忻州一中2025届高一数学第二学期期末联考试题含解析

忻州一中2025届高一数学第二学期期末联考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列是公比为2的等比数列，满足，设等差数列的前项和为，若，则（）A．34B．39C．51D．682．若向量，且，则等于（）A． B． C． D．3．已知为角终边上一点，且，则（）A． B． C． D．4．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从2014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2014人中，每个人被抽取的可能性()A．均不相等 B．不全相等C．都相等，且为 D．都相等，且为5．在中，角，，的对边分别是，，，若，则（）A． B． C． D．6．已知,,,,则()A． B．C． D．7．直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）A．1 B． C． D．28．已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（）A．， B．，C．， D．，9．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D10．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为_______．12．为等比数列，若，则_______.13．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．14．若数列满足，则_____.15．设无穷等比数列的公比为，若，则__________________．16．已知，且，则_____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知不共线的向量，，，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）求.18．已知函数（其中）的图象如图所示：（1）求函数的解析式及其对称轴的方程；（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围，并求此时的值.19．已知函数.（1）证明函数在定义域上单调递增；（2）求函数的值域；（3）令，讨论函数零点的个数.20．在中，角对应的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的取值范围.21．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：（1）计算：,,；（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】由数列是公比为的等比数列，且满足，得，所以，所以，设数列的公差为，则，故选D.2、B【解析】

根据坐标形式下向量的平行对应的等量关系，即可计算出的值，再根据坐标形式下向量的加法即可求解出的坐标表示.【详解】因为且，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查根据坐标形式下向量的平行求解参数以及向量加法的坐标运算，难度较易.已知，若则有.3、B【解析】

由可得，借助三角函数定义可得m值与.【详解】∵∴，解得又为角终边上一点，∴，∴∴故选B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题．4、C【解析】由题意可得，先用简单随机抽样的方法从2014人中剔除14人，则剩下的再分组，按系统抽样抽取.在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到的机会相等，均为故选C5、D【解析】

由题意，再由余弦定理可求出，即可求出答案.【详解】由题意，，设，由余弦定理可得：，则.故选D.【点睛】本题考查了正、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.6、C【解析】

分别求出的值再带入即可．【详解】因为,所以因为,所以所以【点睛】本题考查两角差的余弦公式．属于基础题．7、D【解析】

先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值．【详解】圆在点处的切线为，即，点是圆上的动点，圆心到直线的距离，∴点到直线的距离的最小值等于．故选D．【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.8、B【解析】

由已知推导出，由此利用排除法能求出结果.【详解】，，，，，若，则，故A与C不可能成立；若，则，故B成立，D不成立.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式以及排除法在选择题中的应用，属于中档题.9、A【解析】

根据向量共线定理进行判断即可.【详解】因为，且，有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选：A.【点睛】本题考查了用向量共线定理证明三点共线问题，属于常考题.10、C【解析】

根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，第一循环：，能被3整除，不成立，第二循环：，不能被3整除，不成立，第三循环：，不能被3整除，成立，终止循环，输出，故选C．【点睛】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

推导出a1＝1，a2＝2×1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出数列{an}的通项公式．【详解】∵数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，解得a1＝1，a2＝2×1＝2，∴，解得a3＝4，，解得a4＝6，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，∴n≥2时，22n﹣2，∴数列{an}的通项公式为．故答案为：．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题．12、【解析】

将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。【详解】相当于，相当于，上面两式相除得代入就得，【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。13、1【解析】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案为1．考点：正弦定理的应用．14、【解析】

由递推公式逐步求出.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题.15、【解析】

由可知,算出用表示的极限,再利用性质计算得出即可.【详解】显然公比不为1,所以公比为的等比数列求和公式,且,故.此时当时,求和极限为,所以,故,所以,故,又,故.故答案为：.【点睛】本题主要考查等比数列求和公式,当时.16、【解析】

首先根据已知条件求得的值，平方后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.【详解】由得，两边平方并化简得，由于，所以.而，由于，所以【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先计算出，再代入公式，求出余弦值；（2）直接利用公式计算求值.【详解】（1）设的夹角为，∵，∴，又，可得，∴.（2）.【点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角、模的计算，考查基本运算求解能力.18、（1），；（2），.【解析】

（1）根据图像得A=2,利用，求ω值，再利用时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由得，方程f（x）＝2a﹣3有两个不等实根转为f（x）的图象与直线y＝2a﹣3有两个不同的交点，从而可求得a的取值范围，利用图像的性质可得的值.【详解】（1）由图知，,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ),当时，函数取得最大值，可得，即，，解得，又所以，故，令则，所以的对称轴方程为；（2），所以方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点，可得,当时，，有，故.【点睛】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．19、（1）证明见解析；（2）；（3）当时，没有零点；当时，有且仅有一个零点【解析】

（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；（2）由题意得，对两边同时平方得，求出的取值范围即可得解；（3）转化条件得，令，利用二次函数的性质分类讨论即可得解.【详解】（1）证明：令，解得，故函数的定义域为令，由，可得，所以，，故即，所以函数在定义域上单调递增.（2）由，，故，，当时，，有，可得：，故，由，可得，故函数的值域为，（3）由（2）知，则，令，则，令，①当时，，此时函数没有零点，故函数也没有零点；②当时，二次函数的对称轴为，则函数在区间单调递增，而，，故函数有一个零点，又由函数单调递增，可得函数也只有一个零点；③当时，，二次函数开口向下，对称轴，又，，此时函数没有零点，故函数也没有零点.综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点.【点睛】本题考查了函数单调性的证明、值域的求解和零点问题，考查了转化化归思想和分类讨论思想，属于中档题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）依照条件形式，使用正弦定理化角为边，再用余弦定理求出，从而得出角的值；（2）先利用余弦定理找出的关系，再利用基本不等式放缩，求出的取值范围．【详解】（1）由及正弦定理得，，由余弦定理得，又，所以（2）由及，得，即所以，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用基本不等式求等式条