八年级数学分式学案人教版

分式⑴

―■.导入：1-5-2=；—3+4=.

从中可得：a+b=；{a-b)^-[a+b)=.

二.新授：

A

分式：一般的，如果A,B表示两个整式，并且3中含有字母，那么式子乙叫做分式.

B

A

概念分析：①必须形如的式子;

B

②A可以为单项式或多项式，没有其他的限制;

③5可以为单项式或多项式，但必须含有字母.

考点1：识别分式

例题：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？

1x42a-5xm-nx2+2x+l

c+(a-b)

x3?>b2+53x2-y2m+nx2-2x+l

.,__,x+1a+b7/\.

练习：下列式子：3tz—2Z?,―：---,----，—,6+(a+Z7)中,分式的个数是()

x~+13x

A.2个B.3个C.4个D.5个

考点2：列分式表示量

例题：①长方形的面积为S,长为4,则宽为

②小龙买了机支钢笔共花了〃元，则每支钢笔的价格为元；

③边长为。米的正方形水稻田共产水稻500千克，则每平方米水稻田的产量为千克.

练习：①某村有〃个人，耕地40公顷，则人均耕地面积为公顷;

②AA3C的面积为s,BC边长为。，则高AO为；

③一辆汽车行驶。千米用b小时，它的平均车速为千米/小时；一列火车行驶。千米比这辆

汽车少用1小时，它的平均车速为千米/小时.

考点3：分式有意义的条件

2

①当x_________时，分式一有意义；

3x

Y

②当冗___________时，分式——有意义；

x-\

③当x时，分式一!一有意义;

5-3%

④当x、y满足关系____________时，分式牝上有意义.

x-y

练习：下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？

_2彳、x+12m12

①一②q③④——-

aX-13m4-2X—1

-1—

分式⑵

-.选择题：

1.下列各式中，是分式的是（)

「2X-3D.；(21)

A.3x4-X—1B.C.-----

3x—\

2.把a+b+c写成分式的形式，正确的是（）

3.原计划，〃天制造80件产品，现需要提前1天完成，则实际每天生产的件数为（)

80

D.m-----

m-n机+〃n-mn

4.下列各式：-(1-x),且匚x2-y215x

其中分式的个数为（)

571-32xx+1

A.2个B.3个C.4个D.5个

x

5.分式一一有意义，则x的取值范围为（）

x2+l

A.xwlB.xw—1C.xwl或1D.全体实数

二.填空题：

6.请你写出一个含有字母。和匕得分式：.

7.甲、乙两地相距150千米，某人骑车从甲地到乙地需。小时，现需提前1小时到达，则骑车的速

度每小时应为千米.

X

8.若分式一一有意义，则x的取值范围为____________t

x2-16

三.题型拓展：分式的值

1.分式的值为o：对于a来说,4=0且3。0

B

%2—4

⑴若分式=2x—4的值为0,⑵若分式1口x1一-1的值为0,⑶若分式^~~的值为0,

x+1x+1x+2

求x的值.求X的值.求x的值.

分式的值为负数：或|A<。

2.分式的值为正数：A\>0或A1<0

[B>0[B<0[B<0[B>0

练习⑴若分式网土2的值为正数，⑵若分式」」的值为非正数,

3a-92x-5

求。的取值范围.求x的取值范围

-2-

分式⑶

—.复习：将下列各式因式分解

1.—25a?be，+15ab~c2.—43.+6x+94.—x5.3x~—27

二.导入：填空：》」二10_(——)

126

类比分数的基本性质得出分式的基本性质：略

用式子表示：（CwO,A、B、C为整式）

BBCBB+C

)小=(2a-b

例题1：⑴⑵___)

aba2ba2a2b

x2+xyx+y

⑶(4)/：()

x2ZZ)x~~2xx—2,

练习：⑴,二J(2)—=i=

ababcbxb

x+1…2”

(4)

⑶一'一22

X-1x-yx+y

-15

三.导入：约分：—

10~24

类比分数的约分得出分式的约分：

1.目的：将分式化成最简分式

2.步骤：⑴确定分式的符号；⑵分子、分母进行因式分解；⑶确定分子和分母的公因式

（4）约分化成最简分式

例题2：约分：⑴谭萨x2-9

⑵，+6X+9

2

练习：约分：⑴出⑵空厂一厂

⑶J至(4)

acxy(x+才

四.专题练习：

1.确定分式的符号：⑴二（2）—⑶也(4)--

一3〃2y

2.相反数的互换:⑴a-2=（—）（2-a）(2)-«-2=(\a+2)

2-/79-a2⑶.一7团9—a2

练习：约分：⑴白^-⑵）.(4)—^—

a2-4-Q2―3Q49一〃?2er-6a+9

分式⑷

5xC9ab2+6abc2x4-12

一.复习:约分：1.2.-----------3.

25x23a2bx2-36

415c415

二.导入:填空:1.—x—=；2.—；---=»

3232

c、ac

类比归纳:1.-二；2.—：——

hdbd

类比分数的乘法法则得出分式的乘法法则：略

分式的除法法则：略

322

二.例题1：计算：(1)—•—^―小ab-5ab

3y2x32c24cd

总结步骤：⑴确定符号；⑵除法转化为乘法；⑶因式分解；⑷运用乘法法则计算；⑸约分为最简分式.

练习：计算:喘辞-4xy

⑶小心(4)3呼+-

22

3xy5abk

四.例题2：计巢⑴f马⑵春]

m2—Im

练习：L计算：⑴艇二型25//⑵x-x+4

22

}Oaha一。2x-2xX

x"-2x+1x-1

z(3x)---------+-----⑷J『J

/12,2z

X-1Xr-vXx+2xy+y2x+2xy

x2-111x2+2xy+1

2.化简求值：⑴一——-----其中x=——⑵L——--J一其中x=2,y=-l

2

x+2x+12X一2---------2x+xyX

分式⑸

一.复习：计算

6ab10c3W

⑴—I-------

5c23b

­.乘除法混合运算：

7Y

例题1:计算：上匚・

5x-3

练习：计算：⑴网?（一5P之4]5mnp--i-6-a-2--：-a--4--a---2

3Pq2I4/W22J3qa2+8t2+162。+8a+2

...4a2b5c2d2abc⑷，81"+213

(3)------------+------

3cd24ab?3d。一+6。+92。+6。+9

三.探究:

结论：分式乘方把分子、分母分别乘方；相关知识：｛aby'=an-b

Z9、2

例题2：计算：⑴32

I3cJ

练习：⑴（二a空

I3z

分式⑹

导入：通分,和3

46

类比归纳：通分口和1-

aab

规律总结：先确定各分式的公分母一取各分母的所有因式的最高次幕的积作为最简公分母.

二.分式通分：

例题1：通分：（1）3与巴半⑵工与工

2a~bavcx_5x+5

练习：通分：⑴卷与爵⑵品T与了，

一日、1211

—.导入：—F-=—I—=

5523

11

类比分数加减法计算：-+-=—+—=________:

aaab

分式加减法法则：略

例题2：⑴孚当一一^(2)―!一+1

x-yx-y2p+3g2p-3q

注意：计算结果为最简分式

，八、x+11a2a3a

练习：⑴--------=___________=___________；(2)----+-----------=_

xxb+\Z?4-1h+l

…、11小32m+n…a1

⑶Z1-----Z-(4)------------------3⑸-7----T-------⑹

2c2d3cd~2m-n[2m-n)a?—b~a+bn〃+1

⑺若a>b,请你探究与!的大小关系

ab

—6—

分式⑺

复习：计算

二.新授：混合运算

例题1：*二

2a-4\a-2

2

练习：i.__L__2_____a__-_2_：___a__-__2_a_

Ix+ljIx+l〃+la2-1a2-2a+\

116+2x

4.

SUx2-9x—3x-1

p_____L

X1x4-1Jlx-1X+1

、2，

a+bV2a-2ba~a4.若。＞人＞0,且帆＞0,试说明2与如上的大小关系.

a-b)3a+3ba2-h2baa+m

分式⑻

—,专题练习：比较分式的大小

例题：如图1,“丰收1号”小麦的试验田是边长为。米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池

后余下的部分；如图2,“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的小麦

都收获了500千克.问：哪种小麦的单位面积产量高?

强化练习：

1.甲、乙两人两次同时在同一水果店购买水果（假设两次购买水果的单价不同），甲每次买10kg,

乙每次买用去10元买水果，设甲、乙两人第一次购买水果的单价是X元/kg,第二次单价为y元/kg。

⑴甲两次购买水果共需元，乙两次共购买kg水果.

⑵若甲两次购买水果的平均单价为0元/kg,乙两次购买水果的平均单价为。2元永g，比较的

大小，说明理由.

2.有两个蓄水池，A蓄水池是底面为正方形的长方体，底面边长为。米，中间去掉一个边长为1米

的底面为正方形的长方体后余下的截面为“回”字形柱体，B蓄水池是底面是正方形且边长为（a-1）

米的长方体。问：

⑴若两个蓄水池的蓄水量相同，哪个蓄水池的高度高一些？

⑵若两个蓄水池的高度相同，则多的蓄水量是少的蓄水量的多少倍？

(B)

3.甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作，甲队有一半时间每天维修公路x千米，另

一半时间每天维修公路y千米，乙队维修前1千米公路时，每天维修x千米，维修后1千米公路时，

每天维修y千米。

⑴求甲、乙两队完成任务需要的时间（用含x、y代数式表示）

⑵问甲、乙两队哪队先完成任务

-8-

分式(9)

一•复习：⑴ccm-a"—；(2)(a'")"=；(3){cib)n=

二.导入：(1)=；(2)=

从中得出：=结论：cT"=.(aw0)

例题：计算

⑴公於丫⑵a-2b2(a2b-2y

练习：1.填空：⑴32=；3°=；3乜=.

⑵(一3尸=；(-3)°=；(-3)-2=.

(3)"=；匕。=；b-2=.0工0)

2.计算：

⑴/>-3仔,)3⑵(2加1厂十32牙⑶3a-2力(2aL.W4xy2z^(-2x~2yz'')

三.探究过程：时==;IO"=.1()-3==

即：0.1=；0.01=；0.001=；0.0000001=.

0.28=2.8x=2.8x；0.028=2.8x=2.8x

科学记数法：规律总结(略)

例题1：1纳米=10-9米，1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？

例题2：计算：(2X10-6)X(5.2X103)

练习1：用科学记数法表示下列各数

(1)0.000001=；(2)0.0012=；(3)0.000000345=；⑷-0.000108=

练习2：计算

⑴(2X10-6)2.(3X1O'4)(2)(3X10一)3;0一3)-2

-9—

式（10）

--计算：

1.2-2.ab."LQx2-4y2xy(a2b\ab2ac

22

x2xa-\a-\3Ayx-2y-cJacb

--计算：

1.上上2.且+上3c.---1---1-1-----1-------44.---1---------2----1-----3----

x-yx-y2a-bb-2a3x24y6x2x+1x-\x1-1

三.计算：

2・⑶(芬闱

'\-2a2^)

四.计算：

1.(―----匚+1.(/_川

\a+ba-bJ

五.计算：

1.a2b~4-(cr3bf2.(2a-3cT)-2〃(4a-3加2,

-10―

分式（11）

分式方程的识别：

例题：下列方程中，是关于X的分式方程的有

否3—x13

①3=5②③----=x-l④⑤

3xx-\3ab-\x2-9x+3

练习：下列关于x的方程,是分式方程的是（

人2+x_3+xxm_x3x

A.-----3=----B.上L3TD.=4

561+a2nmX24-1

分式方程的解

例题：若关于x的分式方程*—+3=3的解是x=i,求加的值.

3+2x

练习1：分式方程=2的解为（）

x2-1

A.x=2B.x=—2C.x=—2或x=2D.x=0

练习2：请你写出一个解为x=l的分式方程为：.

练习3：若关于x的分式方程‘—=4的解是兀=-1,求/的值.

3-x

三.分式方程的解法与增根

23x3

例题1.解方程：-=-例题2.解方程:

%-3xx-1(%-111+2)

练习：

3x8526

解方程：1.旦=12.+1=2+22

x-3x+22x+4x+xx-x~x-I

-11-

分式（⑵

一.复习：解下列方程

cX—3I一3

222.+1=

X+XX-Xx—22-x

工程问题：

1.相关背景：工作量=工作效率X时间；工作效率=可乍F；时间=「痣号..

时间工作效率

一般把工作量看成1

2.相关练习：一项工程甲工程队单独做需要4天完成，则甲工程队的工作效率为:乙

工程队单独做需要b天完成，则乙工程队的工作效率为；甲、乙合作的工作效率

为;

例题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完成，当甲队单独施工1个月后,

乙队加入共同施工，又工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工需要多少个月能完成全部工

程？

练习：1.甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同，已知两人每小时共做140个零件，求

甲、乙两人每小时各做多少个零件？

2.A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克.A型机

器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运

多少化工原料？

3.甲、乙两个工程队合作一项工程，10天可以完成，如果单独做中队需要的天数是乙队的一半，求

两队单独做各需多少天完成？

-12-

分式（⑶

一.复习：解下列方程

,24、x-3,3

1.-----=—；——2.-----+1=-----

2x-l4x2-1x-22-x

-.路程问题：

相关背景：路程=速度X时间速度=萼时间=萼

时间速度

例题：从2004年5月起，某列车平均速度提速40千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶125

千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？

练习1.从2004年5月起，某列车平均速度提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千

米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？

2.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同

学乘汽车出发.结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑自行车同学速度的2倍，求骑车同学的速度.

3.两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度是第二组的2倍，他们比第二组早

15分钟到达了顶峰，求两个小组的攀登速度各是多少？

-13-

分式（14）

--识别分式

1.下列式子中，是分式的是（)

A.-xB•等D.-a--b

2c%23

2.请你写出一个分母中含有字母a、b,且分母为单项式的分式：

列分式表示量

1.某射击运动员某次打靶成绩为次8环，”次9环，则该运动员的平均成绩为

2.一个长方体的体积为50c〃z‘，长为宽为bctn,则该长方体的高为

三.分式有意义的条件1.若分式土［有意义，则X的取值范围为_______

x+2

2.若分式一—有意义，则x的取值范围为

x2-16

四.分式的值..若分式黄I的值为。，则,的值为.

v2-43

2-若分式，的值为。，则X的值为,3.若分式」一的值为正数，则x的取值范围

2%-6

4

为.4.若分式一一二的值为负数，则x的取值范围为.

2-3x

xx2+xy4«2-ah_()

五.分式的基本性质____)

9b2了一丁a2bab

2.若分式生=缚;2成立，则x的取值范围为

3y3y（x-l）

六.约分与分式乘除法

4a2be3x2-lx2-4x+4

1.约分:

6ah3c2x2-X2x2-4x

72

3b3c

2.计算:⑴⑵-等

50/y2

3.计算:⑵--------+a+1)—

⑴答萨29

%-yx~+4x+4x-\

b12a1b2

七.分式的加减L-------1—=

aaXXa-ha-h

2b523a2+b2.

计算:⑴京+la(2)-----------+(3)---------------a-b

6Ay3Az4xyza-b

一14一一

八.分式混合运算

L计算：⑴蜘⑵自(1-米3-x

⑶x+2-------

2x-4x-2

2.化简求值：=竽+.+£其中e

九.整数指数塞

1.(—2/6-3尸=酊263y=；(-5«V5)2=.

2.用科学记数法表示：

⑴0.000314=_____________(2)-0.0000123=：⑶0.0028=.

3.计算：

13-7

(1)6丁％7+(_3a2^%)⑵(242/)3(_232M-3(3)1.5xiox(-6xio)

十.解方程

4।x+1x_X+4

2.------7=]--------

1-x2x-1x—3x—2

4.大连市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从兴工街到张前路的快速公交线路，为了使

工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%,求原计划完成这项工程需要多少个月？

-15-

课后作业⑴

选择题

1.下列各式中,是分式的是（）

B.2

A.X—1C.y)D.a

34m

7若分状1

Z.石ZT工1TJ，昂.乂，火,JAnJ-HX|且YU*田八/1)

3-x

A.xw0B.XW3C.xw—3D.xw1

3.甲完成一项工作需f小时，乙完成同样工作比甲少用1小时，则乙的工作效率为（

1

A.——c.r+1D.z-1

r+1

4.若分式有意义，则x的取值范围为（)

XIX-1）

A.XWOB.XWlC.尤W±1D.xw0且xw1

■r一p1a+6x2-2x+lm-nb,

5.下列式子：一，-----，-----------，------，----中,分式的个数为（）

a2b5m+na-c

A.2个B.3个C.4个D.5个

x+5

6.若分式三二有意义，则x的取值范围为（)

尤2+1

A.XW1B.XW—1C.xw±lD.全体实数

X—h

7.若x=2时，分式无意义，则a的值为（)

X+Q

A.2B.-2C.2或一2D.无法确定

8.每千克X元的硬糖〃?千克与每千克y元的硬糖〃1千克混合，混合后的糖块每千克的价格为（)

my+nx^.mx+»y_

A.------兀B.------^兀c-.—x+y—兀—

m+nm-\-nm+n

二.填空题

9.将（〃­n）+（3/〃+2”）写成分式的形式为.

10.请你写一个含有字母x和y,且分母为二次二项式的分式：.

11.若分式」X一有意义，则X的取值范围为___________.

2x-5

12.某班级有。个人，支援救灾捐款650元，则人均捐款元.

13.请你写一个含有字母x,且不论x为何值式子总有意义的分式：,

14.若分式」_有意义，则x的取值范围为__________.

凶-4

15.船从甲地到乙地逆流航行100千米，若船在静水中的速度为x千米/小时，水流的速度为2千米/

小时，则所需时间为小时.

课后作业⑵

-.选择题:

二二，工，x+—功中，分数的个数为（

1.下列式子：-)

X4一万a-x

A.1个B.2个C.3个D.4个

1x1-3

2.若分式口一的值为0,则X的值为（）

x+3

A.3或一3B.3C.-3D.0

3.若分式一^无意义，则X的值为（）

3x-9

A.3B.—3C.3或一3D.0

4.若分式的值为正数,则X的取值范围为（）

2x—6

A.x>3B.九W3C.x<3D.x=3

x1-16

5.若分式―巴的值为0,则x的值为（）

x+4

A.4或一4B.4C.-4D.0

填空题：

X

6.若分式一一有意义，则x的取值范围为________________.

x2-16

9—r

7.分式的值为0,则x的值为__________.

x-1

4

8.若分式——的值为负数，则％的取值范围为.

3-x

三.解答题：

Y-I-1

9.若分式」一的值为非负数，求x的取值范围

6-2x

序号等式

,11

1

22

2

2-3-6

33-4-12

4

5

10.（X）观察表格中的各等式，然后回答问题：

⑴按此规律，请你将表格补充完整；・・・•・・

⑵请你写出第“个等式为、

⑶请你写出第100个等式为____________________________

-2-

课后作业⑶

-.选择题：

1.下列各式变形正确的是()

aa-\-maacak_a««2

AA.—=-------