湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年九年级上学期期末

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）

2.事件①：任意画一个多边形，其外角和为360。；事件②：经过一个有交通信号灯的

十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（）

A.事件①和②都是随机事件

B.事件①是随机事件，事件②是必然事件

C.事件①和②都是必然事件

D.事件①是必然事件，事件②是随机事件

3.若一元二次方程/一3元+。=0的一个根为x=2,则。的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.在平面直角坐标系中，以点（4,3）为圆心，4为半径的圆与坐标轴的位置关系为（）.

A.与x轴相切B.与x轴相离C.与y轴相切D.与y轴相交

5.我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云

阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864

平方步，它的宽比长少12步.如果设宽为无步，则可列出方程（）

A.x（x-6）=864B.x（x-12）=864

C.X（X+6）=864D.X（X+12）=864

6.已知..TWC在正方形网格中的位置如图所示，A,B,C,P四点均在格点上，则点P

叫做ABC的（）

A.垂心（三边高线的交点）B.重心（三边中线的交点）

C.外心（三边垂直平分线的交点）D.内心（三内角平分线的交点）

7.已知抛物线y=/-2x+c经过点和点。（〃?,%）.若%<%，则比的取值范

围（）

A.-l<m<3B.1<m<3

C.加<一1或机>3D.机<一1或加>2

8.有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则,

作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）

开始

A.随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球

B.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球

C.随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球

D.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球

9.如图，点尸在（。的直径48上，作正方形尸CDE和正方形PFG”,其中点。，G

在直径所在直线上，点C,E,RH都在。上.若两个正方形的面积之和为16,OP=0,

则DG的长是（）

A.672B.2^/14C.7D.4百

10.已知抛物线>=/+依+匕与无轴两个交点间的距离为2,将此抛物线向右平移2个

单位，再向下平移3个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线与无轴两个交点间的距离

是（）.

A.4B.5C.8D.4百

试卷第2页，共6页

二、填空题

11.在平面直角坐标系中，点尸（-3,4）关于原点对称的点的坐标是.

12.若芯="2,々=〃是一元二次方程d-2x—5=0的两个实数根，则.

13.如图是可以自由转动的三个转盘，请根据下列情形回答问题（不考虑指针落在分界

（1）转盘1被分成了2个扇形，圆心角为120。的扇形涂成红色，其余部分涂成白色，

转动转盘1,当转盘1停止转动时，指针落在红色区域的概率是.

（2）转盘2、转盘3都已被分成了3个相同的扇形，并且分别涂成红色、白色、黄色，

同时转动转盘2和转盘3,当两个转盘停止转动时，则指针落在区域的颜色都是红色的

概率为.

14.如图，以点。为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的。刻

度线与直角三角板的斜边重合，点。为斜边A8上一点，作射线交半圆弧于

点E,如果点E在量角器上对应的读数为50°,那么NBDE的大小为.

15.如图，二次函数y=ar2+bx+c（4<0）的图象与无轴的正半轴相交于人（西,0）,8两

点（0<%<1）,与y轴交于点C.对称轴为直线x=2,且。4=OC,下列结论，其中正

确的结论是.（填写正确结论的序号）

①abc>0；

②4a+6=0；

③若a无2+6尤+c<尤+c,贝!|0<x<-c；

④关于x的方程ax?+fcv+c=0有一个根为》=-工.

a

16.如图，在等腰RtAABC中，ZACB=9Q°,请将等腰Rt^ABC以点A为旋转中心旋

转60。得到△△与G，延长BG与直线AB交于点，若AC=2,则线段CtD的长为

三、解答题

17.己知二次函数>=炉+4..3.

(1)用配方法将二次函数的一般式化成y=a(x-/z)2+上的形式：

⑵分别写出此二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.

18.若关于x的一元二次方程尤2+4X+〃-1=0有两个相等的实数根，求相的值及方程

的根.

19.如图，将一ABC绕点A逆时针旋转140。得到VADE,B,C,。三点恰好在同一直

线上.

⑴判断八4匿的形状；

(2)连接CE,若CELBD,求/54C的度数.

20.一只不透明袋中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习

小组做摸球试验：将球搅匀后从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、揽匀，不断重复这

个过程，获得数据如下：

摸球的次数200300400100016002000

试卷第4页，共6页

摸到白球的频数7293130334532667

摸到白球的频率0.036000.031000.032500.033400.033250.03335

（1）该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.001）,

由此估出红球有个；

（2）现从该袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图或列表法求恰好

摸到1个白球和1个红球的概率.

21.如图，以AD为直径的半圆。经过Rt^ABC斜边42的两个端点，半圆。与直角边

AC交于点E,且B,E两点是半圆弧的三等分点.

（1）在图1中，请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图（作图过程用虚线，作图结果

用实线）.

①画一条和3C平行的弦；②画BE的中点

⑵如图2,已知。的半径为4,求图中两个阴影部分面积的和.

22.中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安

装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与

水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，表中记录了x与y的五组数据：

X（米）1234

y（米）0.51.251.51.250.5

2水rn―『（1）根据表中所给数

）4--t

~Oi234*

据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象：

⑵求y与x的函数表达式；

（3）公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示,

为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚

上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，己知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的

高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米

才能符合要求？

23.【问题背景】如图1,己知「ABC和VADE都是等边三角形，求证：BD=CE：

【尝试应用】如图2,在ABC中，Zfi4c=60。，在AC上截取=连接班D

为3c上一点，将线段8。绕点B逆时针旋转60。，得到线段BE,连接AE并延长交线段

BF于点M,且雨=CF,求证：点。为线段3c的中点：

【拓展探究】如图3,在ABC中，ZBAC=60。，点。为边AC上的一点，当时,

连接8£),将线段3。绕点B逆时针旋转60。，得到线段BE,连接AE,DE,若A£>=4,

请直接写出一ABE面积的最大值为.

24.(1)已知抛物线G：y=a/+以经过原点。，其顶点P的坐标为(2,4).求抛物线C1

的函数表达式;

(2)如图1,若抛物线G与x轴交于另一点E,过O,E两点作开口向下的抛物线C2,

设其顶点为。(点。在点P的下方)，线段PQ的垂直平分线与抛物线G相交于M，N

两点，若四边形PM2N的面积为名亚时，求抛物线C?的函数表达式；

27

(3)如图2,将抛物线G向左平移1个单位长度，得到抛物线G，且与y轴正半轴，尤

轴正半轴分别交于A,8两点，连接AB,过点P作轴于点在直线P以上有

一点C,坐标平面内有一点。，使得以A,B,C,。四点为顶点的四边形是矩形，请直

接写出所有满足条件的。点的坐标：.

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参考答案:

1.D

【分析】根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念，对每个选项进行判断即可.

【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键.

2.D

【分析】根据随机事件和必然事件的概念判断可得.

【详解】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360。，这是必然事件；

事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯，这是随机事件；

故选：D.

【点睛】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随

机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3.A

【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握.

一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即

用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解。的一元一次方程.

【详解】解：把x=2代入方程/_3元+a=0可得4一6+°=0,

解得a=2,

故选：A.

4.C

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质.直线与圆相离，直线到圆心的

距离大于半径；直线与圆相交，直线到圆心的距离小于半径；直线与圆相切，直线到圆心

的距离等于半径.

将该点的横纵坐标绝对值分别与半径对比，若横坐标绝对值大于半径时，则y轴与该圆相离;

若横坐标绝对值小于半径时，则y轴与该圆相交；若横坐标绝对值等于半径时，则y与该圆

答案第1页，共21页

相切；若纵坐标绝对值大于半径时，则X轴与该圆相离；若纵坐标绝对值小于半径时，则

X轴与该圆相交；若纵坐标绝对值等于半径时，则尤与该圆相切.

【详解】解：点(4,3)为圆心，4为半径的圆，

则有4=4,3<4,

••.这个圆与,轴相切，与x轴相交.

故选：C.

【分析】设宽为X步，则长为(X+12)步，然后根据长方形面积公式列出方程即可.

【详解】解：设宽为无步，则长为(x+12)步，

由题意得，x(x+12)=864,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是

解题的关键.

6.B

【分析】本题考查了对三角形“四心”的判断，找到格点RG即可求解.

【详解】解：如图所示：

是，ABC的中线,

答案第2页，共21页

，点尸叫做ABC的重心

故选：B

7.C

【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数的对称性与增减性是解题的

关键.

先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得加的取值

范围.

【详解】解：.•二次函数>=X2-2X+C,

,图象的开口向上，对称轴为直线苫=-工=1,

2x1

.・・当x<i时，，随x的增大而减小，当x>i时，y随工的增大而增大，

•••点P(T，M)关于对称轴的对称点为(3,%)，

二次函数y=--2尤+c的图象经过点P(-l,%)和Q{m,%)，且必<%，

1或加>3,

故选：C.

8.A

【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1

个球

【详解】解：观察树状图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则是随

机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球，

故选：A.

【点睛】此题考查列表法与树状图法求概率，解题关键在于利用树状图进行解答.

9.B

【分析】作3,，和于K,设正方形尸尸GH的边长是心由条件得到Y+(X+2)2=16,从

而求出正方形尸FG"的边长，得到正方形PCDE的边长，进一步求出PO,PG的长，即可

求出OG的长.

【详解】解：作如，气于K,设正方形尸网汨的边长是尤，

答案第3页，共21页

c

V//F

£

•・•四边形尸CDE是正方形，

NCPD=45。,

ZOKP=90°f

・・..KOP是等腰直角三角形，

.・・PK=—OP=—=\,

22

•：OKLCF,

：.CK=FK=x+1,

：.PC=CK+PK=x+2,

・・,两个正方形的面积之和为16,

JX2+(X+2)2=16,

解得：x=V7-i或尤=-J7-i(舍去)，

:.PC=x+2=@+1,PH=x=币+

：.PD=V2PC=>/2X(V7+1)=5/14+A/2,

PG=5/2PH=A/2X^-1)=V14-V2,

；•OG=P£)+PG=Vi^+应+m-0=2内，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质，垂径定理，解题的关键是由条件列出关于小正方形边长的

方程，求出小正方形边长.

10.A

【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系、二次函

1

数图象的平移，设抛物线y=x+ax+b与x轴两个交点坐标为&,0),(x2,0),则其=2,

求得/-46=4,再求得平移后的解析式，设其与x轴的交点坐标为(电,0),(%,0),求得

答案第4页，共21页

|尤3即可.熟知函数图象平移规则“左加右减，上加下减”和两点距离公式归-即是解答

的关键.

【详解】解：设抛物线y=Y+ax+b与X轴两个交点坐标为（40）,（々,0）,

贝U%+九2=—〃，玉%2=b,

**•|再-司=J（M+入2『-4再%2-J，-4b=2，

a2—4b=4,

抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新抛物线的表达式为

y—（x—2）+〃（％-2）+/?-3=炉+（〃-4）x-2a+Z?+l,

设平移后的抛物线与工轴的交点坐标为（毛,0）,（%。），

贝U%+%=4—。，退%4=-2a+/?+1,

上一切=/退+尤4『-4尤3匕

=J（4_a）_4（_2a+b+l）

=Va2-46+12

=74+12

=4,

故选：A.

11.（3,-4）

【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点（元,y）关于原点对称的点的坐标为

（-x,-y）求解即可.

【详解】解：在平面直角坐标系中，点P（-3,4）关于原点对称的点的坐标是（3,T）,

故答案为：（3,Y）.

12.-7

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若不，々是一元二次方程

hc一

xx=

a/+加:+c=o（〃wo）的两根时，石+%2=—，i2~•根据根与系数的关系得到根+〃=2,

aa

答案第5页，共21页

mn=-5,然后利用整体代入的方法计算即可.

【详解】解：根据题意得加+〃=2,mn=-5,

所以==_5_2=_7.

故答案为—7

13.--

39

【分析】本题考查几何概率、用列表法或树状图法求概率，熟知求几何概率可利用长度比、

面积比、体积比等.

(1)用红色区域的面积除以圆面积可求解；

(2)用列表法得到所有的等可能的结果，进而得到符合条件的结果数，利用求概率公式即

可.

【详解】解：(1)根据题意，当转盘1停止转动时，指针落在红色区域的概率是祟=!，

3603

故答案为：~;

(2)列表为

红白黄

红红红白红黄红

白红白白白黄白

黄红黄白黄黄黄

由表知，共有9种等可能的结果，其中指针落在区域的颜色都是红色的有1种，

指针落在区域的颜色都是红色的概率为g,

故答案为：—.

14.110°

【分析】连接。E,则Z4OE=50。，根据“直径所对的圆周角等于90。”可知C点在。上，根

据圆周角定理可求得/ACE的度数，根据三角形内角和定理可求得/ADC的度数，由此可

得ZBDE的度数.

本题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

答案第6页，共21页

连接。E,则ZAOE=50。，

ZACB=90°,

，C点在〈。上，

ZACE=-ZAOE=25°.

2

ZCAB=45°,

ZADC=180。—25°-45°=110°,

：.ZBDE=ZADC^1W°.

故答案为：110。

15.①②④

【分析】本题考查二次函数的图象与各项系数符号的关系、二次函数图象与坐标轴的交点问

题，根据图象与y轴的交点、对称轴的位置可判断①；根据对称轴方程可判断②；根据

Q4=OC可得点A坐标为根据二次函数图象与直线AC的位置关系判断③；

【详解】解：•••该二次函数图象的对称轴为直线尤=2,

b

*,•————2,贝|4a+b=0,故②正确；

2a

•・•a<0,

：.b>0,

・・,该二次函数图象与y轴负半轴相交，

c<0,

abc>0,故①正确；

••.该二次函数图象与X轴的正半轴相交于4（%,0）,与y轴交于点C.

.•.点A坐标为（一。,。），

连接AC,

答案第7页，共21页

可求得直线AC的表达式为y=x+c,

由图象知，当0<x<-c时，二次函数图象位于直线AC的上方，即加+bx+c>x+c,

故③错误；

设二次函数图象与无轴的另一个交点为3（々,0）,则毛、巧为方程ox2+6x+c=0的两个根,

LIC

则再当=—，

a

xx=-c,

•,•x_?—1,

a

即关于X的方程加+云+c=0有一个根为X=」，故④正确，

a

综上，正确的结论是①②④，

故答案为：①②④

16.4-2右或4+26.

【分析】分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别画出图形，利用旋转性质和锐角三角函

数求解即可.

【详解】解：若将等腰RtA4BC以点A为旋转中心顺时针旋转60。得到△ABG，如图，在

AG取一点E,使得。E=A£,则Z£D4=NE4D,NG4G=60。，NAG4=NC=90。，

AQ=AC=2,

:在等腰Rt^ABC中，ZACB=90°,

答案第8页，共21页

・•・ZG4B=45°,

ZEAD=ZCAQ-ZCAB=15°,

.•・/DEC】=/EDA+ZEAD=2x15。=30。，

在RtOEG中，设=则短=。石=2%,

21

・•・CXE=^DE-CXD=A/3X,

AC1—GE+AE=2,

2x+瓜=2,解得X=4-2A/L

即CQ=4-2怎

若将等腰RCABC以点A为旋转中心逆时针旋转60。得到△AAG，如图，在取一点E,

使得DE=AE,则ZD=NE4D,ZCAC,=60°,ZAC^=ZC=90°,AC,=AC=2,

ZCjAD=180°-45°-60°=75°,则〃=90。-75。=15。,

在RtAAEQ中,AAEC}=ZD+NEAD=30°,AQ=2,

/.DE=AE=2AC1=4,QE=^AE2-AC;=2G,

CQ=DE+GE=4+,

综上，线段G。的长为4-2括或4+2班.

【点睛】本题考查了旋转性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的

答案第9页，共21页

性质、三角形的外角性质、分母有理化，添加辅助线构造等腰三角形和分类讨论是解答的关

键.

17.⑴y=(x+2)?-7

(2)开口向上，顶点坐标为(-2,-7),对称轴为直线x=-2

【分析】本题考查二次函数的性质，正确化为顶点式是解答的关键.

(1)利用配方法求解即可；

(2)根据二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：将将二次函数y=/+4x-3化成顶点式为y=(x+2『-7；

(2)解：VJ=(X+2)2-7,1>0,

此二次函数的的图象开口向上，顶点坐标为(-2,-7),对称轴为直线x=-2.

18.〃z=5,=x?=-2

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法，根据当△=()时，方程有两个相等的实

数根求得相值，进而解一元二次方程即可求解.

【详解】解：：一元二次方程二+4》+m-1=0有两个相等的实数根，

A=42-4(m-l)=0,则加=5,

一+4元+4=0,

解得x,=x2=-2.

19.(1)顶角为140。的等腰三角形

(2)90°

【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判定：

(1)根据旋转过后的对应边相等可得到结果；

(2)根据旋转过后的对应边相等，以及旋转的角度，可以得到”尊为等腰三角

形，再根据三角形内角和定理可以求得各个角度，再根据CEL8D,得到NECB=90。，再利

用三角形内角和定理可以求得结果；

解题的关键是找到角度之间的关系以及角度值.

答案第10页，共21页

【详解】(1)解：：ABC绕点A逆时针旋转140。得到VADE,

AAC=AE,ZCAE=140°,

"小是以顶角为140。的等腰三角形；

(2)解：：ABC绕点A逆时针旋转140。得到VADE,

ABAD=ZCAE=140°,AB=AD,AC^AE,

1Q0O_140。

・•・在△ABD中，ZABC=ZADB=--------------=20°,

2

1QQO_14f)°

在AACE中，ZACE=ZAEC=--------------=20°,

2

CELBD,

：.ZECB=90°,

：.ZACB=ZECB-ZACE=90°-20°=70°,

在，ABC中，ABAC=180°-ZABC-ZACB=180°-20°-70°=90°,

.../BAC的度数为90。.

20.(1)0.033,2

【分析】本题考查用频率估计概率、列表法或树状图法求概率，正确得到所有的等可能的结

果是解答的关键.

（1）通过大量的实验，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数可作为摸到白球的

概率，进而可求解；

（2）利用列表法得到所有的等可能结果，再找出符合条件的结果数，然后利用求概率公式

求解即可.

【详解】（1）解：由表可知，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为0.033,由

此估出红球有

1+0.033-172个，

故答案为：0.033,2；

（2）解：列表为：

白红红

白红白红白

答案第11页，共21页

红白红红红

红白红红红

由表知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球和1个红球的有4种，故恰好摸到

42

1个白球和1个红球的概率为》=*.

21.(1)①见详解；②见详解

(2)图中两个阴影部分面积的和为

【分析】(1)①连接。石，则线段OE即为所求；

②连接BE,DE,设AB,DE相交于P，连接O9并延长交BE于点/,点M即为所求；

(2)连接OE,况，利用圆周角定理和等边三角形的性质与判定得出“。石和△BOE

是等边三角形，解Rt_A£F,求出线段好的长，再根据垂径定理求出A3的长，再解Rt^ABC,

求出AC的长，进而求出CE的长，最后根据题意可知两个阴影部分的面积的和为的

面积，从而得出结果.

【详解】(1)①连接DE,如图

AD为半圆。的直径，

DELAE,

ZC=90°,

DE//BC.

故线段OE即为所求；

②如图，连接BE,DE,设AB,DE相交于尸，连接O尸并延长交BE于点M,

答案第12页，共21页

B,E两点是半圆弧的二等分点,

•,AE=BD，

ZBAD=ZADE,

二.FD=FA,

A。为半圆。的直径，

OFLAD,

ZADE=ZABE,

・•.ZBAD=ZABE,

BE//AD,

，OMLBE,

ZBED=ZBAD,

ZABE=ZBED,

:.FB=FE,

「•点M平分班1,

故点M即为所求；

(2)连接03,0E,BE,

B,E两点是半圆弧的三等分点，

ZAOE=ZBOE=ZBOD=60°,OE±AB,

答案第13页，共21页

/.AF=-AB

2

OA=OE=OB

'''/\AOE和ABOE是等边三角形

ZBAE=-ZOAE=30°

2

。的半径为4,ZAFB=90°,

EF=-AE=2,

2

AF=VAE2-EF2=2百，

AB=4>/3,

"=90。，ABAC=30°,

：.BC=：AB=2道,

2

AC=4AB1-BC1=6>

由题意：两个阴影面积之和等于3CE的面积，

SRE=-2BC'CE=14i,

故图中两个阴影部分面积的和为2—.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，等腰三角形和等边三角形的性质与

判定，还有平行线的判定，灵活运用所学知识是解本题的关键.

22.⑴见解析

(3)公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到约1.3米才能符合要求.

【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移,

解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型.

答案第14页，共21页

(1)建立坐标系，描点.用平滑的曲线连接即可；

(2)设函数表达式为y=a(x-左>+/?,先由图得到函数顶点为(3,1.5),再将(1,0.5)代入计

算即可；

(3)根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可.

【详解】(1)以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，

如图所示：

(2)由上图可得函数图象顶点为(3,1.5),

根据图象可设二次函数的解析式为：y=«U-3)2+1.5,

将(1,0.5)代入y=。(丈-+1.5,

解得,

4

1133

抛物线的解析式为：y=--(^-3)2+1.5=--x2+-X--；

4424

i33

(3)设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：y=-―—+%

424

2

由题意可知，当横坐标为时2+—=3时，纵坐标的值不小于1.8+0.5=2.3,

2

133

——X32+-X3——+n>2.3,

424

解得心0.8,

.•.水管高度至少向上调节0.8米，

.-.0.8+0.5=1.3(米)，

•••公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到约1.3米才能符合要求.

23.问题背景：证明见解析；尝试应用：证明见解析；拓展探究：百

【分析】问题背景：证明：区位)乌.C4E(SAS),即可证明BZ)=CE；

尝试应用：如图所示，过点2作用〃AC交ED延长线与N,证明△ABf'是等边三角形，得

答案第15页，共21页

到54=3F,ZAEB=60°,由平行线的性质得到NEBN=/AFB=60。，

/CFD=/N,/C=/DBN,由旋转的性质可得NO3E=60。，BE=BD,证明

ABE注DBF(SAS),进而证明BEM&BDNg0,得到3M=BN,则3N=CF,再证

明丝,CD/(ASA),得到3E>=CD,即可证明点。为线段8c的中点：

拓展探究：如图所示，在线段A。截取一点F使得AF=AB,连接昉，过点8作班，砌

交胡延长线与X,证明是等边三角形，则=3尸，ZABF=ZAFB=60°,由旋转

的性质可得加>=3£ZEBD=60°,证明ZWE空立出尸，得到

AE=DF,ZBAE=ZBFD=120°,求出NAB〃=30。，得到=走A2,设AB=2x,则

2

BH=AE=4—2x»则S钻后=万人?2»=—百(无—1)+也故当x=l时，S.上有最大

值百.

【详解】解：问题背景：；ABC和VADE都是等边三角形

AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

：.ZBAD^ZCAE,

：.BAD^C4£(SAS),

BD=CE；

尝试应用：如图所示，过点8作3N〃AC交FD延长线与N,

VZBAC=60°,AF^AB,

：.AAB尸是等边三角形，

BA=BF,ZAFB=60°,

,?BN//AC,

：.ZFBN=ZAFB=60°,NCFD=NN,ZC=ZDBN,

由旋转的性质可得Nr>BE=60。，BE=BD,

；./ABE=/DBF,ZMBE=ZNAD,

ABE^,DBF(SAS),

:.NAEB=NFDB,

：./BEM=/BDN,

BEMg瓦)N(ASA),

答案第16页，共21页

BM=BN,

・：BM=CF,

：.BN=CF,

：.BDN^CDF(ASA),

:.BD=CD,

・•・点。为线段BC的中点:

拓展研究：如图所示，在线段A。截取一点/使得AF=AB,连接3方，过点5作创J.£4

交E4延长线与“，

VZBAC=60°fAF=AB,

：.aAB/是等边三角形，

AB=BF,ZABF=ZAFB=60°f

：.ZBFD=120°,

由旋转的性质可得=5EZEBD=60°f

：.ZABE=ZDBF,

:.AABEdDBF,

AAE=DF,ZBAE=ZBFD=120°,

：.ZBAH=60°,

：.ZABH=30°,

BH=—AB,

2

•・•AD=AF+DF=4,

AE=DF=AD-AF=4-AF=4-AB,

设AB=2光，则=AE=4-2x,

JSABE=gA石.5“=—6(X_1)2+5

答案第17页，共21页

...当X=1时，SABE有最大值G，

故答案为；B

BC

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，

勾股定理，含30度角的直角三角形的想在，二次函数的最值问题等等，正确作出辅助线构

造等边三角形，进而构造全等三角形是解题的关键.

24.（1）J=-X2+4X；（2）y=-|（x-2）2+y；（3）。（4,4）或。（4,7）或。（4,一1）或。（一1,-1）

【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（%-2）2+4,将点（0,0）代入即可求解；

（2