高考数学-外接球培优题

培优训练题:

1.如图，已知球。是棱长为1的正方体ABCO-A1约的内切球,则平面AC0截球。的截面面积为（A）

A.1B.[C.坐兀D.亨兀

6363

2.在三棱锥A-BC。中，△ABC与△BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC,平面BCD则该三棱锥的外

接球的体积为（D）

A.5vB.6071C.6OV1571D.20Vl嬴

3.在正方体A5CD-ABC。中边长为2,点P是上底面ABC。内一动点，若三棱锥P—ABC的

iiiiiiii

41K

外接球表面积恰为丁，则此时点P构成的图形面积为（A）

4.将三个半径为3的球两两相切地放在水平桌面上，若在这三个球的上方放置一个半径为1的小球，使得这四

个球两两相切，则该小球的球心到桌面的距离为（D）

A.3^3B.2^3C.6D.5

5.已知矩形ABC。的两边长分别为A3=3,BC=4,。是对角线8。的中点，

E是边上一点，沿BE将AABE折起，使得A点在平面8。。上的投影恰

为。（如右图所示），则此时三棱锥A-8C。的外接球的表面积是.

3247t

11

5.四棱锥S-ABC。中，底面ABC。是边长为2的正方形，侧面S4。是以S。为斜边的等腰直角三角形，若

四棱锥S-A3CD的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是

5.四棱锥中，可得

平面平面

平面过

第2页共8页

作于

,则平面

,设故

第3页共8页

所以

在中，，则有,

第4页共8页

，所以的外接圆

半径将该四棱锥补成一个以

为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径

第5页共8页

,所以

10.四面体A-3C。中，ZABC=ZABD=ZCBD=60°,AB=3,CB=DB=2,则此四面体外接球的表面积

为（）

19019炳I

224

【答案】A

【解析】

由题意，△BC。中，CB=DB=2NCBD=60°,可知ABCD是等边三角形，BF=邪,

.•.△8（7。的外接圆半径厂=2出=2£FE=4

33

AABC=AABD=60°,可得AD=AC=^/T,可得AF=册,AF_LFB,AF_LBCD,

，四面体A—BCD高为AF=

设外接球。为球心，可得：

R,OE=m,r2+m2=R2.........①,

C/^一兀）+EF2=R2②

第6页共8页

由①②解得：R=M.四面体外接球的表面积：5=4兀尺2=127r.故选A.

82

16.在三棱锥A-BCD中，AB=AC,DB=DC,AB+DB^A,AB1BD,则三棱锥A-BCD外接球的体

积的最小值为

【答案】8夜兀

3

【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线A。,

设AB=AC=^,那么。B=OC=4-x,AB1BD,所以A。=0成+的.由题意，体积的最小值即为

AD最小，AD=7X2+(4-X>,所以当》=2时，4。的最小值为2万，所以半径为五,

故体积的最小值为汨.

3

3球与球

对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象

能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关

系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.

例8在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为()

A.（V2—DAB.（也一2）五

D.

解,要使得小球的半径最大,需使得4个小球的球心为一个正四面体的

四个顶点，如图9所示，此时正四面体/-88的外接球的球心为O,

即为半径为R的球的球心，则AO^R-r,又因Q为/Q的四分点，故

及4=(衣一厂)条在曲△4501中，

222

AB=2r,5O1=|V3z,.'.[(/?-r)x1]=(2r)-(|->/3r),

图9

：.r=t%/6-2)R.

第7页共8页

例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四

面体的高的最小值为（）A.B.2+冬区C.4+3D,4@+2亚

3333

解，“容器四面阵”中的这四个小球，以四个小球为球心为顶点构成了一个棱长为2的“球心正四面体”，

这个四面体制高是“单位正四面体”高C咚>的2倍即为乎.“球心正四面体”的底面至！1"容器正四

面体”的地面为小球半径1.而“球心正四面体”顶点到“容器正四面体”的顶点的距离为3C小球半径的

3倍）.于是“容器正四面处”的高为马匹+3+1,选择C.[这个"小球半径的3倍”是这样想的，散一个小

3

球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]

4球与几何体的各条棱相切

球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确

球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱

y=@a

都相切的球的半径为相对棱的一半：4.

例9把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥

形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为O

卜・12J3cmB.10cmC.10j2cmD.30cm

解■:如图IL所示，由题怠球心在AP上