第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识通关详解）-【单元测试】2023数学分层训练AB卷（原卷版）

第二章一元二次函数、方程和不等式专题详解精讲温故知新（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则：；(同向可加)(4)乘法法则：；(同向同正可乘)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式例1：1．（2019·浙江·高考真题）若，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2014·四川·高考真题（文））若则一定有A． B． C． D．3．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．4．（2022·上海交大附中模拟预测）已知，，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．举一反三1．（2022·江苏南京·模拟预测）设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（多选）（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则4．（2013·全国·高考真题（文））设满足约束条件，则的最大值为______．（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R例2：1．（2015·天津·高考真题（理））设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2019·天津·高考真题（文））设，使不等式成立的的取值范围为__________.举一反三1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））不等式成立是不等式成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2015·广东·高考真题（文））不等式的解集为_________．（用区间表示）．2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。例3：1．（2022·天津·一模）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件举一反三1．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A．且 B．C． D．2．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式的解集是_________3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。例4：1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件举一反三1．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为________2．（2022·河南河南·一模（理））若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．（二）基本不等式1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么变形：有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。例5：1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若、，且，则的最小值为（

）．A． B． C． D．2．（2022·全国·模拟预测（文））若实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·上海虹口·二模）函数的值域为_________.4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数，则的最大值为_________．举一反三1．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（

）．A． B． C． D．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知是圆上一点，则的最大值为（

）A． B．C． D．3．（2022·湖南·金海学校高一期中）若，则的最小值为_____.4．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．5．（2017·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________．6．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．拓展提升（一）（含参一元二次不等式分类讨论） 三个两次之间的关系含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按项的系数的符号分类，即;例1解不等式：分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项系数进行分类讨论。举一反三解不等式二、按判别式的符号分类，即；例2解不等式分析本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。举一反三解不等式三、按方程的根的大小来分类，即；例3解不等式举一反三例6、若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围。（拓展提升（二）（含参一元二次不等式恒成立问题）“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立;2）对恒成立例1：若不等式的解集是R，求m的范围。举一反三1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例2、若时，不等式恒成立，求的取值范围。举一反三关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立例3、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。举一反三若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例4．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。举一反三当时，不等式恒成立，求的取值范围．分类讨论法处理含参不等式恒成立的某些问题时，有些时候需要对参数进行讨论。例5．若不等式对一切都成立，则a的最小值为（

）A．0 B