2023年高三广东数学春季高考三-函数的概念及表示（解析）

函数的概念及表示

一、知识框架

1.函数的概念

一般地，给定两个非空实数集A与8,以及对应关系了,如果对于

概念集合A中的每一个实数x,在集合8中都有唯二确定的实数y与x

对应，则称/为定义在集合A上的一个函数，记作y=/(x),xWA

三要素对

应关系

定义域自变量取值的范围

值域所有函数值组成的集合x^A}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域相同;②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子

来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值

域的并集.

二、真题演练

1.(2020广东普通高中学业水平考试)函数/(x)=一以的定义域是()

A.(0,4)B.[0,4]C.(-<»,0)U(4,-+w)D.(-<»,0]U[4,-H»)

【答案】D

【详解】

解：由题意得：X2-4X>0解得X40或X24,即/(x)的定义域为

(-co,0]U[4,-^0).

故选：D

2.（2020广东普通高中学业水平考试）已知函数/（》）=<设

x-2,x>0

"1）=。，则/（。）=（）

3

A.2B.-C.—D.

222

【答案】A

【详解】

解：因为/（1）=一1,/（-1）=2

故答案为：A

3.（2022广东普通高中学业水平考试）食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给

消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄氐，

根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P（单位：万元），种植黄瓜的年利涧Q（单位：

万元）与投入的资金x（4WxW16,单位：万元）满是尸=4j五+8,Q=,x+12,现该合作社共

4

筹集正20万，将其中8万元投入种植西红和，剩余资金投入种植西瓜，求这两个大棚的年

利润总和

【答案】39（万元）

【详解】

解：P=4V2x8+8=24,Q=^-x（20-8）+12=15,

P+Q=24+15=39（万元）.

这两个大棚的年利涧总和为39（万元）.

三、典型例题

考向1求函数定义域

1.函数“力=71+&^的定义域为（）

Vx-1

A.[1,2]B.（1,2）C.（1,2]D.[1,2）

【答案】C

【详解】

,»fx-l>0,fx>l,、,、,/i

解：由题意得：L、八解得八，即/（*）的定义域为。,2].

2—XU

故选：C.

2

2.函数〃力=:的定义域为（）

A.{x\x<0}B.Mx>0}C.{x—0}D.R

【答案】c

【详解】

2

由题意得，函数/（X）=^的定义域为{x|xxO}.

故选：C.

3.下列函数定义域为R的是（）

A.y=\nxB.yC.y=JD.丫=产

【答案】C

【详解】

A:函数y=lnx的定义域为（0,+8）,故A不符合题意；

B：函数y=『=:的定义域为{小=。},故B不符合题意：

C：函数>=%=五的定义域为R,故C符合题意；

D：函数g二工八二/二五的定义域为[0,山），故D不符合题意；

故选：C

考向2分段函数及其应用

1.已知函数小）=]M：2：：：2,则,（"9））=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【详解】

/（/（9））=/（V9-2）=/（I）=卜3|+2=4

故选：C

2.设函数=,则的值为（）

lx-+x-3,x>l"2"

【答案】B

【详解】

=%+2—3)==］一§=§，

故选：B

3.设。>0且"1,函数若川)=止1),贝U。的值为

ICI-,X>U

【答案】2

【详解】

因为f(X)=pT"：°,且/⑴=/(-1),则。=1一(7)=2.

故答案为：2.

考向3求函数解析式

1.已知函数/(力为一次函数，且"3)=7,/(5)=-1,则/⑴=()

A.15B.—15C.9D.—9

【答案】A

【详解】

设”上…则｛；=；二，解得忆2

.-./(x)=-4x+19,.♦.〃l)=-4+19=15.

故选：A

2.已知函数尸(x)=/(x)+g(x),其中/(x)是X的正比例函数，g(x)是X的反比例

函数，且尸6卜19,尸⑴=9,则F(2)=()

A.3B.8C.9D.16

【答案】C

【详解】

根据题意设f(x)=去,g(x)=',则F(x)=/(x)+g(x)=loc+—

xx9

因为F、)=19,21)=9,

-k+3>m=l9k=3

所以，3解得

m=6

k+m=9

所以尸。)=3欠+自，

X

所以尸(2)=3x2+g=9,

故选：C

3.已知是一次函数,2/(2)-3/(l)=5,2/(O)-/(-l)=l,则/(x)=()

A.3x+2B.3x-2C.2x+3D.2x-3

【答案】B

【详解】

由题意,设函数f(x)=Ax+伙AHO),

(k-b=5

因为"(2)—3〃l)=5,2f(O)—f(—l)=l,可得解得2=3力=-2,

[K+D=\

所以/'(%)=3x-2.

故选：B.

四、练习巩固

一、单选题

1.函数/(x)=j2-x+lnx的定义域为()

A.(2,+8)B.[0,2)C.(0,2]D.[0,2]

【答案】C

【详解】

要使函数解析式有意义，需满足f-:2°，=[彳'解得:xe(0,2].

故选：c

2.函数/(x)=lgx+j2-x的定义域为()

A.(0,2]B.[0,2]C.[0,2)D.(0,2)

【答案】A

【详解】

由题意可知：2TNO=°<X42,

故选：A

3.函数/百+击的定义域为()

A.[y-1)B.[y—l)U(—l,y)C.(—l,y)D.[<包)

【答案】B

【详解】

x+420x>-4

依题意解得

x+lwOxx-1

所以函数的定义域为［-4,-l)U(-1,内).

故选：B.

4.下列各项中表示同一个函数的是()

A./(x)=|x|,g(x)=(«)2B./(Jt)=x2,g(x)=(x+l)2

C.〃x)=3',g(x)=q)-*

D./(x)=l,g(x)=x°

【答案】C

【详解】

/(x)=|x|定义域为R,8*)=(&)2的定义域为［0,+8),两者定义域不同，故A错

、口

沃；

/(X)=f与g(x)=。+1)2对应关系不同，B错误;

/(x)=3\g(x)=('-x=3"为同一函数，C正确；

/(x)=l定义域为R,g(x)=x°定义域为(e,0)U(0,口)，两者定义域不同，故D

错误

故选：C

l,x>0(

5.设S(x)=］o,x=O,。(耳=：I；干彳劫，则S(O(e)-兀)的值为()

1八U,X力尢埋数

-l,x<0i

A.-1B.兀C.1D.e

【答案】A

【详解】

解：因为S（加、丁。（此\fl，X为黑有理数

-l,x<0i

所以D（e）=0,所以5（D（e）-7t）=S（-7t）=-l.

故选：A

1

X2,X>O

6.已知函数〃x）=«则小(T]=()

A.-4B-4C.4D-7

【答案】C

【详解】

解：

••,/(-4)=(g)=16>0

1

•••/[/(-4)]=/(16)=165=4

故选：C

7.函数y=|x-l|+l可表示为（)

[2-x,x<\12-x,x>l

A.y=]i

[x,x>1,[x,X<1

[2-x,x<1

CD.y=>

,'[2-x,x>1X>1

【答案】D

【详解】

[2-x,x<1

当xvl时，y=\-x+l=2-x9当尢21时，y=x-\+l=x9,A,

B,C都不正确，D正确.

故选：D

x+2,x«—1,

8.函数.*》)==2,-1<》<2,若五%)=2,则x的值是()

2x,x>2,

A.垃B.±72C.0或1D.6

【答案】A

【详解】

若加)=2,

①烂一1时，x+2=2,解得尤=0(不符合，舍去)；

②一1VXV2时，丁=2,解得x=&(符合)或》=-五(不符，舍去)；

③位2时，2r=2,解得尤=1(不符，舍去).

综上，X=A/2.

故选：A.

9.已知函数/(x)=3,°：,若/(x)=3,贝ijx=()

[x-1,x>\

A.Ig3B.2或-2C.怆3或2D.怆3或—2

【答案】C

【详解】

当xMl时，此时.f(x)=10',即令10,=3,得x=lg3,满足；

当x>l时，此时/(x)=x2-l,即令》2一1=3,得》=±2,因为x>l,所以x=2。

综上所述，x=lg3或x=2.

故选：C.

10.已知函数=若"〃)+/⑴=0,则实数。的值等于()

x+l,x<0

A.-1B.-2

C.1D.3

【答案】B

【详解】

当a>0时，由/(。)+/(1)=0=/+1=0,该方程无实根：

当aVO时，/(a)+/(l)=0=a+l+l=0na=—2,显然符合“M0,

故选：B

11.已知/(x)是一次函数，且/(/(x))=4x-l,则/(x)的解析式为

A./(x)=2x-l^/(x)=-2x+lB./(x)=2x+l或/(x)=-2x-l

C./(X)=2x-1或/(x)=-2x+；D./(x)=2x+l或/(x)=2x-l

【答案】A

【详解】

j殳/(X)=&+〃(人00),则f(f(x))=f(kx+b)=k^kx+h^+b=4x-1,

即左2工+妨+b=4x—l对任意的x恒成立，

k=2

:濡)7解得「k=-2

所以，1或

b=—b=i

3

所以/(X)的解析式为f(x)=2x-g或/(x)=-2x+l,

故选：A

12.已知〃x)为二次函数，且满足〃0)=1,/(彳-1)-〃司=4》,则.”》)的解析式为

()

A./(x)=-2x2-2x+lB./(x)=-2x2+2x+l

C./(X)=-2X2-2X-1D./(x)=2x2-2x+l

【答案】A

【详解】

设f(兀)=加+以+<;3*0),因为"0)=1,所以c=L

又/(x-l)-/(x)=4x,所以有

7,7f—2a=4卜

a(x-Y)"+h(x-l)+\-(ax~+bx+\)=4x-2ax+a-b=4x=><，解得

a=b=—2.

故选：A

二、填空题

1.函数/(司=与三的定义域为.

【答案】[-^,0)u(0,>/2]

【详解】

由题意(:；“。，解得&且XH0,所以定义域为卜点,0”

故答案为：[-^,o)u(o,^].

2,函数＞=士*匚的定义域为______.

X4-X-6

【答案】卜卜工2且x-3}

【详解】

要使函数有意义，必须使f