第7讲 函数的奇偶性-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

第七讲函数的奇偶性第七讲函数的奇偶性 教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.函数奇偶性的定义数学抽象水平1水平11.了解函数的奇偶性的概念，会用定义判断函数的奇偶性。2.掌握偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称的特征。3.理解奇、偶函数的单调性，体会数形结合的思想。【考查内容】函数奇偶性的判断，图像特征，求值及综合考查函数的单调性、奇偶性。【考查题型】选择题、填空题和解答题【分值情况】5--10分2.函数奇偶性的运算性质数学运算水平1水平13.奇、偶函数的图像特征直观想象水平2水平24.奇、偶函数的单调性逻辑推理水平1水平2知识通关知识通关知识点函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性定义图象特点及性质偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数关于原点对称；若在原点有定义，则题型一函数奇偶性的判断规律方法判断函数奇偶性的两种方法：(1)定义法：(2)图象法：例1、判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)解析：（1）∵函数的定义域为，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数；（2）的定义域为R，关于原点对称。∵又，∴既不等于，也不等于，∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数；（3）函数的定义域为R，关于原点对称，∵∴该函数为奇函数；（4）的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当时，，；当时，，．综上可知，对于∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有，故该函数为偶函数．答案（1）非奇非偶函数（2）非奇非偶函数（3）奇函数（4）偶函数【变式训练1】判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）解析：（1）由知∴函数的定义域为，不关于原点对称，故既不是奇函数，也不是偶函数；（2）由得，即∴函数的定义域是，关于原点对称，又，∴既是奇函数又是偶函数；（3）函数的定义域为，关于原点对称，又∵∴是偶函数；（4）当时，，则，当时，，则综上，对，都有∴为奇函数。答案（1）非奇非偶函数（2）既奇又偶函数（3）偶函数（4）奇函数题型二奇、偶函数的图象问题规律方法1.巧用奇偶性作函数图象的步骤1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．例2、已知奇函数的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使的的取值集合．解析：(1)因为函数是奇函数，所以在[－5,5]上的图象关于原点对称，由在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值的的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．【变式训练2】已知偶函数的一部分图象如图，试画出该函数在轴另一侧的图象，并比较的大小．解析：为偶函数，其图象关于轴对称，如图，由图象知，.题型三函数奇偶性的应用规律方法1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义或可求函数值，比较或的系数可求参数值．2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用的奇偶性写出或，从而解出方向1利用奇偶性求函数值例3-1、已知，且，则＝()A．26B．18 C．10D．－26解析：设，则为奇函数，由题可得，∴，又，且为奇函数，∴∴答案D【变式训练3-1】函数，已，求的值。解析：设，则为奇函数∴∵，解得∴答案27方向2利用奇偶性求参数值例3-2、若函数为偶函数，则＝（）.A.-2B.-1C.1D.2解析:∵是偶函数，∴即，整理得，故，解得.答案C【变式训练3-2】若函数为奇函数，则=（）A.B.C.D.1解析：∵为奇函数，∴∴，整理得∴，解得答案A方向3利用奇偶性求函数的解析式例3-3、已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，求函数的解析式．解析：设，则，∴又∵是奇函数，∴又∵是定义在R上的奇函数，∴综上所述，【变式训练3-3】已知是定义在上的偶函数。当时，，求函数的解析式。解析：当时，则∴又∵是定义在上的偶函数，∴故综上，题型四函数奇偶性的部分结论以及运算性质规律方法（1）若（1）若为奇函数，则；若为偶函数，则。（2）若为奇函数，点在其图像上，则点也在其图像上；若为偶函数，点在其图像上，则点也在其图像上。（3）的定义域分别是，在它们的公共定义域上，有下列结论：注意：①上述表格中不考虑注意：①上述表格中不考虑和的情况；②中，需例4、设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）偶偶奇奇偶奇偶奇偶不能确定不能确定奇偶不能确定不能确定奇偶奇奇偶偶偶偶奇A.是偶函数B.是奇函数C.是奇函数D.是奇函数解析：对于A，令，则∴是奇函数，A错；对于B，令，则∴是偶函数，B错；对于C，令，则∴是奇函数，C正确对于D，令，则∴是偶函数，D错。答案C【变式训练4】设函数分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A.是偶函数B.是奇函数C.是偶函数D.是奇函数解析：对于A，令，则∴是偶函数，A正确；对于B，令，则∴是偶函数，B错；对于C，令，则∴是非奇非偶函数，C错；对于D，令，则∴是非奇非偶函数，D错。答案A思维拓展思维拓展考向一函数的周期性与对称性方向一关于函数周期性的结论规律方法（1）若（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）若，则（6）若，则（7）若（7）若，则（8）若，则（9）若，，则（10）若，，则（11）若是奇函数，且关于对称，则例5-1、已知函数的定义域为R。当时，；当时，；当时，，则A.-2B.-1C.0D.2解析：∵当时，∴∴又∵当时，∴∴答案D【变式训练5-1】设是定义在R上的奇函数，，且，则解析：∵是定义在R上的奇函数，，∴，且，又∵∴∴，∴答案-2方向二关于函数对称性的结论规律方法（1）函数图像关于直线轴对称的问题在定义域内恒满足的条件的图像的对称轴直线直线直线（2）函数图像关于点中心对称的问题在定义域内恒满足的条件的图像的对称中心点点点（3）知识拓展在定义域内恒满足的条件的图像的对称中心点点点例5-2、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（）A.是偶函数B.是奇函数C.D.是奇函数解析：∵是奇函数，∴，∴关于中心对称，同理，是奇函数，∴，∴关于中心对称，∴∵是奇函数，∴是奇函数。答案D【变式训练5-2】对任意实数都有，若的图像关于对称，，则A.0B.3C.6D.-3解析：∵的图像关于对称，∴令，则，解得，∴，∴∴∴答案B方向三求与函数关于点对称的函数的解析式规律方法①设所求函数上的任意一点坐标为①设所求函数上的任意一点坐标为且关于点对称的图像上的点坐标②利用中点坐标公式建立等量关系③解出，并代入已知函数解析式④化简整理出关于的表达式例5-3、已知函数与的图像关于点对称，求的解析式。解析：设为上任一点，且为关于点的对称点，则解得∵点在上，∴，把代入得，整理得答案【变式训练5-3】已知函数的图像与函数的图像关于点对称，求函数的解析式。解析：设图像上任一点，则点P关于点的对称点在的图像上，即，∴答案方向四利用函数的周期性求解析式利用函数周期性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用的周期性写出或，从而解出。例5-4、已知（定义域为R）在上的解析式为，且，求在上的解析式。解析：∵∴，当时，，则答案【变式训练5-4】已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的，有，求在上的解析式。解析：∵令，则当时，则∴答案考向二函数的奇偶性与单调性综合问题规律方法（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数。（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数。例6-1、（1）已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为（）A.B.C.D.（2）若是定义在上的偶函数，对任意的，有，则（）A.B.C.D.解析：（1）∵函数为偶函数，∴，∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴的解集为（2）∵，∴在上是减函数，故。又是定义在上的偶函数，∴，故答案（1）B（2）D例6-2、定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，。回答下列问题：（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；解析：（1）在上是奇函数。证明：对任意，都有，令得，解得，令，则，即，∴在上是奇函数。（2）在上单调递减。证明：设，则而，则，当时，，∴，即有，∴在上单调递减。【变式训练6】已知定义在上的函数满足①对任意定义域上的，②当时，。（1）试判断函数的奇偶性；（2）判断函数上的单调性；（3）求在区间上的最大值；（4）求不等式的解集。解析：（1）令，解得，再令，解得，又令，则又函数的定义域关于原点对称，∴函数为偶函数。（2）任取，且，则又当时，，∴而∴函数在上是增函数（3）∵，∴，又由（1）、（2）知函数在区间上是偶函数且在上是增数，故在区间上的最大值为（4）∵，∴原不等式等价于，又函数为偶函数且在上是增函数，∴，即或，解得∴不等式的解集为综合训练综合训练A组基础演练A组基础演练一、选择题1．函数f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于()A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称解析：∵f(－x)＝－eq\f(1,x)＋x＝－f(x)，∴f(x)＝eq\f(1,x)－x是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，故选C.答案C2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A．y＝eq\f(1,x2)B．y＝eq\f(1,x)C．y＝x2D．y＝xeq\f(1,3)解析：易判断A，C为偶函数，B，D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.答案A3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是()A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，∴点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)图象上．答案B4．已知f(x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－0.5)＜f(0)＜f(1)B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)解析：∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.答案C5．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是()A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5解析：f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.答案C6．已知函数（其中p，q为常数）满足，则的值为（）A．10 B． C． D．解析：令，则为奇函数.，即，，.答案C7．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于()A．0.5 B．－0.5C．1.5 D．－1.5解析：由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.答案B8．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3B．1C．－1D．－3解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案D9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，则f(1)＝()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(1,2)解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).答案A10．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝()A．x2 B．2x2C．2x2＋2 D．x2＋1解析：因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②联立①②可得f(x)＝x2＋1.答案D二、填空题11．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝eq\r(－x)＋1，即x＜0时，f(x)＝eq\r(－x)＋1.答案eq\r(－x)＋112．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是________．解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当x＞2或x＜－2时，f(x)＜0，如图，即f(x)＜0的解为x＞2或x＜－2，即不等式的解集为{x|x＞2，或x＜－2}．答案{x|x＞2，或x＜－2}13．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.解析：由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函数．∴f(－1)＝－f(1)＝1，从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.答案314．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝eq\f(1,2)，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.解析：令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＋f(2)，则f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝eq\f(3,2)＋1＝eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)三、解答题15．已知函数f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且f(1)＝3.(1)求m的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq\f(2,x)，x≠0.∵f(－x)＝(－x)＋eq\f(2,－x)＝＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．答案（1）2（2）奇函数16．函数f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5).(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.解析：(1)由题意知，解得∴f(x)＝eq\f(x,1＋x2).(2)证明：任取－1<x1<x2<1，则x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2,1＋x\o\al(2,2))－eq\f(x1,1＋x\o\al(2,1))＝eq\f(x2－x11－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2)).∵－1<x1<x2<1，∴－1<x1x2<1,1－x1x2>0.于是f(x2)－f(x1)>0，∴f(x)为(－1,1)上的增函数．(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1<t－1<－t<1，解得0<t<eq\f(1,2).答案见解析17．已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．证明：设x1，x2是(－∞，0)上的任意两个值，且x1<x2，则－x1>－x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1)<f(－x2)．又f(x)是奇函数，∴－f(x1)<－f(x2)，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．B组提升突破B组提升突破 一、选择题1．函数的图象大致为（）A．B．C． D．解析：因为函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，当时，，所以函数在上单调递减，所以排除选项B，D；又当时，，所以排除选项A.故选：C.答案C2．已知函数是定义在的偶函数,则（）A．5 B． C．0 D．2019解析：∵f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数；∴；∴a＝1，b＝0；∴f（x）＝x2+2；∴f（a）+f（b）＝f（1）+f（0）＝3+2＝5．答案A3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.答案C4．定义在R上的奇函数f(x)，满足，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为()A.B.C.D.解析：∵函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且，∴，且在区间(－∞，0)上单调递减．∵当－eq\f(1,2)＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，当0＜x＜eq\f(1,2)时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，综上，xf(x)＞0的解集为答案B5．已知函数若ƒ(-a)+ƒ(a)≤2ƒ(1)，则实数a的取值范围是（）A．[-1，0) B．[0，1] C．[-1,1] D．[-2,2]解析：若，则，，若，则，，故函数为偶函数，且当时，函数单调递增.∴不等式等价于，即，∴，∴。答案C6．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．解析：，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，又在上是增函数，在上是减函数，，，即，对于恒成立，在上恒成立，，即的取值范围为。答案A二、填空题7．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．解析：令x<0，则－x>0.∴f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，∴答案8．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.解析：由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.答案9．设函数是定义在