2024年中考数学几何模型复习-对角互补模型

对角互补模型

破解策略

1.全等型之90°

如图,NAOB=NDCE=9(T,/DCE的顶点在/AOB的平分线OC上，两边分别与射线OAQB交于点D,E,则:

(1)CD=CE;

(2)00+0E=V20C;

(3)SAOCD+SAOCE=~0C2.

证明方法一：如图1,过点C分别作CM_LOA,CN_LOB于点M,N.

由角平分线的性质可得CM=CN,NMCN=90。.所以NMCD=NNCE.

从而AMCD当△NCE(ASA),故CD=CE.

易证四边形M0NC为正方形，

所以OD+OE=OD+ON+NE=2ON=V20C.

方法二:如图2,过点C作CF_LOC,与OB交于点F.

易证.乙DOC=乙EFC=45°,CO=CF/DCO=Z.ECF.

所以ADCO之△ECF(ASA),

所以CD=CE,OD=FE,

从而。。+0E=OF=V20C

所以SAOCD+SAOCE=$AOCF=|0C2.

【拓展】如图，当ZDCE的一边与AO的延长线交于点D时，贝!］：

(1)CD=CE;

(2)0E-0D=&。C;

(3)S^OCE—S^OCD=~0C2.

如图1,图2,证明同上.

A

M

O\o

D\Di

图1图2

2全等型之120°

如图,NAOB=2NDCE=12(r,NDCE的顶点在NAOB的平分线OC上，两边分别与射线OAQB交于点D,E,则:

(1)CD=CE;

(2)OD+OE=OC;

C2

(3)5AOCD+^OCE=Y0-

证明方法一：如图1,过点C分别作CM±OA,CN±OB于点M,N.

易证△MCDgz^NCE(ASA),

所以CD=CE,OD+OE=2ON=OC,

所以S^OCD+S^OCE=ZS^ONC=¥OC2.

方法二:如图2,在OB上取一点F,使得NOCF=60。则AOCF为等边三角形.

易证ADCOdECFlASA),

所以CD=CE,OD+OE=OF=OC,

所以S^OCD+S^OCE=

图2

【拓展】如图，当ZDCE的一边与AO的延长线交于点D时，贝U：

(1)CD=CE;

(2)OE-OD=OC;

-

(3)5AOCES^OCD=f”2.

如图1,图2,证明同上.

图1图2

3.全等型之任意角a

如图,NAOB=2a,NDCE=18(T-2a,NDCE的顶点在NAOB的平分线OC上，两边分别与射线OAQB交于点D,E,则:

(1)CD=CE;

(2)OD+OE=2OCcosa;

(3)SAODC+$AOEC=℃2'sinacosa.

证明方法一：如图1,过点C分别作CM_LOA,CN_LOB于点M,N.

易证AMCD当ZiNCElASA),

所以CD=CE,OD+OE=2ON=2OCcosa,

2

所以SAODC+S'AOEC=2slMNC=OC.sinacosa.

方法二：如图2,在OB上取一点F,使得乙OCF=180°-2a,,则OC=FC.

易证ADCO之△ECF(ASA),

所以CD=CE,OD+OE=OF=2OCcosa,

所以SAODC+SAOEC=

【拓展】如图，当NDCE的一边与AO的延长线交于点D时，贝h

(1)CD=CE;

(2)OE-OD=2OCcosa;

2

(3)SA0CE-SAOCD=OC-sinacosa.

如图1,图2,证明同上.

4.相似型之90°

如图,NAOB=NDCE=9(F,NDCE的顶点在NAOB内部射线OC上,两边分别与射线OAQB交于点D,E.若NCOB=a，则

CE=CDtana.

证明方法一：如图1,过点C分别作CM±OA,CN±OB于点M,N.

易证AMCDsaNCE,

所以77—777—tana,即CE=CDtana.

方法二:如图2,过点C作CF_LOC.与OB交于点F.

易证ADCOs^ECF,

所以|^=|^=tana,BPCE=CDtana.

方法三:如图3,连接DE,易证D,O,E,C四点共圆,所以NCDE=NCOE=a，故CE=CDtana.

【拓展】如图，当ZDCE的一边与AO的延长线交于点D时,则CE=CDtana.

如图1,图2,图3,证明同上.

例题讲解

例1已知AP平分NMAN,B是射线AP上一定点,C在直线AM上运动，连接BC.

⑴如图l,/MAN=90。,将射线BC绕点B顺时针旋转90。,旋转后与射线AN交于点D.当点C在射线AM上时,BD和

BC之间的数量关系是，线段AC,AD和AB之间的数量关系是;

⑵如果4MAN=60。,,将射线BC绕点B顺时针旋转120。,旋转后与射线AN交于点D;

①如图2,当点C在射线AM上时，请探究线段AC,AD和AB之间的数量关系，写出结论并给予证明；

②如图3,当点C在射线AM的反向延长线上时，BC与射线AN交于点E,若48==2,求线段AD和DE

的长.

分析图1为全等型之90。，图2、图3为全等型之60。,参阅模型结论的证明过程.

解答

例2已知AABC内接于00,/BAC的平分线交OO于点D,连接DB,DC.

⑴如图1,当NBAC=120。时，请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的等量关系式：

(2)如图2,当NBAC=90。时，试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系，并证明你的结论;

(3)如图3,若BC=5,BD=4.求j匕的值.

图1图2图3

分析图1为全等型之120。，图2为全等型之90。，图3为全等型之任意角，参阅模型结论的证明过程.解答

例3⑴如图1,将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角

边与边DC交于点E,则线段PB和线段PE相等吗？请证明；

(2)如图2.移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边与DC的延长线

交于点E，则⑴中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑶继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC的延长线上，一条直角边经过点B,另一条直角边与DC的

延长线交于点E，则⑴中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

图1图2图3

分析本题为全等型之90。，无论点P的位置在哪，ZBPE的边PE与正方形的边DC所在的直线交点在哪，均可参阅

模型的证明.

解答

例4⑴如图1,在矩形ABCD中,P是对角线AC,BD的交点点E,F分别在边BC,CD上，且/EPF=NABC.若AB=mBC,

则线段PE与PF的数量关系是.

(2)如图2,在矩形ABCD中,P是对角线AC上任意一点，点E,F分别在边BC,CD上，且乙EPF=NABC.若AB=mBC,则

(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

⑶如图3,在QABCD中,P是对角线AC上任意一点，点E,F分别在边BC,CD上，且.AEPF=NABC.若AB=mBC,贝切)

中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

分析图1、图2为相似型之90。，图3为相似型之任意角，过点P向/BCD两边作垂线，即可构造三角形相似，从

而解决问题.

解答

进阶训练

1.已知四边形ABCD.连接对角线AC,BD,ZACB=ZACD=ZABD=ZADB=a.

图3

⑴如图1,若(a=60°,,则线段BC,CD,AC三者之间的数量关系为；

⑵如图2,若(a=45。,,则线段BC,CD,AC三者之间的数量关系为;

(3)如图3,若(a=30°,,则线段BC,CD,AC三者之间的数量关系为.

2.如图，四边形ABCD为菱形，.乙4BC=60。,，E是边AB所在直线上的一点，连接BD,DE.将NEDB绕点D逆时针旋

转120。,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F,G.

⑴如图1,点E在线段AB上时，请探究线段BE,BF,BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

(2攻口图2,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,,直接写出线段FM的长度.

3.点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE,PF分别与边BC,DC交于点M,N.

(1)【操作发现】如图1,若四边形ABCD是正方形，则P