第20讲 圆锥曲线的综合问题 讲义-2021-2022学年高三数学二轮复习专题

第20讲圆锥曲线的综合问题一、学习目标：1.掌握设点与设线技巧；2.会用平面几何知识来简化问题；3.会用函数思想来处理圆锥曲线中的最值问题.典例分析例1．如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.【答案】（1）由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为.所以消去，整理得：.因为直线与抛物线相切，所以，解得，，即点.设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，解得.即点.（2）由（1）知，，直线的方程为，所以点到直线的距离为.所以的面积为.11．如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．（1）求，的方程；（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.①证明：；②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由．【答案】（1）①关键证明；②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和.例2．已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）设，联立得，，，.直线，令得，即，同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.变式：1．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）椭圆方程为：；（2）直线恒过点．2．已知抛物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4.(1)求的值；(2)如图，经过点且不过原点的直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标.【答案】(1)；(2)存在，其坐标为或.例3．已知的三个顶点在抛物线:上,抛物线的焦点,点为的中点,.（1）若,求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或,,,，解得或,（2）设直线的方程为,,由消掉得，,根据韦达定理了可得:,,的中点的坐标,,，,,,可得解得；由,可得，,又,点到直线的距离为,,记令解得在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,又，当时,取得最大值,此时,的面积的最大值为.变式：1．如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点（在轴上方），连接并延长，交椭圆于点．（1）若轴，求直线的方程；（2）求时的取值范围．【答案】（1）；（2）．2．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)动直线l：y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E、F，求EDF的最小值.【答案】（Ⅰ）.(II).课外作业1．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）点在定直线上，的最大值为，此时点的坐标为．2．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】(1)椭圆方程为；(2)直线l的斜率的取值范围为.3．如图，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为，点是上的定点，是上的两动点，且线段被直线平分.（1）求的值；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.4．已知抛物线的焦点为，准线为．直线与抛物线相切于点且与轴交于点，点是点关于点的对称点，直线与抛物线交于另一点，与准线交于点．(1)证明：直线直线；(2)设的面积分别为，若，求点的横坐标的取值范围．(1)，则直线直线；(2)的横坐标的取值范围．5．如图，设抛物线的焦点为F，圆与y轴的正半轴的交点为A，为等边三角形.(1)求抛物线C的方程；(2)设抛物线C上的点处的切线与圆E交于M，N两点，问在圆E上是否存在点Q，使得直线，均为抛物线C的切线，若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)存在圆上一点，满足，均为抛物线C的切线6．已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点作直线交椭圆于，，其中，，、的重心分别为、．（1）若坐标为，求椭圆的方程；（2）设和的面积为和，且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．7．如图，已知椭圆与抛物线，过椭圆下顶点作直线与抛物线交于、两点，且满足，过点作于直线倾斜角互补的直线交椭圆于、两点.（1）证明：点的纵坐标为定值，并求出该定值；（2）当的面积最大时，求抛物线的标准方程.【答案】（1）点的纵坐标为定值；（2）.8．如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，记以，为直径端点的圆为圆.（1）证明：圆与抛物线的准线相切；（2）设，点在焦点的右侧，圆与轴交于，两点，记和的面积为，求的最大值（其中，点为圆与抛物线准线的切点）【答案】（1）点到准线的距离∴圆与抛物线的准线相切.（2）当时，等号成立，最大值为9．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.【答案】（1）；（2）.10．已知点A，B分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上异于A，B的一个动点，的周长为12．(1)求椭圆E的方程；(2)已知点，直线PM与椭圆另