第五章 5.1 5.1.2 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列各式中正确的是()A．π＝180 B．π＝3.14C．90°＝eq\f(π,2)rad D．1rad＝π答案C解析A项，πrad＝180°，故错误；B项，π≈3.14，故错误；C项，90°＝eq\f(π,2)rad，故正确；D项，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，故错误．故选C.2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则()A．扇形的面积不变B．扇形圆心角不变C．扇形面积增大到原来的2倍D．扇形圆心角增大到原来的2倍答案B解析由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.3．把－eq\f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为()A．－eq\f(3π,4)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D．－eq\f(π,4)答案A解析∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴θ＝－eq\f(3π,4).又－eq\f(11π,4)＝－4π＋eq\f(5π,4)，∴θ＝eq\f(5π,4).∴使|θ|最小的θ＝－eq\f(3π,4).4．若α＝2kπ－eq\f(35,4)，k∈Z，则角α所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析∵－9<－eq\f(35,4)<－8，∴－3π<－eq\f(35,4)<－3π＋eq\f(π,2).∴－eq\f(35,4)在第三象限，故α也在第三象限．5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\r(3)D．2答案C解析设所在圆的半径为r，圆内接正三角形的边长为2rsin60°＝eq\r(3)r，所以弧长eq\r(3)r的圆心角的弧度数为eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).二、填空题6．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．答案－10π＋eq\f(7π,4)解析－1485°＝－1485×eq\f(π,180)＝－eq\f(33π,4)＝－10π＋eq\f(7π,4).7．扇形AOB，半径为2cm，AB＝2eq\r(2)cm，则eq\x\to(AB)所对的圆心角弧度数为________．答案eq\f(π,2)解析∵OA＝OB＝2，AB＝2eq\r(2)，∴∠AOB＝90°＝eq\f(π,2).8．若角α的终边与eq\f(8π,5)角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与eq\f(α,4)角的终边相同的角是________________．答案eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)解析由题意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ，∴eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).三、解答题9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．解∵150°＝eq\f(5π,6)，∴终边在阴影区域内角的集合为S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋2kπ≤β≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)))).∵2019°＝219°＋5×360°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219π,180)＋10π))rad，又eq\f(5π,6)<eq\f(219π,180)<eq\f(3π,2)，∴2019°∈S.10．扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解(1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R.依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋Rθ＝8，,\f(1,2)θ·R2＝3，))解得θ＝eq\f(2,3)或6.即圆心角的大小为eq\f(2,3)弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为xcm，则扇形的圆心角θ＝eq\f(8－2x,x).于是扇形的面积是S＝eq\f(1,2)x2·eq\f(8－2x,x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.故当x＝2cm时，S取到最大值．此时圆心角θ＝eq\f(8－4,2)＝2弧度，弦长AB＝2·2sin1＝4sin1(cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1cm.B级：“四能”提升训练1．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C＞0)，该扇形的最大面积为()A.eq\f(C,4)B.eq\f(C2,4)C.eq\f(C2,16)D.eq\f(C2,2)答案C解析设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，则S＝eq\f(1,2)(C－2R)R＝－R2＋eq\f(C,2)R＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(C,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，当R＝eq\f(C,4)，即α＝eq\f(C－2R,R)＝2时，扇形的面积最大，最大面积为eq\f(C2,16).故选C.2．如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq\f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq\f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇所用的时间及P，Q各自走过的弧长．解设P，Q第一次相遇时所用的时间为t秒，则t·eq\f(π,3)＋t·e