束条件x-y+120的可行域如图阴影部分（包括边界）所示.

y<0

3

+,

2一X2

由z=3x+2y,得丁=—；3%+不7，平移直线y=—i：x+7当直线y=—；tx+：7经过点（2,0）时，该直线在V轴上

乙乙乙乙乙乙

的截距最大，此时Z取最大值，

即Zmax=3X2+2X0=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想

的应用，属于基础题.

7、B

【解析】

先分别判断命题p，q真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.

【详解】

0为真命题；命题q是假命题，比如当0＞。＞仇

或a=l,Z?=-2时，则/＞/不成立.

则。人4,（「p）A（—iq）,（「p）vq均为假.

故选:B

【点睛】

本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.

8、C

【解析】

根据等差数列的性质可得2（%+%+%）+3（4+④）=6a$+6aI。=66,即%+=11,

所以兀=I*"；%）=7（%+/）=77,故选C.

9、B

【解析】

3

作出约束条件的可行域，在可行域内求z=3x+4y的最小值即为何+句的最小值，作y=-7X,平移直线即可求解.

【详解】

x+y-l>0

作出实数尤,V满足不等式组2x-y+420的可行域，如图(阴影部分)

4x+y—4<0

故2血"3'1+0=3，

即|3x+4y|的最小值为3.

故选:B

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.

10、D

【解析】

运用辅助角公式，化简函数/(%)的解析式，由对称轴的方程，求得a的值，得出函数/(力的解析式，集合正弦函数

的最值，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数/(x)=asinx-gcosx=，^"T^sin(x+e)(e为辅助角),

上T0皿工口生5万口,/5万、a3

由于函数的对称轴的方程为％二-^,且/(-二)=工+大，

6622

即E+；=J/+3,解得4=1,所以F(x)=2sin(x—K),

223

又由/&)•/(9)=T,所以函数必须取得最大值和最小值，

_57r7i一

所以可设％=2K兀7-----,k[eZ,x=2k?兀----,k?eZ,

626

所以卜]+々|=24]»+2左2乃+飞-,左eZ,

rs

当仁=履=。时，卜+々|的最小值T，故选D.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函

数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

11、A

【解析】

41

根据指数型函数所过的定点，确定左=1力=2,再根据条件77?+〃=2,利用基本不等式求一+―的最小值.

mn

【详解】

定点为(1,2),

/.k=1,Z?=2,

:.m+n=2

4114I、，、1m4〃、9

—I—=一(z—I—)(m+〃)=—(5+—I-----)...—

mn2mn2nm2

iri4〃

当且仅当一=一时等号成立，

nm

429

即加=一,九=一时取得最小值一.

332

故选:A

【点睛】

本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.

12、C

【解析】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5。机，底面直径是6。机，据此可计算出答案.

【详解】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5。机，底面直径是6。机，

该几何体的表面积S=兀xW+兀*3x5=24万.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12

【解析】

由题意，设底面平行四边形A3CD的=且边上的高为力，直四棱柱ABC。-A4G2的高为丸，分别表

示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。

【详解】

由题意，设底面平行四边形ABC。的AB=〃，且AB边上的高为力，直四棱柱ABC。-44G。的高为〃，

则直四棱柱ABCD-44G2的体积为V=Sh=abh,

又由三棱锥A-AEP的体积为以一的=/_ME=gs禽=；xgahxb=：abk=2,

解得。劭=12,即直四棱柱的体积为12。

【点睛】

本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱

三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。

14、4

【解析】

利用平面直角坐标系，设出点E,b的坐标，由跖=1可得（a-Ip+（＞-2）2=1,利用数量积运算求得

AE-AF=2b+a＞再利用线性规划的知识求出t=a+2b的最大值.

【详解】

建立平面直角坐标系，如图（1）所示：

设E（2,a）r0,l）,

•••d(2-b)2+(l-a)2=1,

即(a—l)2+(人一2)2=1,

y-AE-AF=2b+a>

令t=a+2b,其中0<a<l,0Wb<2,

画出图形，如图（2）所示：

当直线f=a+2b经过点歹（0,2）时，f取得最大值t=4.

故答案为：4

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.

15、1

【解析】

由已知利用余弦定理可得AC?+AC-2=0,即可解得AC的值.

【详解】

27r

解：AB=6，BC=1,ZC=,

•••由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC.BC.COSC，

可得3=AC2+1-2XACX1X(-；),整理可得：AC2+AC-2=0,

二解得AC=1或-2(舍去).

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

16、272

【解析】

根据条件可得判断。4〃尸入，S.\PF2\=2\OA\,从而得到点A为椭圆上顶点，则有8=c,解出5的坐标即可得到比值.

【详解】

因为因4|=|AB|,所以点A是线段尸尸1的中点，

又因为点。为线段Fi尸2的中点，所以。4〃PF2,且IPF2尸刀。1|,

因为点P(c,2c),所以PF2，x轴，则|PF2|=2C,

所以。轴，则点A为椭圆上顶点，

所以|0A|=Z>,

贝！J26=2c,所以8=c,a=而+。2=0c,

22B

设5(c,m')(%>0),贝!JJ+勺=1,解得机=2c,

2

2c2c2

di

所以出尸2|=在。

2

故答案为：20.

【点睛】

本题考查椭圆的基本性质，考查直线位置关系的判断，方程思想，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y2=4x(2)y=±42(x-l)

【解析】

(1)由抛物线的定义可得归川=2+9即可求出乙从而得到抛物线方程；

(2)设直线加的方程为x=O+l,代入/=4x,得丁2—4什一4=0.

设人和%)，3(%,%)，列出韦达定理，表示出中点N的坐标，若。、N、尸四点共圆，再结合

得OMLQV,则OM.ON=0即可求出参数乙从而得解；

【详解】

解：⑴由抛物线定义，得用=2+勺3,解得。=2,

所以抛物线E的方程为9=4x.

(2)设直线”的方程为x=O+l,代入/=4x,得V—43—4=0.

设4(菁,必),B(%2,y2),则%+%=4，%%=-4.

由y；=4%],_yf—4%,得

Y+Y_弁+只一(X+-_(4厅-2X(-4)

A,十人-)—------1----------------------------------------------=4d+2，

124444

所以N(2产+1,2，).

因为直线的斜率为:，所以直线〃的斜率为-乙则直线九的方程为y=-《x-l).

解得"(—1,2/).

若。、M>N、E四点共圆，再结合RVLRW,得OMLON,

则QM-QN=—lx(2/+1)+2d2/=2/—1=0,解得/=±正,

所以直线加的方程为y=±0-1).

【点睛】

本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.

18、(1)递减区间为(-1,0),递增区间为(0,+电)(2)见解析

【解析】

(1)根据函数解析式，先求得导函数，由％=0是函数/(x)的极值点可求得参数求得函数定义域，并根据导函数

的符号即可判断单调区间.

(2)当机(2时，ln(x+m)«ln(x+2).代入函数解析式放缩为了(九)=析一放(x+/n)+/nNeX-ln(x+2)+/n,代入

证明的不等式可化为e'-ln(x+2)>0,构造函数力(x)=e“-ln(x+2),并求得〃'(x),由函数单调性及零点存在定

x

理可知存在唯一的％,使得h'(x0)=/。-=0成立，因而求得函数h(x)的最小值h(x°)=e°-ln(x0+2),由对

数式变形化简可证明力(%)>0,即/z(x)2/z(%)>0成立，原不等式得证.

【详解】

(1)函数/(x)=废-ln(%+加)+加,a£H

可求得/(%)=靖一——,则|1(0)=1-工=0

x+mm

解得m=1,

所以/(x)=eX—ln(x+l)+l,定义域为(-1,+8)

f\x)=ex——匚在(―1,+8)单调递增，而广(0)=0,

x+1

.•.当xe(—1,0)时，((*)<0,/(尤)单调递减，

当xe(0,+8)时，f\x)>Q,f(x)单调递增，

此时x=0是函数于(x)的极小值点，

二/(x)的递减区间为(—1,0),递增区间为(0,+8)

(2)证明：当机W2时，ln(x+m)Vln(x+2)

f(x)=ex-ln(x+m)+m>ex-ln(x+2)+m,

因此要证当mW2时，/(%)>m,

只需证明ex-ln(x+2)+m>m,

即^-ln(x+2)>0

令h(x)=ex-ln(x+2),

则〃(x)=/-一—，

x+2

♦・・〃(%)在(-2,y)是单调递增,

而〃(―1)」—1<o,〃(o)」>0,

e2

二存在唯一的飞,使得/(％)=*---=o,x0G(-l,0),

玉)+2

当xe(-2,Xo),/z'(x)<O,/i(x)单调递减，当xe(Xo，+8),〃'(x)>O,/z(x)单调递增，

因此当x=/时，函数h(x)取得最小值/?(x0)=e^-ln(x0+2),

,1

毛e(-l,O),/z(xo)=---—=0,

Xo+2

*=-,ln(x0+2)=-x0,

%+2

故〃=一111(%+2)=-+x0=：%+?>0,

x0+2x0+2

从而〃(x)2/z(Xo)>O,即/-ln(<+2)>0,结论成立.

【点睛】

本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应

用，属于难题.

19、(I)—+^=1(II)Ui"—,+<»

43I4」［4J

【解析】

2b2c222

(I)由题意可得且=3,e=—,a^b+c,解得即可求出椭圆的C的方程；

aa

(II)由已知设直线I的方程为y=k(x-2),(存0),联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根

与系数的关系求得B的坐标，再写出所在直线方程，求出H的坐标，由8歹，皿,解得yH.由方程组消去y,解

得为，由NMQ4WNM4O,得到“21,转化为关于左的不等式，求得左的范围.

【详解】

（I）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3,

1

所以2且b=3,

a

11

因为椭圆离心率e为一所以丁c万,

又〃=廿+。2，

解得a=2,c=l,b=^3，

22

所以椭圆C的方程为L+2L=1

43

（II）设直线/的斜率为M左。0）,则丁=左（4—2）,设8（4,力），

y=^(x-2)

222

由＜光2y2得(4左2+3)x-16kx+16k-12=0,

[43

8k2—68k2-6

解得尤=2,或%=，由题意得演=

4r+3442+3

NK

从IIK而犷E-

由（I）知，—1,0），设（（0,%）,

/9-4k212k、

所以切=(—1,%),BF=

、4芯+34左2+3,

因为3尸，彼，所以8尸.麻=0,

所以w+禺=°'解得"9-4k2

12k

19一4”2

所以直线的方程为丫=-上苫+1^

k12k

y=k(x-2)20k2+9

设/（如，％），由,y-L+上消去儿解得3诃E，

「k12k

在AMAO中，ZMOA<ZMAO\MA\<\MO\,

即(%-2)

20左2+9

所以421，即年T'

解得小手，或d

/、

所以直线/的斜率的取值范围为-8,-,+8.

7

【点睛】

本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程,

属于难题.

2L42]

20>(1)y=4x.(2)I0,—2—J

【解析】

(1)设A的坐标为A(xo,jo),由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线x=l的距离.由半个弦长，圆心到直线的

距离及半径构成直角三角形可得P的值，进而求出抛物线的方程；

(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换

元可得斜率的取值范围.

【详解】

（1）设A（xo,jo）且城=2〃xo,则圆心C+一2'登）’

圆。的直径|Ab|=2）2+%2,

圆心C到直线x=l的距离d=|‘拦—1|=|EI，

22

因为所以（丝»）解=（网）即日

|MN|=2,2+2,1+J%—2）一+%2,y02=2pX0,

2244

整理可得(2,-4)xo=O,所以p=2,

所以抛物线的方程为：J2=4x；

y2=2px

(2)联立抛物线与圆的方程4；9整理可得好-2(5-p)x+16=0,△>0,

(犬—5)+y=9

设尸（Xl,Jl）,Q（必，）2）,贝!|Xl+%2=2（5-p）,X1X2=16,

所以中点G的横坐标XG=5-p,——（+）=或p_p?f

2

所以和G=