2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期中数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个实数中，无理数是（）A． B． C．3.14 D．2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（3分）如图所示，若l1∥l2，∠1+∠2＝240°，则∠3的度数为（）A．20° B．30° C．60° D．80°4．（3分）下列等式正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠5 D．∠4+∠ADC＝180°6．（3分）一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．45° B．35° C．30° D．25°7．（3分）（m﹣2）x+3ym＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（3分）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣②9．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．10．（3分）下列命题中：①5的平方根是；②负数没有立方根；③的相反数是；④负数没有平方根；⑤立方根是本身的数有﹣1，0，1．是真命题的有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知x﹣4y＝5，请用含y的代数式表示x，则x＝．12．（3分）已知点P（3，﹣2），则P点到x轴距离是．13．（3分）已知方程组的解满足x+y＝3，则k＝．14．（3分）如图，长方形ABCD沿EF对折后，若∠1＝50°，则∠AEF＝．15．（3分）已知的整数部分是1，则小数部分是﹣1；若的小数部分为a，则a＝．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2024的坐标为．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）解方程组：（1）；（2）．19．（6分）如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，试说明∠ADC＝90°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵∠1＝∠C，（已知）∴GD∥．（）∴∠2＝∠DAC．（）∵∠2+∠3＝180°，（已知）∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）∴AD∥EF．（）∴∠ADC＝∠．（）∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC＝90°．（）∴∠ADC＝90°．（等量代换）20．（8分）已知正数x的两个平方根分别是2a﹣1和a+7，负数y的立方根与它本身相同．（1）求a，x的值；（2）求x﹣11y的算术平方根．21．（8分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B，则点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（2，0），连接AC，BC，求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为6，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（9分）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件4种航天载人飞船模型和4件B种航天载人飞船模型的进价共计140元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计130元．（1）求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？（2）若该超市计划正好用240元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．23．（9分）三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠B＝∠F．（1）如图1，求证：CF∥AB；（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝45°，∠ACF＝65°，求∠BEC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝3：4，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．24．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝xy，就称这个方程组为“好友方程组”，点（x，y）为“好友点”．例如方程组的解为，满足，则方程组为“好友方程组”，点为“好友点”．（1）下列方程组中，为“好友方程组”的是.（直接填序号）①②③④（2）已知关于x，y的二元一次方程组，请判断此方程组是否为“好友方程组”，若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．（3）已知P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组（Ⅰ）的解，当点P（x，y）为“好友点”时，请求出n的值；此时，请证明关于x，y的二元一次方程组（Ⅱ）为“好友方程组”，并求出“好友点”．25．（10分）溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸EF∥GH，桥OA长20米横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转，灯O射线从OG开始绕点O顺时针旋转至OH后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．（1）填空：a＝，b＝，A点坐标（，）；（2）为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达F点便开始检修设备．其中OG＝OA＝AF，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有△AOP的面积等于△APQ的面积的2倍；（3）①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达AE之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达OH之前，两灯射出的光束交于点C．在射线AF上取一点D，且∠ACD＝k•∠AOC，则在转动过程中，是否存在实数k，使得∠OCD为定值？若存在，请求出实数k的值及∠OCD的度数；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：A．是无理数，故本选项符合题意；B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；C．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：A．2．【解答】解：∵点P的横坐标为负，纵坐标为正，∴点P（﹣2，1）在第二象限，故选：B．3．【解答】解：∵∠1+∠2＝240°，∠1＝∠2，∴∠1＝120°，∵l1∥l2，∴∠1+∠4＝180°，∴∠4＝60°，∴∠3＝∠4＝60°．故选：C．4．【解答】解：A、±＝±3，本选项错误，不符合题意；B、＝3，本选项错误，不符合题意；C、＝﹣3，本选项错误，不符合题意；D、＝3，本选项正确，符合题意．故选：D．5．【解答】解：A、∠1＝∠4不能判定AB∥CD，不符合题意；B、∵∠2＝∠3，∴AB∥CD，符合题意；C、∵∠1＝∠5，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；D、∵∠4+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意．故选：B．6．【解答】解：过B作BD∥b，∵a∥b，∴BD∥a，∴∠DBA＝∠1＝25°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝35°，∴∠2＝∠CBD＝35°．故选：B．7．【解答】解：根据题意得：m﹣2≠0且m＝1，∴m＝1，故选：C．8．【解答】解：①+②得：6x＝﹣16，此时消去未知数y；①﹣②×5得：12y＝98，此时消去未知数x；故选：A．9．【解答】解：由题意得：．故选：B．10．【解答】解：①5的平方根是±，是真命题；②负数有立方根，故本小题命题是假命题；③﹣1的相反数是﹣+1，故本小题命题是假命题；④负数没有平方根，是真命题；⑤立方根是本身的数有﹣1，0，1，是真命题；故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．【解答】解：∵x﹣4y＝5，∴x＝5+4y，故答案为：5+4y．12．【解答】解：已知点P（3，﹣2），则P点到x轴距离是|﹣2|＝2．故答案为：2．13．【解答】解：两式相加，得3（x+y）＝k+2，由x+y＝3，得3（x+y）＝k+2＝9，即k+2＝9，解得k＝7．故答案为：7．14．【解答】解：如图：根据折叠以及∠1＝50°，得∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．故答案为：115°．15．【解答】解：∵3＜＜4，∴的整数部分是3，∴的小数部分为a＝﹣3，故答案为：﹣3．16．【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1）…以此类推可知，每四次移动为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0依次出现，∵2024÷4＝506，∴A2024的坐标为（506×2，0），即（1012，0），故答案为：（1012，0）．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：原式＝2﹣+3﹣4+1＝2﹣．18．【解答】解：（1），将①代入②得：3x﹣（﹣2x+1）＝4，解得：x＝1，将x＝1代入①得：y＝﹣2+1＝﹣1，故原方程组的解为；（2），①×2+②×3得：13x＝26，解得：x＝2，将x＝2代入①得：4﹣3y＝1，解得：y＝1，故原方程组的解为．19．【解答】解：∵∠1＝∠C，（已知）∴GD∥AC．（同位角相等，两直线平行）∴∠2＝∠DAC．（两直线平行，内错角相等）∵∠2+∠3＝180°，（已知）∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代换）∴AD∥EF．（同旁内角互补，两直线平行）∴∠ADC＝∠EFC．（两直线平行，同位角相等）∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC＝90°．（垂直定义）∴∠ADC＝90°．（等量代换）故答案为：AC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；EFC；两直线平行，同位角相等；垂直定义．20．【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根分别是2a﹣1和a+7，∴2a﹣1+a+7＝0，解得a＝﹣2，当a＝﹣2时，2a﹣1＝﹣5，a+7＝5，∴x＝（±5）2＝25，即a＝﹣2，x＝25；（2）∵负数y的立方根与它本身相同，∴y＝﹣1，∴x﹣11y＝25+11＝36，∴x﹣11y的算术平方根为＝6．21．【解答】解：（1）如图，B（6，3），故答案为：（6，3）；（2）S△ABC＝4×6﹣×4×2﹣×4×3﹣×1×6＝11；（3）存在；理由如下：设P（0，m），由题意得：×|m﹣4|×6＝6，解得，m＝2或6，∴P（0，2）或（0，6）．22．【解答】解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得：，解得，答：A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元；（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得30a+20b＝240，∴，∵a，b均为正整数，∴当b＝3时，a＝6；当b＝6时，a＝4；当b＝9时，a＝2，∴所有购买方案如下：①购进6件A型飞船模型和3件B型飞船模型；②购进4件A型飞船模型和6件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和9件B型飞船模型．23．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠ADE＝∠F，∴CF∥AB；（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝45°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝65°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝45°+65°＝110°；（3）解：∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝45°，∵∠EBC：∠ECB＝3：4，设∠EBC＝3x°，则∠ECB＝4x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝3x°，∠AED＝∠ECB＝4x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，由（2）知：∠BEC＝110°，∴3x+4x+110＝180，解得x＝10，∴∠EBC＝3x°＝30°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝45°﹣30°＝15°．24．【解答】解：（1）解方程组①得：．∵2+（﹣1）≠2×（﹣1），∴方程组①不是“好友方程组”；解方程组②得：．∵+3＝×3，∴方程组②是“好友方程组”；解方程组③得：．∵1+1≠1×1，∴方程组③不是“好友方程组”；解方程组④得：．∵4+＝4×，∴方程组④是“好友方程组”．故答案为：②④；（2）此方程组不是“好友方程组”，理由如下：整理原方程组得：．解得：．若原方程组为“好友方程组”，则x+y＝xy．∴1﹣m＝﹣m．此方程无解．∴此方程组不是“好友方程组”．（3）解方程组Ⅰ得：．当点P（x，y）为“好友点”时，n2+1+5＝5（n2+1）．n2＝．∴n＝±．整理方程组Ⅱ得：．∴．∵n2＝，∴．解得：．∵2+2＝2×2，∴关于x，y的二元一次方程组（Ⅱ）为“好友方程组”，“好友点”为（2，2）．25．【解答】解：（1）∵＝0，（a+b﹣3）2≥0，≥0，∴a+b﹣3＝0，b﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，A（0，20），∵桥OA长20米，O为坐标原点，∴A（0，20），故答案为：1；2；0；20；（2）设检修工人走了t秒，如图1.1，S△AOP＝PO×AO＝（200﹣10t）平方米，S△APQ＝AQ×AO＝（200﹣15t）平方米，当S△AOP＝2S△APQ时，200﹣10t＝2（200﹣15t），解得t＝10，故答案为：t＝10；（3）存在实数k，