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文档简介
湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年九年级上学期期末
数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.下列环保标志,既是轴对称图形,也是中心对称图形的是()
2.事件①:任意画一个多边形,其外角和为360。;事件②:经过一个有交通信号灯的
十字路口,遇到红灯;则下列说法正确的是()
A.事件①和②都是随机事件
B.事件①是随机事件,事件②是必然事件
C.事件①和②都是必然事件
D.事件①是必然事件,事件②是随机事件
3.若一元二次方程/一3元+。=0的一个根为x=2,则。的值为()
A.2B.-2C.4D.-4
4.在平面直角坐标系中,以点(4,3)为圆心,4为半径的圆与坐标轴的位置关系为().
A.与x轴相切B.与x轴相离C.与y轴相切D.与y轴相交
5.我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载:“直田积八百六十四步,只云
阔不及长一十二步,问阔及长各几步?”翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积为864
平方步,它的宽比长少12步.如果设宽为无步,则可列出方程()
A.x(x-6)=864B.x(x-12)=864
C.X(X+6)=864D.X(X+12)=864
6.已知..TWC在正方形网格中的位置如图所示,A,B,C,P四点均在格点上,则点P
叫做ABC的()
A.垂心(三边高线的交点)B.重心(三边中线的交点)
C.外心(三边垂直平分线的交点)D.内心(三内角平分线的交点)
7.已知抛物线y=/-2x+c经过点和点。(〃?,%).若%<%,则比的取值范
围()
A.-l<m<3B.1<m<3
C.加<一1或机>3D.机<一1或加>2
8.有一个从不透明的袋子中摸球的游戏,这些球除颜色外都相同,小红根据游戏规则,
作出了如图所示的树状图,则此次摸球的游戏规则是()
开始
A.随机摸出一个球后放回,再随机摸出1个球
B.随机摸出一个球后不放回,再随机摸出1个球
C.随机摸出一个球后放回,再随机摸出3个球
D.随机摸出一个球后不放回,再随机摸出3个球
9.如图,点尸在(。的直径48上,作正方形尸CDE和正方形PFG”,其中点。,G
在直径所在直线上,点C,E,RH都在。上.若两个正方形的面积之和为16,OP=0,
则DG的长是()
A.672B.2^/14C.7D.4百
10.已知抛物线>=/+依+匕与无轴两个交点间的距离为2,将此抛物线向右平移2个
单位,再向下平移3个单位,得到一条新抛物线,则新抛物线与无轴两个交点间的距离
是().
A.4B.5C.8D.4百
试卷第2页,共6页
二、填空题
11.在平面直角坐标系中,点尸(-3,4)关于原点对称的点的坐标是.
12.若芯="2,々=〃是一元二次方程d-2x—5=0的两个实数根,则.
13.如图是可以自由转动的三个转盘,请根据下列情形回答问题(不考虑指针落在分界
(1)转盘1被分成了2个扇形,圆心角为120。的扇形涂成红色,其余部分涂成白色,
转动转盘1,当转盘1停止转动时,指针落在红色区域的概率是.
(2)转盘2、转盘3都已被分成了3个相同的扇形,并且分别涂成红色、白色、黄色,
同时转动转盘2和转盘3,当两个转盘停止转动时,则指针落在区域的颜色都是红色的
概率为.
14.如图,以点。为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放,量角器的。刻
度线与直角三角板的斜边重合,点。为斜边A8上一点,作射线交半圆弧于
点E,如果点E在量角器上对应的读数为50°,那么NBDE的大小为.
15.如图,二次函数y=ar2+bx+c(4<0)的图象与无轴的正半轴相交于人(西,0),8两
点(0<%<1),与y轴交于点C.对称轴为直线x=2,且。4=OC,下列结论,其中正
确的结论是.(填写正确结论的序号)
①abc>0;
②4a+6=0;
③若a无2+6尤+c<尤+c,贝!|0<x<-c;
④关于x的方程ax?+fcv+c=0有一个根为》=-工.
a
16.如图,在等腰RtAABC中,ZACB=9Q°,请将等腰Rt^ABC以点A为旋转中心旋
转60。得到△△与G,延长BG与直线AB交于点,若AC=2,则线段CtD的长为
三、解答题
17.己知二次函数>=炉+4..3.
(1)用配方法将二次函数的一般式化成y=a(x-/z)2+上的形式:
⑵分别写出此二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.
18.若关于x的一元二次方程尤2+4X+〃-1=0有两个相等的实数根,求相的值及方程
的根.
19.如图,将一ABC绕点A逆时针旋转140。得到VADE,B,C,。三点恰好在同一直
线上.
⑴判断八4匿的形状;
(2)连接CE,若CELBD,求/54C的度数.
20.一只不透明袋中装有1个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,某课外学习
小组做摸球试验:将球搅匀后从袋中摸出1个球,记下颜色后放回、揽匀,不断重复这
个过程,获得数据如下:
摸球的次数200300400100016002000
试卷第4页,共6页
摸到白球的频数7293130334532667
摸到白球的频率0.036000.031000.032500.033400.033250.03335
(1)该小组发现,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数是(精确到0.001),
由此估出红球有个;
(2)现从该袋中随机摸出一个球,不放回,再摸出一个球,请用画树状图或列表法求恰好
摸到1个白球和1个红球的概率.
21.如图,以AD为直径的半圆。经过Rt^ABC斜边42的两个端点,半圆。与直角边
AC交于点E,且B,E两点是半圆弧的三等分点.
(1)在图1中,请仅用无刻度的直尺,按要求完成下列作图(作图过程用虚线,作图结果
用实线).
①画一条和3C平行的弦;②画BE的中点
⑵如图2,已知。的半径为4,求图中两个阴影部分面积的和.
22.中山公园的人工湖里安装一个喷泉,在湖心处竖直安装一根水管,在水管的顶端安
装一个喷水头,喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分,若记水柱上某一点的位置与
水管的水平距离为x米,与湖面的垂直高度为y米,表中记录了x与y的五组数据:
X(米)1234
y(米)0.51.251.51.250.5
2水rn―『(1)根据表中所给数
)4--t
~Oi234*
据,在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y与x函数关系的图象:
⑵求y与x的函数表达式;
(3)公园准备调节水管露出湖面的高度,使游船能从抛物线形水柱下方通过,如图2所示,
为避免游船被喷泉淋到,要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时,顶棚
上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米,己知游船顶棚宽度2米,顶棚到湖面的
高度为1.8米,请计算分析水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米
才能符合要求?
23.【问题背景】如图1,己知「ABC和VADE都是等边三角形,求证:BD=CE:
【尝试应用】如图2,在ABC中,Zfi4c=60。,在AC上截取=连接班D
为3c上一点,将线段8。绕点B逆时针旋转60。,得到线段BE,连接AE并延长交线段
BF于点M,且雨=CF,求证:点。为线段3c的中点:
【拓展探究】如图3,在ABC中,ZBAC=60。,点。为边AC上的一点,当时,
连接8£),将线段3。绕点B逆时针旋转60。,得到线段BE,连接AE,DE,若A£>=4,
请直接写出一ABE面积的最大值为.
24.(1)已知抛物线G:y=a/+以经过原点。,其顶点P的坐标为(2,4).求抛物线C1
的函数表达式;
(2)如图1,若抛物线G与x轴交于另一点E,过O,E两点作开口向下的抛物线C2,
设其顶点为。(点。在点P的下方),线段PQ的垂直平分线与抛物线G相交于M,N
两点,若四边形PM2N的面积为名亚时,求抛物线C?的函数表达式;
27
(3)如图2,将抛物线G向左平移1个单位长度,得到抛物线G,且与y轴正半轴,尤
轴正半轴分别交于A,8两点,连接AB,过点P作轴于点在直线P以上有
一点C,坐标平面内有一点。,使得以A,B,C,。四点为顶点的四边形是矩形,请直
接写出所有满足条件的。点的坐标:.
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参考答案:
1.D
【分析】根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念,对每个选项进行判断即可.
【详解】A、是轴对称图形,不是中心对称图形,则此项不符合题意;
B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,则此项不符合题意;
C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,则此项不符合题意;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,则此项符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义,熟记定义是解题关键.
2.D
【分析】根据随机事件和必然事件的概念判断可得.
【详解】解:事件①:任意画一个多边形,其外角和为360。,这是必然事件;
事件②:经过一个有交通信号灯的十字路口,遇到红灯,这是随机事件;
故选:D.
【点睛】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条
件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随
机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
3.A
【分析】本题主要考查一元二次方程的解,此题比较简单,需要同学们熟练掌握.
一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即
用这个数代替未知数所得式子仍然成立,最后转化成解。的一元一次方程.
【详解】解:把x=2代入方程/_3元+a=0可得4一6+°=0,
解得a=2,
故选:A.
4.C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质.直线与圆相离,直线到圆心的
距离大于半径;直线与圆相交,直线到圆心的距离小于半径;直线与圆相切,直线到圆心
的距离等于半径.
将该点的横纵坐标绝对值分别与半径对比,若横坐标绝对值大于半径时,则y轴与该圆相离;
若横坐标绝对值小于半径时,则y轴与该圆相交;若横坐标绝对值等于半径时,则y与该圆
答案第1页,共21页
相切;若纵坐标绝对值大于半径时,则X轴与该圆相离;若纵坐标绝对值小于半径时,则
X轴与该圆相交;若纵坐标绝对值等于半径时,则尤与该圆相切.
【详解】解:点(4,3)为圆心,4为半径的圆,
则有4=4,3<4,
••.这个圆与,轴相切,与x轴相交.
故选:C.
【分析】设宽为X步,则长为(X+12)步,然后根据长方形面积公式列出方程即可.
【详解】解:设宽为无步,则长为(x+12)步,
由题意得,x(x+12)=864,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程,正确理解题意找到等量关系是
解题的关键.
6.B
【分析】本题考查了对三角形“四心”的判断,找到格点RG即可求解.
【详解】解:如图所示:
是,ABC的中线,
答案第2页,共21页
,点尸叫做ABC的重心
故选:B
7.C
【分析】本题主要考查了二次函数图象性质,熟练掌握二次函数的对称性与增减性是解题的
关键.
先判断函数的开口方向和对称轴,然后根据二次函数的对称性和增减性,则可求得加的取值
范围.
【详解】解:.•二次函数>=X2-2X+C,
,图象的开口向上,对称轴为直线苫=-工=1,
2x1
.・・当x<i时,,随x的增大而减小,当x>i时,y随工的增大而增大,
•••点P(T,M)关于对称轴的对称点为(3,%),
二次函数y=--2尤+c的图象经过点P(-l,%)和Q{m,%),且必<%,
1或加>3,
故选:C.
8.A
【分析】根据树形图,可得此次摸球的游戏规则是:随机摸出一个球后放回,再随机摸出1
个球
【详解】解:观察树状图可得:袋子中共有红、黄、蓝三个小球,此次摸球的游戏规则是随
机摸出一个球后放回,再随机摸出1个球,
故选:A.
【点睛】此题考查列表法与树状图法求概率,解题关键在于利用树状图进行解答.
9.B
【分析】作3,,和于K,设正方形尸尸GH的边长是心由条件得到Y+(X+2)2=16,从
而求出正方形尸FG"的边长,得到正方形PCDE的边长,进一步求出PO,PG的长,即可
求出OG的长.
【详解】解:作如,气于K,设正方形尸网汨的边长是尤,
答案第3页,共21页
c
V//F
£
•・•四边形尸CDE是正方形,
NCPD=45。,
ZOKP=90°f
・・..KOP是等腰直角三角形,
.・・PK=—OP=—=\,
22
•:OKLCF,
:.CK=FK=x+1,
:.PC=CK+PK=x+2,
・・,两个正方形的面积之和为16,
JX2+(X+2)2=16,
解得:x=V7-i或尤=-J7-i(舍去),
:.PC=x+2=@+1,PH=x=币+
:.PD=V2PC=>/2X(V7+1)=5/14+A/2,
PG=5/2PH=A/2X^-1)=V14-V2,
;•OG=P£)+PG=Vi^+应+m-0=2内,故B正确.
故选:B.
【点睛】本题考查正方形的性质,垂径定理,解题的关键是由条件列出关于小正方形边长的
方程,求出小正方形边长.
10.A
【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系、二次函
1
数图象的平移,设抛物线y=x+ax+b与x轴两个交点坐标为&,0),(x2,0),则其=2,
求得/-46=4,再求得平移后的解析式,设其与x轴的交点坐标为(电,0),(%,0),求得
答案第4页,共21页
|尤3即可.熟知函数图象平移规则“左加右减,上加下减”和两点距离公式归-即是解答
的关键.
【详解】解:设抛物线y=Y+ax+b与X轴两个交点坐标为(40),(々,0),
贝U%+九2=—〃,玉%2=b,
**•|再-司=J(M+入2『-4再%2-J,-4b=2,
a2—4b=4,
抛物线向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得到一条新抛物线的表达式为
y—(x—2)+〃(%-2)+/?-3=炉+(〃-4)x-2a+Z?+l,
设平移后的抛物线与工轴的交点坐标为(毛,0),(%。),
贝U%+%=4—。,退%4=-2a+/?+1,
上一切=/退+尤4『-4尤3匕
=J(4_a)_4(_2a+b+l)
=Va2-46+12
=74+12
=4,
故选:A.
11.(3,-4)
【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标,根据点(元,y)关于原点对称的点的坐标为
(-x,-y)求解即可.
【详解】解:在平面直角坐标系中,点P(-3,4)关于原点对称的点的坐标是(3,T),
故答案为:(3,Y).
12.-7
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系:若不,々是一元二次方程
hc一
xx=
a/+加:+c=o(〃wo)的两根时,石+%2=—,i2~•根据根与系数的关系得到根+〃=2,
aa
答案第5页,共21页
mn=-5,然后利用整体代入的方法计算即可.
【详解】解:根据题意得加+〃=2,mn=-5,
所以==_5_2=_7.
故答案为—7
13.--
39
【分析】本题考查几何概率、用列表法或树状图法求概率,熟知求几何概率可利用长度比、
面积比、体积比等.
(1)用红色区域的面积除以圆面积可求解;
(2)用列表法得到所有的等可能的结果,进而得到符合条件的结果数,利用求概率公式即
可.
【详解】解:(1)根据题意,当转盘1停止转动时,指针落在红色区域的概率是祟=!,
3603
故答案为:~;
(2)列表为
红白黄
红红红白红黄红
白红白白白黄白
黄红黄白黄黄黄
由表知,共有9种等可能的结果,其中指针落在区域的颜色都是红色的有1种,
指针落在区域的颜色都是红色的概率为g,
故答案为:—.
14.110°
【分析】连接。E,则Z4OE=50。,根据“直径所对的圆周角等于90。”可知C点在。上,根
据圆周角定理可求得/ACE的度数,根据三角形内角和定理可求得/ADC的度数,由此可
得ZBDE的度数.
本题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
答案第6页,共21页
连接。E,则ZAOE=50。,
ZACB=90°,
,C点在〈。上,
ZACE=-ZAOE=25°.
2
ZCAB=45°,
ZADC=180。—25°-45°=110°,
:.ZBDE=ZADC^1W°.
故答案为:110。
15.①②④
【分析】本题考查二次函数的图象与各项系数符号的关系、二次函数图象与坐标轴的交点问
题,根据图象与y轴的交点、对称轴的位置可判断①;根据对称轴方程可判断②;根据
Q4=OC可得点A坐标为根据二次函数图象与直线AC的位置关系判断③;
【详解】解:•••该二次函数图象的对称轴为直线尤=2,
b
*,•————2,贝|4a+b=0,故②正确;
2a
•・•a<0,
:.b>0,
・・,该二次函数图象与y轴负半轴相交,
c<0,
abc>0,故①正确;
••.该二次函数图象与X轴的正半轴相交于4(%,0),与y轴交于点C.
.•.点A坐标为(一。,。),
连接AC,
答案第7页,共21页
可求得直线AC的表达式为y=x+c,
由图象知,当0<x<-c时,二次函数图象位于直线AC的上方,即加+bx+c>x+c,
故③错误;
设二次函数图象与无轴的另一个交点为3(々,0),则毛、巧为方程ox2+6x+c=0的两个根,
LIC
则再当=—,
a
xx=-c,
•,•x_?—1,
a
即关于X的方程加+云+c=0有一个根为X=」,故④正确,
a
综上,正确的结论是①②④,
故答案为:①②④
16.4-2右或4+26.
【分析】分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况,分别画出图形,利用旋转性质和锐角三角函
数求解即可.
【详解】解:若将等腰RtA4BC以点A为旋转中心顺时针旋转60。得到△ABG,如图,在
AG取一点E,使得。E=A£,则Z£D4=NE4D,NG4G=60。,NAG4=NC=90。,
AQ=AC=2,
:在等腰Rt^ABC中,ZACB=90°,
答案第8页,共21页
・•・ZG4B=45°,
ZEAD=ZCAQ-ZCAB=15°,
.•・/DEC】=/EDA+ZEAD=2x15。=30。,
在RtOEG中,设=则短=。石=2%,
21
・•・CXE=^DE-CXD=A/3X,
AC1—GE+AE=2,
2x+瓜=2,解得X=4-2A/L
即CQ=4-2怎
若将等腰RCABC以点A为旋转中心逆时针旋转60。得到△AAG,如图,在取一点E,
使得DE=AE,则ZD=NE4D,ZCAC,=60°,ZAC^=ZC=90°,AC,=AC=2,
ZCjAD=180°-45°-60°=75°,则〃=90。-75。=15。,
在RtAAEQ中,AAEC}=ZD+NEAD=30°,AQ=2,
/.DE=AE=2AC1=4,QE=^AE2-AC;=2G,
CQ=DE+GE=4+,
综上,线段G。的长为4-2括或4+2班.
【点睛】本题考查了旋转性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的
答案第9页,共21页
性质、三角形的外角性质、分母有理化,添加辅助线构造等腰三角形和分类讨论是解答的关
键.
17.⑴y=(x+2)?-7
(2)开口向上,顶点坐标为(-2,-7),对称轴为直线x=-2
【分析】本题考查二次函数的性质,正确化为顶点式是解答的关键.
(1)利用配方法求解即可;
(2)根据二次函数的性质求解即可.
【详解】(1)解:将将二次函数y=/+4x-3化成顶点式为y=(x+2『-7;
(2)解:VJ=(X+2)2-7,1>0,
此二次函数的的图象开口向上,顶点坐标为(-2,-7),对称轴为直线x=-2.
18.〃z=5,=x?=-2
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法,根据当△=()时,方程有两个相等的实
数根求得相值,进而解一元二次方程即可求解.
【详解】解::一元二次方程二+4》+m-1=0有两个相等的实数根,
A=42-4(m-l)=0,则加=5,
一+4元+4=0,
解得x,=x2=-2.
19.(1)顶角为140。的等腰三角形
(2)90°
【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判定:
(1)根据旋转过后的对应边相等可得到结果;
(2)根据旋转过后的对应边相等,以及旋转的角度,可以得到”尊为等腰三角
形,再根据三角形内角和定理可以求得各个角度,再根据CEL8D,得到NECB=90。,再利
用三角形内角和定理可以求得结果;
解题的关键是找到角度之间的关系以及角度值.
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【详解】(1)解::ABC绕点A逆时针旋转140。得到VADE,
AAC=AE,ZCAE=140°,
"小是以顶角为140。的等腰三角形;
(2)解::ABC绕点A逆时针旋转140。得到VADE,
ABAD=ZCAE=140°,AB=AD,AC^AE,
1Q0O_140。
・•・在△ABD中,ZABC=ZADB=--------------=20°,
2
1QQO_14f)°
在AACE中,ZACE=ZAEC=--------------=20°,
2
CELBD,
:.ZECB=90°,
:.ZACB=ZECB-ZACE=90°-20°=70°,
在,ABC中,ABAC=180°-ZABC-ZACB=180°-20°-70°=90°,
.../BAC的度数为90。.
20.(1)0.033,2
【分析】本题考查用频率估计概率、列表法或树状图法求概率,正确得到所有的等可能的结
果是解答的关键.
(1)通过大量的实验,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数可作为摸到白球的
概率,进而可求解;
(2)利用列表法得到所有的等可能结果,再找出符合条件的结果数,然后利用求概率公式
求解即可.
【详解】(1)解:由表可知,摸到白球的频率在一个常数附近摆动,这个常数为0.033,由
此估出红球有
1+0.033-172个,
故答案为:0.033,2;
(2)解:列表为:
白红红
白红白红白
答案第11页,共21页
红白红红红
红白红红红
由表知,共有6种等可能的结果,其中恰好摸到1个白球和1个红球的有4种,故恰好摸到
42
1个白球和1个红球的概率为》=*.
21.(1)①见详解;②见详解
(2)图中两个阴影部分面积的和为
【分析】(1)①连接。石,则线段OE即为所求;
②连接BE,DE,设AB,DE相交于P,连接O9并延长交BE于点/,点M即为所求;
(2)连接OE,况,利用圆周角定理和等边三角形的性质与判定得出“。石和△BOE
是等边三角形,解Rt_A£F,求出线段好的长,再根据垂径定理求出A3的长,再解Rt^ABC,
求出AC的长,进而求出CE的长,最后根据题意可知两个阴影部分的面积的和为的
面积,从而得出结果.
【详解】(1)①连接DE,如图
AD为半圆。的直径,
DELAE,
ZC=90°,
DE//BC.
故线段OE即为所求;
②如图,连接BE,DE,设AB,DE相交于尸,连接O尸并延长交BE于点M,
答案第12页,共21页
B,E两点是半圆弧的二等分点,
•,AE=BD,
ZBAD=ZADE,
二.FD=FA,
A。为半圆。的直径,
OFLAD,
ZADE=ZABE,
・•.ZBAD=ZABE,
BE//AD,
,OMLBE,
ZBED=ZBAD,
ZABE=ZBED,
:.FB=FE,
「•点M平分班1,
故点M即为所求;
(2)连接03,0E,BE,
B,E两点是半圆弧的三等分点,
ZAOE=ZBOE=ZBOD=60°,OE±AB,
答案第13页,共21页
/.AF=-AB
2
OA=OE=OB
'''/\AOE和ABOE是等边三角形
ZBAE=-ZOAE=30°
2
。的半径为4,ZAFB=90°,
EF=-AE=2,
2
AF=VAE2-EF2=2百,
AB=4>/3,
"=90。,ABAC=30°,
:.BC=:AB=2道,
2
AC=4AB1-BC1=6>
由题意:两个阴影面积之和等于3CE的面积,
SRE=-2BC'CE=14i,
故图中两个阴影部分面积的和为2—.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理,垂径定理的推论,等腰三角形和等边三角形的性质与
判定,还有平行线的判定,灵活运用所学知识是解本题的关键.
22.⑴见解析
(3)公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到约1.3米才能符合要求.
【分析】本题属于二次函数的应用,主要考查待定函数求函数解析式,二次函数图象的平移,
解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型.
答案第14页,共21页
(1)建立坐标系,描点.用平滑的曲线连接即可;
(2)设函数表达式为y=a(x-左>+/?,先由图得到函数顶点为(3,1.5),再将(1,0.5)代入计
算即可;
(3)根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式,根据题意求解即可.
【详解】(1)以喷泉与湖面的交点为原点,喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系,
如图所示:
(2)由上图可得函数图象顶点为(3,1.5),
根据图象可设二次函数的解析式为:y=«U-3)2+1.5,
将(1,0.5)代入y=。(丈-+1.5,
解得,
4
1133
抛物线的解析式为:y=--(^-3)2+1.5=--x2+-X--;
4424
i33
(3)设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为:y=-―—+%
424
2
由题意可知,当横坐标为时2+—=3时,纵坐标的值不小于1.8+0.5=2.3,
2
133
——X32+-X3——+n>2.3,
424
解得心0.8,
.•.水管高度至少向上调节0.8米,
.-.0.8+0.5=1.3(米),
•••公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到约1.3米才能符合要求.
23.问题背景:证明见解析;尝试应用:证明见解析;拓展探究:百
【分析】问题背景:证明:区位)乌.C4E(SAS),即可证明BZ)=CE;
尝试应用:如图所示,过点2作用〃AC交ED延长线与N,证明△ABf'是等边三角形,得
答案第15页,共21页
到54=3F,ZAEB=60°,由平行线的性质得到NEBN=/AFB=60。,
/CFD=/N,/C=/DBN,由旋转的性质可得NO3E=60。,BE=BD,证明
ABE注DBF(SAS),进而证明BEM&BDNg0,得到3M=BN,则3N=CF,再证
明丝,CD/(ASA),得到3E>=CD,即可证明点。为线段8c的中点:
拓展探究:如图所示,在线段A。截取一点F使得AF=AB,连接昉,过点8作班,砌
交胡延长线与X,证明是等边三角形,则=3尸,ZABF=ZAFB=60°,由旋转
的性质可得加>=3£ZEBD=60°,证明ZWE空立出尸,得到
AE=DF,ZBAE=ZBFD=120°,求出NAB〃=30。,得到=走A2,设AB=2x,则
2
BH=AE=4—2x»则S钻后=万人?2»=—百(无—1)+也故当x=l时,S.上有最大
值百.
【详解】解:问题背景:;ABC和VADE都是等边三角形
AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,
:.ZBAD^ZCAE,
:.BAD^C4£(SAS),
BD=CE;
尝试应用:如图所示,过点8作3N〃AC交FD延长线与N,
VZBAC=60°,AF^AB,
:.AAB尸是等边三角形,
BA=BF,ZAFB=60°,
,?BN//AC,
:.ZFBN=ZAFB=60°,NCFD=NN,ZC=ZDBN,
由旋转的性质可得Nr>BE=60。,BE=BD,
;./ABE=/DBF,ZMBE=ZNAD,
ABE^,DBF(SAS),
:.NAEB=NFDB,
:./BEM=/BDN,
BEMg瓦)N(ASA),
答案第16页,共21页
BM=BN,
・:BM=CF,
:.BN=CF,
:.BDN^CDF(ASA),
:.BD=CD,
・•・点。为线段BC的中点:
拓展研究:如图所示,在线段A。截取一点/使得AF=AB,连接3方,过点5作创J.£4
交E4延长线与“,
VZBAC=60°fAF=AB,
:.aAB/是等边三角形,
AB=BF,ZABF=ZAFB=60°f
:.ZBFD=120°,
由旋转的性质可得=5EZEBD=60°f
:.ZABE=ZDBF,
:.AABEdDBF,
AAE=DF,ZBAE=ZBFD=120°,
:.ZBAH=60°,
:.ZABH=30°,
BH=—AB,
2
•・•AD=AF+DF=4,
AE=DF=AD-AF=4-AF=4-AB,
设AB=2光,则=AE=4-2x,
JSABE=gA石.5“=—6(X_1)2+5
答案第17页,共21页
...当X=1时,SABE有最大值G,
故答案为;B
BC
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,旋转的性质,
勾股定理,含30度角的直角三角形的想在,二次函数的最值问题等等,正确作出辅助线构
造等边三角形,进而构造全等三角形是解题的关键.
24.(1)J=-X2+4X;(2)y=-|(x-2)2+y;(3)。(4,4)或。(4,7)或。(4,一1)或。(一1,-1)
【分析】(1)设抛物线的解析式为:y=a(%-2)2+4,将点(0,0)代入即可求解;
(2
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