2024年山东省高考数学过关练习卷（含答案）

2024年山东省高考数学过关练习卷

一、单选题

1.已知集合A={x|04x44,xcN},3={x|尤=3左一1/eZ},则AB=()

A.{0,2}B.{2,4}C.{2}D.{1,3}

2.已知复数z满足z（3+4i）=5,其中i为虚数单位，贝丫在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.己知ae（O,兀），cos（tz+：］+cos（a-：］=-g,则sina的值为（）

A1R亚C用D2加

3333

4.己知函数/（力=2,-3、则不等式了（巧＜〃2尤+3）的解集为（）

A.（-1,3）B.（^»,-l）u（3,+oo）

C.(-3,1)D.(-oo,-3)u(l,+oo)

5.设S“是等比数列｛q｝的前〃项和，若邑，品，臬成等差数列，«i=-2,则%的值为（）

11

A.-2B.——C.-D.1

22

6.己知忖=2,6=（石,3）,£在3上的投影向量为口，则“与b的夹角为（）

A5"c冗c兀式.兀

A.一B.—C.—或一D.—

63666

7.己知椭圆/+/=1（。＞6＞0）的左焦点为尸，过原点且斜率为4的直线与椭圆交于P,。两点，若

PF-QF=~,则椭圆的离心率为（）

8.人工智能领域让贝叶斯公式:站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术,

某视频网站利用该技术掺入了一些"AI"视频，"AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度

鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴

定为"AI"；它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为"AI".已知某个视频被鉴定

为"AI",则该视频是"AI"合成的可能性为（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

1

二、多选题

9.已知x,yeR,且12*=3,12y=4>贝1K)

A.y>xB.x+y>l

C.xy<—D.\[x+y]~y<V2

10.有"("wN*,〃。10)个编号分别为1,2,3,”的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余

盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒

子；…；以此类推，记"从i号盒子取出的球是白球”为事件A(z=l,2,3,〃)，贝lj()

14

A.P(AA)=-B.P(AIA)="

71

C.^(A+4)=-D.P(4o)=-

11.已知抛物线E：x2=4y的焦点为R过尸的直线4交E于点网匕,力),E在8处的切线为《，

过A作与4平行的直线4,交E于另一点c(w，%),记4与y轴的交点为。，则()

A.%%=1B.%+无3=3尤2

c.AF=DFD.一ABC面积的最小值为16

三、填空题

7

12-"8I展开式中的常数项为

13.设函数/(x)=sin(2x-：)在|«,々+勺上的值域为[”,N],则N-M的取值范围是.

DJ

22

14.设一ABC内接于椭圆E:1r+%=l(a>b>0),A与椭圆的上顶点重合，边8C过E的中心。，若AC边上

中线8。过点尸(0,c),其中。为椭圆E的半焦距，则该椭圆的离心率为

四、解答题

15.假定某同学每次投篮命中的概率7为:，

⑴若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；

(2)该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X的概率分布及数

学期望.

2

16.已知函数/（尤）=aln尤-x+1,其中aeR.

⑴若曲线y=在x=l处的切线在两坐标轴上的截距相等，求

（2）求函数〃尤）的单调区间.

17.如图，己知三棱台ABC-ASG的高为1,AB=AC=2,ZBAC=9Q°,。为BC的中点，A4=AG=1,

ZA1AB=ZA1AC,平面ABC，平面ABC.

⑴求证：A。"1■平面ABC；

3

⑵求CC,与平面ABB,A所成角的大小.

22

18.已知椭圆C:\+2=l(a>6>0)的右焦点为网3,0),直线/:xsin。+ycos。=NO<。<兀)与C相交于A、

ab

5两点.

⑴求直线/被圆。：d+/=/所截的弦长；

⑵当e=］时，|AB|=y-

(i)求C的方程；

(ii)证明：对任意的〃40,兀)，△ABb的周长为定值.

19.设集合4={-1,4,。2，，〃“}，其中1=4<%<<an,n>2,B={x\x=(p,q),p^A,q^A].若对任意的向

4

量XjeB,存在向量使得玉，3,则称A是"T集".

⑴设M={-U,2},N={-U,2,3},判断M,N是否为"T集".若不是，请说明理由;

⑵已知4是"T集".

(i)若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A;

(ii)若=c(c为常数)，求有穷数列4,%，%，，4,的通项公式.

参考答案：

1.C

【分析】求出集合AB或明确集合中元素的特征，根据集合的交集运算，即可求得答案.

【详解】由题意得4={0』,2,3,4},3={x|x被3除余数为2的整数},

:.AIB={2},

故选：C.

2.D

【分析】根据复数的除法运算求得z,再求z在复平面内对应的点.

【详解】z=—5=3三-4竺i，则对应(点3为4、,

3+415155J

所以求z在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

3.A

【分析】解法一：利用两角和(差)的余弦公式展开求出cosa,从而求出sina；解法二：利用诱导公式得到

cos[a+：]+sin[a+；j=-g,将两边平方可以得到cos2a=(,再由二倍角公式计算可得.

【详解】解法一：因为ae(O,7t),cos[a+：]+cos["：]=-g,

LLI、I71.7171.714

所以cosacos——smcrsm—+cosacos—+smasin—=——,

44443

44

即A/2COSO=—所以cosa=—^^＜。，

所以a£(|＞兀],所以sin。=J\—cos2a=；.

5

因为ae(0,兀)，cos[a+z)+cos[a-1]=­§,

解法二:

,(兀、(兀、兀

Qr4

即COSCCH--+COSCL-------

I4jLI4j2.3

所以COSI6T+—I+sinI6Z+—4

3

两边平方可得l+2sina+—Icosla+—

77

所以sin[2a+]卜所以cos2a=§,

又aw(O,7i),所以sina=1

3

故选：A.

4.A

【分析】解法一：判断函数的单调性,再利用单调性解不等式即可.

解法二：特值排除法.

【详解】解法一：函数f（x）的定义域为R,函数y=2=y=3T分别是R上的增函数和减函数,

因此函数/⑺是R上的增函数，由/（尤2）</（2X+3）,得/<2X+3,解得-1<X<3,

所以原不等式的解集是（-1,3）.

故选：A

解法二：特值当％=0时，/（0）</（3）,排除B,D,当犬=1时，/（1）</（5）,排除C,

对A：当xe（-l,3）时，尤2<2X+3,因为函数了。）是R上的增函数，所以/（元?）<〃2尤+3）,故A成立.

故选A.

5.B

【分析】解法一：根据等比数列的性质判断；解法二：根据等比数列的基本量运算；解法三：利用二级结论

黑+“=鼠+4”.求解.

【详解】解法一：性质+特值.

%=—2=>%<0,排除c,D；

当4=1时，2s9=邑+4=18%=3%+6%=9%n%=0,矛盾,

所以qwl,所以％W-2,故排除A,

6

对B：tz7=——时，由4=-2得d=——,

9

此时2s9=

4i-q

所以2s9=邑+$6成立.

故选：B.

解法二：基本量运算.

当q=l时，2sg=邑+S6n18al=3%+64=9。]=>4=0,矛盾，

所以#1,

当qwl时，贝5|2$9=$3+S6=+

1-q''1-q''1-q'/

nq3(q3_])Qq3+i)=0nq3=_g,...%=弓/=_2x1_J=-g.

故选：B.

解法三：二级结论鼠+“=S”+4"5.

36

S9=.S3+43s6=S6+q6s3n2Sg=S3+S6+qS6+qS3,

由2s9=63+86，贝1/56+4653=0=56+4353=(),

又七二名+4况=(1+/》3，

则-心3=(1+亦3n(l+20S3=O=>q3=-；或邑=0,

当邑=0时，q(l+q+/)=0,q无解,故星=。舍去.

故选：B.

6.D

【分析】设0与6的夹角为。，由a在6上的投影向量为卜卜。$44=：6即可求得cosd的值，结合向量夹角的

范围即可求解.

【详解】设“与b的夹角为。，|/,|=^V3)2+32=2A/3

7

则〃在人上的投影向量为|〃|cos。•白=3即2cose.q=4,

川22732

所以cos0-b=^-b，所以cos0=,

22

因为8句0,句，所以6=1,

o

故选：D.

7.B

【分析】方法1,根据向量极化恒等可得|。0=乎/求得/OFQ=],=根据通径列式得解；方

法2,建系向量坐标运算，得NOFQ=T，同法1运算得解；方法3,利用对称性+焦点三角形求解；方法4,

利用余弦定理的向量形式+极化恒等式运算得解；方法5,直线方向向量+解三角形+通径运算得解.

2

【详解】解法一：PFQF=(P0+OF^QO+0F)=(OF-QC^(QO+OF^=~,

22

.-.|FOI-|oei=-^|oe|=^c.

5

又koQ=tan/FOQ=1,

276FO7i

=>cosZFOQ=-^-=-^-^ZOFQ=-f

1,V2b1V2a2-c22屈,c

=>FQ\=c=—=>c=---------------=>e-i----------e—l=0,

2a2a2

又ee(O,l),则°=乎.

故选：B.

下同解法一(略).

故选：B.

解法三：设右焦点耳(-GO),

8

PF-QF=—~—=>PF-PF、=—=>

又Pc,^~c,贝ij（〃+ec）（Q—ec）=',又e<O,l）,贝ije=2^.

故选：B.

22

解法四：尸尸•。尸=-]npO|2ToQ'=-.=>pQ[=痴，

2222

..c|FP|+|Fe|-|Pe|c2

FP|2+\FQ\1-6M

J---------L----------=__附J+阿2=$_c?，

2

n（a+exj+（a+ex°）=6-c,xQ=—xP,

2222222

贝lj2〃+2eXp=6—c,Xp=c=>2a+2ec=6—cf

又ee（O,l）,则6=乎.

故选：B.

解法五：尸7人。歹=-；=归Of-\OQ|2=-y^>|02|=^yc,

由左。2=当n°Q=21,与，/1二°,则2=c=>Q，，d，下同解法一（略）.

故选：B.

8.C

【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.

【详解】记“视频是AI合成〃为事件A,记〃鉴定结果为Al〃为事件B,

则P（A）=0.001,P（A）=0.999,P（B|A）=0.98,P（B|A）=0.04,

P（A）P（B|A）0.001x0.98

由贝叶斯公式得：P（A|B）==0.024,

P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）-0.001x0.98+0.999x0.04

故选：C.

9.ACD

【分析】

用对数表示x,y,利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案.

【详解】

9

---12x=3,...尤=logi23,同理y=log]24,

V=logi2》在X>O时递增，故y>x,故A正确;

x+y=log1212=l,B错误；

x>0,y>0,二肛V［号)=1,当且仅当x=y时等号成立，而x<y,故孙<；,，c正确;

x+y+2y[xy=1+2y/xy<2,即y[x+<A/29D正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】

根据题意，由概率的公式即可判断AC,由条件概率的公式即可判断B,由P(4)与P(A_i)的关系，即可得到

尸(A)C从而判断D

【详解】

224

对A,P(AA)=jxj=->所以A错误；

对B,P(A)=fx|+ixi=2,故尸(AI4)=W=w，所以B正确；

3jJjy厂(82/，

2547

对c,p(4+A)=P(A)+m)-^(AA)=f+---=9-所以c正确；

对D,由题意：尸(A“)=；P(AT)+；［I-尸(4一川，所以尸(4)一:=』尸(4-)一』，

尸⑷总尸⑷十m，所以P(4)T=3G「=N『

所以P(4)=；(I+&］，

则尸(A°)dj,所以D错误.

故选：BC.

11.ACD

【分析】

A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线4的方程为>=履+1,联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出

%%=1;B选项，求导，得到切线方程,联立抛物线方程，得到占+迅=2%；C选项，求出0(0,%+2),\DF\=yl+l,

10

结合焦半径公式求出|AP|=*+1,C正确；D选项,作出辅助线,结合B选项，得到SMe=2sABM，表达出S^ABM,

利用基本不等式求出最小值，从而得到,ABC面积最小值.

【详解】

A选项，由题意得/（0,1）,准线方程为＞=-1,

直线4的斜率存在，故设直线4的方程为＞=履+1，

联立/=4y,得/_妹_4=0,%/=-4,故%%=&；尤=1,A正确;

16

B选项，y'=gx,直线4的斜率为;％,故直线4的方程为y-y=与（》-司）,

即y='x+X+2,联立尤2=4y,得£一29左一2（乂+2）=0,故占+毛=2%,

所以B错误；

C选项，由直线4的方程＞一切=5（无一百）'令％=0得＞=与（一玉）+%，

又尤1%=-4,所以y=x+2,

故D（0,%+2）,故忸尸|=y+1,

又由焦半径公式得|A厂|=y+l,所以C正确；

D选项，不妨设不＜马,过8向4作平行于＞轴的直线交4于M，

故SABC=2sABM,

根据直线4的方程yf=)，

当尤=%时，y=-%)+%=^-+y,--^-=-y+)7i+2>

故加上,辛+y+2),

11

故忸

M=-^-+y1+2-y2=

.\2/A'(A'

I，I1/\I4।I144

故ScABM=％(%—%21丁.玉+—=~石+—>玉+―

24IxJ81占八%

故一ABC的面积最小值为16,D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最

值或范围.

105,

12.—/6.5625

16

【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解.

【详解】L4+y2+—可看作7个小+>2+不匚相乘，要求出常数项,

-2xy)2町

只需提供一项一,提供4项占，提供2项V，相乘即可求出常数项，

2105

16

13.11,V3]

7T

【分析】探讨函数“X)的周期，按函数/(X)在［a,a+?上是否单调分类求解N-M的范围，再求出交集作答.

【详解】函数/1)=3吟4)的周期7=兀，^(«+^)-«=|<|,

当函数fM在函,a+守上单调时，N-M=|/(a)-f(a+j)|=|sin(2a-j)-sin(2cr+/)|=若|cos2a\<y/3,

7T

当函数/(X)在上不单调时，由正弦函数的图象性质知,

TTTT

当/(%)在［oc,a+—］上的图象关于直线x=a+：对称时，N—M最小,

36

12

>r—rc/兀、兀1兀Tr—r口nk)l7L__

止匕时2(。+—)——=ku+5,4wZ,即cc—,左1£Z,

717T7T71

因此(N-M)=1/(«)-/(«+-)1=1sin(2a--)-sin2a|=|sin(fai+-)-sin(far+-)|

niino3o2

,17.1

=—cosku-coskZn\=—,

22

所以N-M的取值范围是［g,宕］.

故答案为:g,我

【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范

围，再利用正(余)函数性质求解即得.

14.--

10

【分析】画出草图，分析可知/为ABC的重心，求解即可.

边过E的中心。，所以。为8C的中点,

则49为边8C上的中线，AC边上中线3D过点*0,c),

所以两中线的交点为尸，即尸为SBC的重心,

所以3|。石=|3|,即3c=6,贝I」/=9C2,

所以。2一。2=9。2,所以6=1002,

所以e2=《，所以e=回

1010

故答案为：叵.

10

8

15.(1)—

27

on

(2)概率分布见解析，E(X)=-

【分析】

13

(1)有二项分布概率公式计算即可得;

(2)分别计算出P(X=2)、P(X=3)、尸(X=4)后结合概率分布及数学期望定义计算即可得.

【详解】(1)令投中i次的概率为「任=，),

2

2

则p(y=2)=c；1-|।$

(2)X的可能取值为2、3、4,

2

p(X=2)=if

4411

P(X=4)=「P(X=2)-P(X=3)=1_§-为=力,

故X的概率分布为:

X234

4411

P

92727

441180

其数学期望E(X)=2x§+3x力+4*方=万.

16.(1)1

⑵答案见解析

【分析】

(1)借助导数的几何意义及截距的定义计算即可得；

(2)借助导数分类讨论即可得.

【详解】(1)r(x)=1-l,贝1]/⑴=；-1=。一1,4l)=alnl-l+l=0,

故曲线y=〃x)在尤=1处的切线为y-0=(a-l)(x-l),

即y=(a—l)x—(a—1),

当awl时，令x=0,有y=-(a—1),

令y=0,有犬=1,故一=即々=0,

14

此时/（x）=-X+1,无切线，故不符合要求，故舍去；

当。=1时，此时切线为y=。，符合要求，故。=1

/、\Qy—x+a八

（2）f（x）=——1=--------,x>0,

XX

则当“<0时，尸（x）==^vo在（0,+力上恒成立，

故“X）在（0,+8）上单调递减；

当a>0时，令尸（力=0,贝!|x=a,

当xe（0,a）时，>0,当xe（a,+oo）时,广

故〃x）在（0M）上单调递增,在（。,+8）上单调递减；

综上所述，当aVO时，/（X）在（0,+8）上单调递减，

当a>0时，“X）在（0,。）上单调递增，在（。,+8）上单调递减.

17.⑴证明见解析

（2）30°

【分析】

（1）借助面面垂直的判定定理即可得线面垂直；

（2）建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.

【详解】（1）由A2=AC=2,AAiAB=AAlAC,AA,=M-

故△A4.C与.44由全等，故AC=42,

又。为BC的中点，故A0L8C,

XBC=\BCn[1]ABC,平面ABC_L平面ABC,

且AOu平面ABC,故A。，平面ABC；

（2）连接AO,由AOu平面ABC,A。，平面A3C,故AO_LA。,

又AB=AC=2,。为8C的中点，故4913C,

11I---------f—

即8C、AO,4。两两垂直，MOA=-BC=-V22+22=V2,

故可以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

15

有0(0,0,0)、B(也0,0)、A(0,夜,0)、C(-V2,o,o),

由三棱台ABC-A4G的高为1,故。4=1,故4(0,0,1),

31交]/也也〕

\227\227

则CC|=当当,1,AB=(72,-72,0),AB[=-呼,1

\7\7

令平面ABB}\的法向量为m=(x,y,z),

母x-6y=0

m•AB=0

则有-即血3A/2

m•AB1=0——x------y+z=0

122

令x=i，则有y=i、z=0,故〃2=(i,1,3),

CC,m

则有COSCC],“2=|G

\ccl\-\m\

故CG与平面ABBJA所成角的正弦值为1,

即cq与平面A网A所成角为30。.

⑵⑴1+当=1；0)证明见解析•

2516

【分析】(1)由点到直线的距离得圆。到直线/的距离d=6,再利用几何法求出直线与圆的相交弦长，从而

可求解.

(2)(i)当。时，直线/的方程为*=1,,将该直线方程代入椭圆方程，求出|A3],根据已知条件求出。、b

的值，即可得出椭圆C的方程;

16

(ii)求出原点到直线A3的距离，将直线A3的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理分析额可知点A、5的横

坐标均为正数，利用勾股定理、椭圆方程可求出AAB尸的周长.

【详解】⑴由题意得圆。的圆心为。(0,0),到直线/的距离2=」I=4

“sine+cos0

则直线/被圆。所截弦长为2A/7=7=2C=6-

故直线/被圆。所截得的弦长为6.

7T

(2)解：当。==时，直线/的方程为*=、

2

x-b

⑴联立dy2，得y=土如，所以恒同=艾£=核=’,

[a2b1

又因为々2=62+，，所以〃=5,b=4,

所以，椭圆C的方程为1+1=1；

2516

(ii)设点4(%,乂)、B(x,,y2),贝卜54玉45,且

所以，14司=&占_3?+犬=Jx；-6X]+9+16-1|x；=忌尤;一6网+25

333

=-^-5=5--^,同理可得忸司=5_1%，

1-^1

因为原点到直线AB的距离为d=/「，=6=4,

Vsin26>+cos26»

过原点。作awLAB,垂足为点如下图所示:

所以，\AB\=\AM\+\BM\=yj\OAf-d2+y)\OBf-d2=&+3-16+Jx-6

=Jx；+16-4x；-16+Jxl+16-^--16=11%|+1|无21'

xsin^+ycos^=4

联立<12y2可得(16+9sin2_200xsin8+400sin28=0,

12516

A=40000sin26>-1600sin26>(16+9sin26)=14400sin26>cos26>>0,

17

当且仅当。=1时，等号成立，此时点A、3关于1轴对称，合乎题意,

因为。£(0,兀)，则0<sin6Kl,

,rzp.200sin6^„400sin20

由韦达定理可得％+,二:〃.27〉。，X,X=------------5—>0,故芭>0,x2>0,

16+9sin01?-16+9sin26>

333

所以,|AB|=J|.X1|+J|X2|=-（X1+X2）,

33

因此，ZVlB尸的周长为|A_F|+忸可+|Afi]=10—y（芭+彳2）+w（占+%）=10（定值）.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种:

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

19.⑴M是"T集";N不是"T集",理由见解析；