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文档简介
第20讲圆锥曲线的综合问题一、学习目标:1.掌握设点与设线技巧;2.会用平面几何知识来简化问题;3.会用函数思想来处理圆锥曲线中的最值问题.典例分析例1.如图,已知抛物线,圆,过点作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线和圆相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求的面积.【答案】(1)由题意可知,直线的斜率存在,故设直线的方程为.所以消去,整理得:.因为直线与抛物线相切,所以,解得,,即点.设圆的圆心为,点的坐标为,由题意知,点,关于直线对称,故有,解得.即点.(2)由(1)知,,直线的方程为,所以点到直线的距离为.所以的面积为.11.如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.(1)求,的方程;(2)设与轴的交点为M,过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.①证明:;②记△MAB,△MDE的面积分别是.问:是否存在直线,使得=?请说明理由.【答案】(1)①关键证明;②满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和.例2.已知椭圆的右焦点为,且经过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为原点,直线与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.(Ⅰ)椭圆的方程为;(Ⅱ)设,联立得,,,.直线,令得,即,同理可得.因为,所以;,解之得,所以直线方程为,所以直线恒过定点.变式:1.已知A、B分别为椭圆E:(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.【答案】(1)椭圆方程为:;(2)直线恒过点.2.已知抛物线的焦点为,且过的弦长的最小值为4.(1)求的值;(2)如图,经过点且不过原点的直线与抛物线相交于两点,且直线的斜率分别为.问是否存在定点,使得为定值?若存在,请求出点的坐标.【答案】(1);(2)存在,其坐标为或.例3.已知的三个顶点在抛物线:上,抛物线的焦点,点为的中点,.(1)若,求点的坐标;(2)求面积的最大值.【答案】(1)或,,,,解得或,(2)设直线的方程为,,由消掉得,,根据韦达定理了可得:,,的中点的坐标,,,,,,可得解得;由,可得,,又,点到直线的距离为,,记令解得在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,又,当时,取得最大值,此时,的面积的最大值为.变式:1.如图,已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过点的直线与椭圆交于两点(在轴上方),连接并延长,交椭圆于点.(1)若轴,求直线的方程;(2)求时的取值范围.【答案】(1);(2).2.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E、F,求EDF的最小值.【答案】(Ⅰ).(II).课外作业1.平面直角坐标系中,椭圆C:的离心率是,抛物线E:的焦点F是C的一个顶点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线与y轴交于点G,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)点在定直线上,的最大值为,此时点的坐标为.2.设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率的取值范围.【答案】(1)椭圆方程为;(2)直线l的斜率的取值范围为.3.如图,在直角坐标系中,点到抛物线的准线的距离为,点是上的定点,是上的两动点,且线段被直线平分.(1)求的值;(2)求面积的最大值.【答案】(1);(2).4.已知抛物线的焦点为,准线为.直线与抛物线相切于点且与轴交于点,点是点关于点的对称点,直线与抛物线交于另一点,与准线交于点.(1)证明:直线直线;(2)设的面积分别为,若,求点的横坐标的取值范围.(1),则直线直线;(2)的横坐标的取值范围.5.如图,设抛物线的焦点为F,圆与y轴的正半轴的交点为A,为等边三角形.(1)求抛物线C的方程;(2)设抛物线C上的点处的切线与圆E交于M,N两点,问在圆E上是否存在点Q,使得直线,均为抛物线C的切线,若存在,求Q点坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)存在圆上一点,满足,均为抛物线C的切线6.已知椭圆的左右焦点分别为,,过右焦点作直线交椭圆于,,其中,,、的重心分别为、.(1)若坐标为,求椭圆的方程;(2)设和的面积为和,且,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).7.如图,已知椭圆与抛物线,过椭圆下顶点作直线与抛物线交于、两点,且满足,过点作于直线倾斜角互补的直线交椭圆于、两点.(1)证明:点的纵坐标为定值,并求出该定值;(2)当的面积最大时,求抛物线的标准方程.【答案】(1)点的纵坐标为定值;(2).8.如图,过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,记以,为直径端点的圆为圆.(1)证明:圆与抛物线的准线相切;(2)设,点在焦点的右侧,圆与轴交于,两点,记和的面积为,求的最大值(其中,点为圆与抛物线准线的切点)【答案】(1)点到准线的距离∴圆与抛物线的准线相切.(2)当时,等号成立,最大值为9.如图,已知F是抛物线的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且,(1)求抛物线的方程;(2)设过点F的直线交抛物线与A、B两点,斜率为2的直线l与直线,x轴依次交于点P,Q,R,N,且,求直线l在x轴上截距的范围.【答案】(1);(2).10.已知点A,B分别为椭圆的左、右顶点,,为椭圆的左、右焦点,,P为椭圆上异于A,B的一个动点,的周长为12.(1)求椭圆E的方程;(2)已知点,直线PM与椭圆另
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